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7. 某食用油的沸点远高于水的沸点。小聪想用刻度不超过 100 ℃的温度计测算出这种食用油的沸点。在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔 10 s 测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
| 时间 t/s | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 油温 y/℃ | 10 |
| 50 | 70 | 90 |
(1) 小聪在如图所示的直角坐标系中描出了表中数据对应的点。在这种食用油达到沸点前，锅中油温 y(℃)与加热的时间 t(s)可能是
(2) 根据以上判断，求 y 关于 t 的函数表达式。
(3) 当加热 110 s 时，油沸腾了，请推算该食用油的沸点。
| 时间 t/s | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 油温 y/℃ | 10 |
| 50 | 70 | 90 |(1) 小聪在如图所示的直角坐标系中描出了表中数据对应的点。在这种食用油达到沸点前，锅中油温 y(℃)与加热的时间 t(s)可能是
一次
函数关系。(2) 根据以上判断，求 y 关于 t 的函数表达式。
(3) 当加热 110 s 时，油沸腾了，请推算该食用油的沸点。
答案
(1)一次
(2)设锅中油温 y 与加热的时间 t 的函数表达式为 $y=kt+b(k≠0)$,将点(0,10),(10,30)代入,得$\begin{cases}b=10,\\10k+b=30,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=10,\end{cases}$ $\therefore y=2t+10$
(3)当 $t=110$ 时,$y=2×110+10=230$,$\therefore$经过推算,该食用油的沸点是 $230\ ° C$
(2)设锅中油温 y 与加热的时间 t 的函数表达式为 $y=kt+b(k≠0)$,将点(0,10),(10,30)代入,得$\begin{cases}b=10,\\10k+b=30,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=10,\end{cases}$ $\therefore y=2t+10$
(3)当 $t=110$ 时,$y=2×110+10=230$,$\therefore$经过推算,该食用油的沸点是 $230\ ° C$
解析
【分析】
(1) 观察表格数据可发现：加热时间每增加10s，油温均匀升高20℃，油温随时间的变化速率恒定，符合一次函数的变化特征，因此沸点前油温y与加热时间t为一次函数关系。
(2) 求一次函数表达式可采用待定系数法，先设解析式为$y=kt+b(k≠0)$，再选取两组已知的t、y对应值代入，解二元一次方程组求出k、b的值，即可得到函数表达式。
(3) 加热110s时油沸腾，此时的油温就是食用油的沸点，只需将$t=110$代入第(2)问求出的函数表达式，计算得到的y值就是沸点温度。
【解析】
(1) 由表格中油温随时间均匀变化的规律，可知二者为一次函数关系。
(2) 设y关于t的函数表达式为$y=kt+b(k≠0)$，
将点$(0,10)$、$(10,30)$代入解析式得：
$\begin{cases}b=10\\10k+b=30\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=10\end{cases}$
$\therefore$ y关于t的函数表达式为$y=2t+10$。
(3) 当$t=110$时油沸腾，代入函数式得：
$y=2×110+10=230$
即该食用油的沸点为$230℃$。
【答案】
(1) 一次
(2) $y=2t+10$
(3) $230\ °C$
【知识点】
一次函数的判定；待定系数法求解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的基础应用，解题核心是根据数据的均匀变化特征判断函数类型，再通过待定系数法求出解析式后代入计算即可，侧重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
(1) 观察表格数据可发现：加热时间每增加10s，油温均匀升高20℃，油温随时间的变化速率恒定，符合一次函数的变化特征，因此沸点前油温y与加热时间t为一次函数关系。
(2) 求一次函数表达式可采用待定系数法，先设解析式为$y=kt+b(k≠0)$，再选取两组已知的t、y对应值代入，解二元一次方程组求出k、b的值，即可得到函数表达式。
(3) 加热110s时油沸腾，此时的油温就是食用油的沸点，只需将$t=110$代入第(2)问求出的函数表达式，计算得到的y值就是沸点温度。
【解析】
(1) 由表格中油温随时间均匀变化的规律，可知二者为一次函数关系。
(2) 设y关于t的函数表达式为$y=kt+b(k≠0)$，
将点$(0,10)$、$(10,30)$代入解析式得：
$\begin{cases}b=10\\10k+b=30\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=10\end{cases}$
$\therefore$ y关于t的函数表达式为$y=2t+10$。
(3) 当$t=110$时油沸腾，代入函数式得：
$y=2×110+10=230$
即该食用油的沸点为$230℃$。
【答案】
(1) 一次
(2) $y=2t+10$
(3) $230\ °C$
【知识点】
一次函数的判定；待定系数法求解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的基础应用，解题核心是根据数据的均匀变化特征判断函数类型，再通过待定系数法求出解析式后代入计算即可，侧重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
8.已知长方形的周长是20 cm，一条边长x的取值范围是2 cm≤x≤4 cm，则它的邻边长y的取值范围是
$6\ \mathrm{cm}≤ y≤8\ \mathrm{cm}$
。答案
$6\ \mathrm{cm}≤ y≤8\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时首先利用长方形周长公式推导已知边长x与邻边长y的数量关系，再结合x的取值范围，通过不等式的性质对x的范围变形，即可求出y的取值范围。具体思考步骤：第一步，回忆长方形周长=2×(相邻两边长之和)，代入周长数值得到x和y的关系式；第二步，将x的取值范围通过变形转化为y的范围，注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变。
【解析】
解：已知长方形周长为20 cm，根据长方形周长公式可得：
$2(x+y)=20$
化简得：$x+y=10$，即$y=10-x$
∵$2\ \mathrm{cm}≤x≤4\ \mathrm{cm}$
根据不等式的性质，不等式三边同时乘-1，不等号方向改变，得：
$-4 ≤ -x ≤ -2$
不等式三边同时加10，得：
$10-4 ≤ 10-x ≤10-2$
即$6\ \mathrm{cm}≤ y ≤8\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\ \mathrm{cm}≤ y≤8\ \mathrm{cm}$
【知识点】
长方形周长公式、不等式的性质、一次函数的应用
【点评】
本题是基础应用题，核心是结合几何公式与不等式知识求解参数范围，解题关键是先建立两个边长的等量关系，再正确运用不等式性质变形，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用长方形周长公式推导已知边长x与邻边长y的数量关系，再结合x的取值范围，通过不等式的性质对x的范围变形，即可求出y的取值范围。具体思考步骤：第一步，回忆长方形周长=2×(相邻两边长之和)，代入周长数值得到x和y的关系式；第二步，将x的取值范围通过变形转化为y的范围，注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变。
【解析】
解：已知长方形周长为20 cm，根据长方形周长公式可得：
$2(x+y)=20$
化简得：$x+y=10$，即$y=10-x$
∵$2\ \mathrm{cm}≤x≤4\ \mathrm{cm}$
根据不等式的性质，不等式三边同时乘-1，不等号方向改变，得：
$-4 ≤ -x ≤ -2$
不等式三边同时加10，得：
$10-4 ≤ 10-x ≤10-2$
即$6\ \mathrm{cm}≤ y ≤8\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\ \mathrm{cm}≤ y≤8\ \mathrm{cm}$
【知识点】
长方形周长公式、不等式的性质、一次函数的应用
【点评】
本题是基础应用题，核心是结合几何公式与不等式知识求解参数范围，解题关键是先建立两个边长的等量关系，再正确运用不等式性质变形，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
9. 某汽车在行驶过程中，油箱中的剩余油量 y（L）与行驶路程 x（km）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示。已知当油箱中的剩余油量为8 L时，该汽车会开始提示加油。若一次加满油行驶了500 km时，司机发现离前方最近的加油站还有30 km，则在驶往该加油站的途中，汽车开始提示加油时，离加油站的路程是
10
km。答案
10
解析
【分析】
首先题目明确剩余油量y与行驶路程x是一次函数关系，我们可以先利用图像给出的两个点坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式；再根据提示加油时的剩余油量8L，代入解析式求出此时对应的行驶路程x；最后结合已知的行驶路程和到加油站的距离，计算出提示加油时离加油站的路程即可。
【解析】
设剩余油量y与行驶路程x的一次函数解析式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
由图像可知，函数过点$(0,60)$和$(150,45)$：
把$(0,60)$代入解析式，得$b = 60$；
把$b=60$和$(150,45)$代入解析式，得$45 = 150k + 60$，
解得$k = -0.1$，
所以一次函数解析式为$y = -0.1x + 60$。
当剩余油量$y=8\,\mathrm{L}$时，代入解析式得：
$8 = -0.1x + 60$
解得$x = 520$，即行驶520km时汽车开始提示加油。
已知行驶500km时离加油站还有30km，可知加油站对应的行驶路程为$500 + 30 = 530\,\mathrm{km}$，
所以提示加油时离加油站的路程为$530 - 520 = 10\,\mathrm{km}$。
【答案】
10
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合汽车加油的实际情景考查一次函数的应用，解题核心是先通过图像信息求出函数解析式，再根据题意代入对应数值计算，贴合生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先题目明确剩余油量y与行驶路程x是一次函数关系，我们可以先利用图像给出的两个点坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式；再根据提示加油时的剩余油量8L，代入解析式求出此时对应的行驶路程x；最后结合已知的行驶路程和到加油站的距离，计算出提示加油时离加油站的路程即可。
【解析】
设剩余油量y与行驶路程x的一次函数解析式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
由图像可知，函数过点$(0,60)$和$(150,45)$：
把$(0,60)$代入解析式，得$b = 60$；
把$b=60$和$(150,45)$代入解析式，得$45 = 150k + 60$，
解得$k = -0.1$，
所以一次函数解析式为$y = -0.1x + 60$。
当剩余油量$y=8\,\mathrm{L}$时，代入解析式得：
$8 = -0.1x + 60$
解得$x = 520$，即行驶520km时汽车开始提示加油。
已知行驶500km时离加油站还有30km，可知加油站对应的行驶路程为$500 + 30 = 530\,\mathrm{km}$，
所以提示加油时离加油站的路程为$530 - 520 = 10\,\mathrm{km}$。
【答案】
10
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合汽车加油的实际情景考查一次函数的应用，解题核心是先通过图像信息求出函数解析式，再根据题意代入对应数值计算，贴合生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.7
