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5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径作$\odot O$,交$BC$于点$D$,交$AC$于点$E$.
(1)求证:D是边BC的中点;
(2)记$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$α$,$∠ C$的度数为$β$,试探究$α$与$β$的数量关系.
(1)求证:D是边BC的中点;
(2)记$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$α$,$∠ C$的度数为$β$,试探究$α$与$β$的数量关系.
答案
5. (1)如图,连接AD.
$\because AB$为$\odot O$的直径,
$\therefore ∠ ADB=90°,$即$AD ⊥ BC.$
$\because AB=AC,$
$\therefore BD=CD,$即D是边BC的中点.
(2)如图,连接OE.
$\because \overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$α,$
$\therefore ∠ AOE=α.$
$\because OA=OE,$
$\therefore ∠ OAE=∠ OEA=\frac{1}{2}(180°-∠ AOE)=\frac{180°-α}{2}.$
$\because AB=AC,$
$\therefore ∠ ABC=∠ C=β.$
$\therefore ∠ BAC=180°-2∠ C=180°-2β.$
$\therefore \frac{180°-α}{2}=180°-2β,$即$β-\frac{1}{4}α=45°.$
解析
【分析】
（1）要证明D是BC的中点，已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明AD⊥BC即可；AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，连接AD就能得到∠ADB=90°，进而完成证明。
（2）要探究α和β的数量关系，首先连接OE，弧AE对应的圆心角为α，因此∠AOE=α，在等腰△AOE中可将∠BAC用含α的式子表示；再在等腰△ABC中，将∠BAC用含β的式子表示，联立两个表达式即可推导出二者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：连接AD。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即AD⊥BC。
又
∵ AB=AC，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，即BD=CD，
∴ D是边BC的中点。
(2) 解：连接OE。
∵ $\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为α，
∴ ∠AOE=α。
∵ OA和OE都是⊙O的半径，即OA=OE，
∴ ∠OAE=∠OEA=$\frac{1}{2}(180°-∠AOE)=\frac{180°-α}{2}$。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=β，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-2β。
∵ ∠OAE即∠BAC，
∴ $\frac{180°-α}{2}=180°-2β$，整理可得$β-\frac{1}{4}α=45°$（或$4β-α=180°$）。
【答案】
5. (1)如图,连接AD.
$\because AB$为$\odot O$的直径,
$\therefore ∠ ADB=90°,$即$AD ⊥ BC.$
$\because AB=AC,$
$\therefore BD=CD,$即D是边BC的中点.
(2)如图,连接OE.
$\because \overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$α,$
$\therefore ∠ AOE=α.$
$\because OA=OE,$
$\therefore ∠ OAE=∠ OEA=\frac{1}{2}(180°-∠ AOE)=\frac{180°-α}{2}.$
$\because AB=AC,$
$\therefore ∠ ABC=∠ C=β.$
$\therefore ∠ BAC=180°-2∠ C=180°-2β.$
$\therefore \frac{180°-α}{2}=180°-2β,$即$β-\frac{1}{4}α=45°.$
【知识点】
直径的圆周角性质，等腰三角形性质，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础典型题，解题核心是合理构造辅助线，灵活运用圆的基本性质和等腰三角形的性质进行角度推导，能够帮助学生掌握几何综合题的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.7
（1）要证明D是BC的中点，已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明AD⊥BC即可；AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，连接AD就能得到∠ADB=90°，进而完成证明。
（2）要探究α和β的数量关系，首先连接OE，弧AE对应的圆心角为α，因此∠AOE=α，在等腰△AOE中可将∠BAC用含α的式子表示；再在等腰△ABC中，将∠BAC用含β的式子表示，联立两个表达式即可推导出二者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：连接AD。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即AD⊥BC。
又
∵ AB=AC，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，即BD=CD，
∴ D是边BC的中点。
(2) 解：连接OE。
∵ $\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为α，
∴ ∠AOE=α。
∵ OA和OE都是⊙O的半径，即OA=OE，
∴ ∠OAE=∠OEA=$\frac{1}{2}(180°-∠AOE)=\frac{180°-α}{2}$。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=β，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-2β。
∵ ∠OAE即∠BAC，
∴ $\frac{180°-α}{2}=180°-2β$，整理可得$β-\frac{1}{4}α=45°$（或$4β-α=180°$）。
【答案】
5. (1)如图,连接AD.
$\because AB$为$\odot O$的直径,
$\therefore ∠ ADB=90°,$即$AD ⊥ BC.$
$\because AB=AC,$
$\therefore BD=CD,$即D是边BC的中点.
(2)如图,连接OE.
$\because \overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$α,$
$\therefore ∠ AOE=α.$
$\because OA=OE,$
$\therefore ∠ OAE=∠ OEA=\frac{1}{2}(180°-∠ AOE)=\frac{180°-α}{2}.$
$\because AB=AC,$
$\therefore ∠ ABC=∠ C=β.$
$\therefore ∠ BAC=180°-2∠ C=180°-2β.$
$\therefore \frac{180°-α}{2}=180°-2β,$即$β-\frac{1}{4}α=45°.$
【知识点】
直径的圆周角性质，等腰三角形性质，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础典型题，解题核心是合理构造辅助线，灵活运用圆的基本性质和等腰三角形的性质进行角度推导，能够帮助学生掌握几何综合题的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.7
6. 如图,四边形ABCD为矩形,AB=8,AD=12. P是线段AD上一动点,E为线段BP上一点,连接AE,CE,∠BCE=∠ABP,则AE的最小值为 (
A.4
B.5
C.6
D.8
A
)A.4
B.5
C.6
D.8
答案
6. A
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步确定动点E的运动轨迹，利用矩形直角性质和已知角相等关系，推导∠BEC的度数，明确E的轨迹是定圆；第二步利用点到圆上点的最短距离规律（点到圆心距离减半径）计算AE最小值。首先矩形中∠ABC=90°，故∠ABP+∠PBC=90°，结合∠BCE=∠ABP，可得∠BCE+∠PBC=90°，因此∠BEC=90°，说明E在以BC为直径的圆上；再取BC中点为圆心，计算点A到圆心的距离，减去半径即可得到AE的最小值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=12，
∴∠ABP + ∠PBC = 90°，
又
∵∠BCE = ∠ABP，
∴∠BCE + ∠PBC = 90°，
在△BEC中，∠BEC = 180° - (∠BCE + ∠PBC) = 90°，
∴点E的运动轨迹是以BC为直径的圆。
取BC的中点O（即该圆的圆心），则圆的半径$r=\frac{1}{2}BC=6$，$BO=6$，
在Rt△ABO中，AB=8，BO=6，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2+BO^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$，
根据点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，可得AE的最小值为$AO - r=10 - 6=4$。
【答案】A
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题核心是通过角的等量关系推导出动点的轨迹为定圆，将动态线段最小值问题转化为点到圆的最短距离问题，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题思路分两步：第一步确定动点E的运动轨迹，利用矩形直角性质和已知角相等关系，推导∠BEC的度数，明确E的轨迹是定圆；第二步利用点到圆上点的最短距离规律（点到圆心距离减半径）计算AE最小值。首先矩形中∠ABC=90°，故∠ABP+∠PBC=90°，结合∠BCE=∠ABP，可得∠BCE+∠PBC=90°，因此∠BEC=90°，说明E在以BC为直径的圆上；再取BC中点为圆心，计算点A到圆心的距离，减去半径即可得到AE的最小值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=12，
∴∠ABP + ∠PBC = 90°，
又
∵∠BCE = ∠ABP，
∴∠BCE + ∠PBC = 90°，
在△BEC中，∠BEC = 180° - (∠BCE + ∠PBC) = 90°，
∴点E的运动轨迹是以BC为直径的圆。
取BC的中点O（即该圆的圆心），则圆的半径$r=\frac{1}{2}BC=6$，$BO=6$，
在Rt△ABO中，AB=8，BO=6，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2+BO^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$，
根据点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，可得AE的最小值为$AO - r=10 - 6=4$。
【答案】A
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题核心是通过角的等量关系推导出动点的轨迹为定圆，将动态线段最小值问题转化为点到圆的最短距离问题，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在$\odot O$中,B是$\odot O$上的一点,$∠ ABC=120°$,弦$AC=2\sqrt{3}$,弦$BM$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$,连接$MA,MC$.
(1)求$\odot O$的半径长;
(2)求证:$AB+BC=BM$.
(1)求$\odot O$的半径长;
(2)求证:$AB+BC=BM$.
答案
7. (1)如图,连接OA,OC,过点O作$OH ⊥ AC$于点H.
$\because ∠ ABC=120°,$
$\therefore ∠ AMC=180°-∠ ABC=60°.$
$\therefore ∠ AOC=2∠ AMC=120°.$
$\because OA=OC,OH ⊥ AC,$
$\therefore ∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOC=60°,∠ AHO=90°,$
$AH=CH=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}.$
$\therefore ∠ OAH=30°.$
$\therefore OH=\frac{1}{2}OA.$
在$\mathrm{Rt}△ AOH$中,根据勾股定理,得$OA^2=OH^2+AH^2,$
即$OA^2=(\frac{1}{2}OA)^2+(\sqrt{3})^2,$
解得$OA=2$(负值已舍去),
即$\odot O$的半径长为2.
(2)如图,在BM上截取$BE=BC$,连接CE.
$\because BM$平分$∠ ABC,∠ ABC=120°,$
$\therefore ∠ MBC=\frac{1}{2}∠ ABC=60°.$
又 $BE=BC,$
$\therefore △ EBC$是等边三角形.
$\therefore CE=CB=BE,∠ CEB=60°.$
$\because ∠ MEC+∠ CEB=180°,$
$\therefore ∠ MEC=180°-∠ CEB=120°.$
$\therefore ∠ MEC=∠ ABC.$
又 $∠ CMB=∠ CAB,$
$\therefore △ ABC ≌ △ MEC.$
$\therefore AB=ME.$
$\because ME+EB=BM,$
$\therefore AB+BC=BM.$
解析
【分析】
(1) 求解⊙O的半径，已知弦AC的长度，可利用圆的性质将已知角转化为圆心角，结合垂径定理构造直角三角形求解：首先由圆内接四边形对角互补求出∠AMC，再根据圆周角定理得到圆心角∠AOC的度数，过O作AC的垂线，利用垂径定理得到AH的长度，最后在直角三角形中结合勾股定理即可求出半径。
(2) 证明AB+BC=BM属于线段和差类证明，常用截长补短法：在BM上截取BE=BC，先证明△EBC是等边三角形，再通过角的等量关系证明△ABC≌△MEC，得到AB=ME，结合BM=ME+BE即可推出结论。
【解析】
(1) 连接OA，OC，过点O作$OH ⊥ AC$于点H。
$\because ∠ABC=120°,$
$\therefore ∠AMC=180°-∠ABC=60°.$
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得$∠AOC=2∠AMC=120°.$
$\because OA=OC,OH⊥AC,$
$\therefore ∠AOH=\frac{1}{2}∠AOC=60°,∠AHO=90°,$ $AH=CH=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}.$
$\therefore ∠OAH=30°,\ OH=\frac{1}{2}OA.$
在$\mathrm{Rt}△AOH$中，由勾股定理得$OA^2=OH^2+AH^2,$
代入得$OA^2=(\frac{1}{2}OA)^2+(\sqrt{3})^2,$
解得$OA=2$（负值已舍去），即$\odot O$的半径长为2。
(2) 在BM上截取$BE=BC$，连接CE。
$\because BM$平分$∠ABC,∠ABC=120°,$
$\therefore ∠MBC=\frac{1}{2}∠ABC=60°.$
又$\because BE=BC,$
$\therefore △EBC$是等边三角形，
$\therefore CE=CB=BE,∠CEB=60°.$
$\because ∠MEC+∠CEB=180°,$
$\therefore ∠MEC=180°-60°=120°=∠ABC.$
又$\because$同弧所对的圆周角相等，得$∠CMB=∠CAB,$
$\therefore △ABC≌△MEC\ (\mathrm{AAS}),$
$\therefore AB=ME.$
$\because ME+EB=BM,$
$\therefore AB+BC=BM.$
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $AB+BC=BM$，证明成立。
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的综合题，第一问是圆中求半径的常规题型，考查圆周角定理、垂径定理和勾股定理的综合应用；第二问是线段和差证明的典型考法，需要掌握截长补短构造全等三角形的辅助线技巧，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 求解⊙O的半径，已知弦AC的长度，可利用圆的性质将已知角转化为圆心角，结合垂径定理构造直角三角形求解：首先由圆内接四边形对角互补求出∠AMC，再根据圆周角定理得到圆心角∠AOC的度数，过O作AC的垂线，利用垂径定理得到AH的长度，最后在直角三角形中结合勾股定理即可求出半径。
(2) 证明AB+BC=BM属于线段和差类证明，常用截长补短法：在BM上截取BE=BC，先证明△EBC是等边三角形，再通过角的等量关系证明△ABC≌△MEC，得到AB=ME，结合BM=ME+BE即可推出结论。
【解析】
(1) 连接OA，OC，过点O作$OH ⊥ AC$于点H。
$\because ∠ABC=120°,$
$\therefore ∠AMC=180°-∠ABC=60°.$
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得$∠AOC=2∠AMC=120°.$
$\because OA=OC,OH⊥AC,$
$\therefore ∠AOH=\frac{1}{2}∠AOC=60°,∠AHO=90°,$ $AH=CH=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}.$
$\therefore ∠OAH=30°,\ OH=\frac{1}{2}OA.$
在$\mathrm{Rt}△AOH$中，由勾股定理得$OA^2=OH^2+AH^2,$
代入得$OA^2=(\frac{1}{2}OA)^2+(\sqrt{3})^2,$
解得$OA=2$（负值已舍去），即$\odot O$的半径长为2。
(2) 在BM上截取$BE=BC$，连接CE。
$\because BM$平分$∠ABC,∠ABC=120°,$
$\therefore ∠MBC=\frac{1}{2}∠ABC=60°.$
又$\because BE=BC,$
$\therefore △EBC$是等边三角形，
$\therefore CE=CB=BE,∠CEB=60°.$
$\because ∠MEC+∠CEB=180°,$
$\therefore ∠MEC=180°-60°=120°=∠ABC.$
又$\because$同弧所对的圆周角相等，得$∠CMB=∠CAB,$
$\therefore △ABC≌△MEC\ (\mathrm{AAS}),$
$\therefore AB=ME.$
$\because ME+EB=BM,$
$\therefore AB+BC=BM.$
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $AB+BC=BM$，证明成立。
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的综合题，第一问是圆中求半径的常规题型，考查圆周角定理、垂径定理和勾股定理的综合应用；第二问是线段和差证明的典型考法，需要掌握截长补短构造全等三角形的辅助线技巧，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
