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知识梳理
知识点1）求二次函数$y=ax^2+bx+c$的最值
1. 用配方法:将二次函数$y=ax^2+bx+c$化成顶点式________的形式,当自变量$x=\_\_\_\_\_\_$时,函数$y$有最大(小)值________.
2. 用公式法:当$x=\_\_\_\_\_\_$,二次函数$y=ax^2+bx+c$有最大(小)值________.
重点提示
求实际问题的最值时,要考虑自变量的取值范围:(1)当自变量的取值包含顶点时,函数的最值在顶点处取得;(2)当自变量的取值不包含顶点时,函数的最值一般在端点处取得,此时要考虑函数的增减性.
知识点1）求二次函数$y=ax^2+bx+c$的最值
1. 用配方法:将二次函数$y=ax^2+bx+c$化成顶点式________的形式,当自变量$x=\_\_\_\_\_\_$时,函数$y$有最大(小)值________.
2. 用公式法:当$x=\_\_\_\_\_\_$,二次函数$y=ax^2+bx+c$有最大(小)值________.
重点提示
求实际问题的最值时,要考虑自变量的取值范围:(1)当自变量的取值包含顶点时,函数的最值在顶点处取得;(2)当自变量的取值不包含顶点时,函数的最值一般在端点处取得,此时要考虑函数的增减性.
答案
1. 顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，当自变量$x=h$时，函数$y$有最大(小)值$k$。
2. 当$x=-\frac{b}{2a}$，二次函数$y=ax^2+bx+c$有最大(小)值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
2. 当$x=-\frac{b}{2a}$，二次函数$y=ax^2+bx+c$有最大(小)值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
解析
【分析】
本题考察二次函数最值的两种求解方法的基础推导，解题思路如下：①配方法的核心是将二次函数一般式通过凑完全平方的方式转化为顶点式，顶点式直接对应顶点坐标，顶点的纵坐标就是函数的最值，横坐标是取得最值时自变量的取值；②公式法是配方法推导后的结论提炼，可直接代入系数计算最值及对应自变量取值。
【解析】
1. 配方法推导：对二次函数$y=ax^2+bx+c$，先提取二次项系数$a$得$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$，再对括号内的式子配完全平方：加上并减去一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，整理可得$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，写成顶点式标准形式为$y=a(x-h)^2+k$（其中$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$）。因为$(x-h)^2≥0$，所以当$x=h$时，$a(x-h)^2=0$，此时函数$y$取得最大（小）值$k$（$a＞0$时为最小值，$a＜0$时为最大值）。
2. 公式法是配方法的结论直接应用：由配方法结果可知，当$x=-\frac{b}{2a}$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$的最大（小）值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
1. $\boldsymbol{y=a(x-h)^2+k}$；$\boldsymbol{h}$；$\boldsymbol{k}$
2. $\boldsymbol{-\dfrac{b}{2a}}$；$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$
【知识点】
二次函数配方法；二次函数顶点式；二次函数最值公式
【点评】
本题属于二次函数最值的基础识记类题目，核心是理解配方法推导顶点式的过程，牢记最值对应的自变量取值和最值公式，是后续求解二次函数实际应用类最值问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题考察二次函数最值的两种求解方法的基础推导，解题思路如下：①配方法的核心是将二次函数一般式通过凑完全平方的方式转化为顶点式，顶点式直接对应顶点坐标，顶点的纵坐标就是函数的最值，横坐标是取得最值时自变量的取值；②公式法是配方法推导后的结论提炼，可直接代入系数计算最值及对应自变量取值。
【解析】
1. 配方法推导：对二次函数$y=ax^2+bx+c$，先提取二次项系数$a$得$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$，再对括号内的式子配完全平方：加上并减去一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，整理可得$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，写成顶点式标准形式为$y=a(x-h)^2+k$（其中$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$）。因为$(x-h)^2≥0$，所以当$x=h$时，$a(x-h)^2=0$，此时函数$y$取得最大（小）值$k$（$a＞0$时为最小值，$a＜0$时为最大值）。
2. 公式法是配方法的结论直接应用：由配方法结果可知，当$x=-\frac{b}{2a}$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$的最大（小）值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
1. $\boldsymbol{y=a(x-h)^2+k}$；$\boldsymbol{h}$；$\boldsymbol{k}$
2. $\boldsymbol{-\dfrac{b}{2a}}$；$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$
【知识点】
二次函数配方法；二次函数顶点式；二次函数最值公式
【点评】
本题属于二次函数最值的基础识记类题目，核心是理解配方法推导顶点式的过程，牢记最值对应的自变量取值和最值公式，是后续求解二次函数实际应用类最值问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
知识点2）二次函数与图形面积问题
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的一般步骤：
(1)根据面积公式、周长公式等
(2)确定
(3)根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围
(4)根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的一般步骤：
(1)根据面积公式、周长公式等
建立函数解析式
.(2)确定
自变量的取值范围
.(3)根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围
画草图
.(4)根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的
最大值或最小值
.答案
(1)建立函数解析式
(2)自变量的取值范围
(3)画草图
(4)最大值或最小值
(2)自变量的取值范围
(3)画草图
(4)最大值或最小值
解析
【分析】
本题考查利用二次函数解决几何图形最值问题的常规步骤，可按照“几何问题转函数问题→限定函数适用范围→借助图象直观分析→求解目标值”的逻辑梳理：首先要将几何中的面积、周长等量与对应变量结合，通过公式写出函数关系；其次几何图形的边长等变量有实际意义限制，需要明确自变量的可取值范围；之后为了更直观判断最值位置，要结合二次函数的开口、顶点以及自变量范围画出草图；最后结合图象就能求出自变量允许范围内的最值。
【解析】
根据利用二次函数解决几何图形中最值问题的固定步骤：
(1) 首先根据面积公式、周长公式等建立函数解析式，将几何问题转化为二次函数问题；
(2) 结合几何量的实际意义，确定自变量的取值范围，避免求解无意义的结果；
(3) 根据二次函数的开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图，直观呈现函数的变化趋势；
(4) 结合绘制的草图，求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值，即所求的几何量最值。
【答案】
(1)建立函数解析式；(2)自变量的取值范围；(3)画草图；(4)最大值或最小值
【知识点】
二次函数最值应用、自变量取值范围确定、函数图象辅助分析
【点评】
本题是基础概念类填空题，重点考查对二次函数解决几何最值问题的步骤的掌握，牢记标准化的解题步骤即可快速作答，该步骤是解决二次函数几何综合最值问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查利用二次函数解决几何图形最值问题的常规步骤，可按照“几何问题转函数问题→限定函数适用范围→借助图象直观分析→求解目标值”的逻辑梳理：首先要将几何中的面积、周长等量与对应变量结合，通过公式写出函数关系；其次几何图形的边长等变量有实际意义限制，需要明确自变量的可取值范围；之后为了更直观判断最值位置，要结合二次函数的开口、顶点以及自变量范围画出草图；最后结合图象就能求出自变量允许范围内的最值。
【解析】
根据利用二次函数解决几何图形中最值问题的固定步骤：
(1) 首先根据面积公式、周长公式等建立函数解析式，将几何问题转化为二次函数问题；
(2) 结合几何量的实际意义，确定自变量的取值范围，避免求解无意义的结果；
(3) 根据二次函数的开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图，直观呈现函数的变化趋势；
(4) 结合绘制的草图，求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值，即所求的几何量最值。
【答案】
(1)建立函数解析式；(2)自变量的取值范围；(3)画草图；(4)最大值或最小值
【知识点】
二次函数最值应用、自变量取值范围确定、函数图象辅助分析
【点评】
本题是基础概念类填空题，重点考查对二次函数解决几何最值问题的步骤的掌握，牢记标准化的解题步骤即可快速作答，该步骤是解决二次函数几何综合最值问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
例 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD. 苗圃的一面靠墙(墙最大可用长度为14 m),另三边用木栏围成,中间也用垂直于墙的木栏隔开,分成两个区域,并在如图所示的两处各留2 m宽的门,建成后所用木栏总长32 m,设苗圃ABCD的一边CD长为x m.
(1)BC长为 m(用含x的式子表示);
(2)当x为何值时,苗圃ABCD的面积最大,最大面积为多少?
答案:(1)(36-3x)
(2)当x为$\frac{22}{3}$时,苗圃ABCD的面积最大,最大面积为$\frac{308}{3}$ m².
方法点拨 先根据长方形面积公式列出二次函数解析式,再利用二次函数图象的对称轴和自变量的取值范围判断最大值.
(1)BC长为 m(用含x的式子表示);
(2)当x为何值时,苗圃ABCD的面积最大,最大面积为多少?
答案:(1)(36-3x)
(2)当x为$\frac{22}{3}$时,苗圃ABCD的面积最大,最大面积为$\frac{308}{3}$ m².
方法点拨 先根据长方形面积公式列出二次函数解析式,再利用二次函数图象的对称轴和自变量的取值范围判断最大值.
答案
解：
(1) 由题意可得，BC长为$(36-3x)$ m。
(2) 设苗圃ABCD的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，
则$S = x(36-3x) = -3x^2 + 36x$。
由墙的最大可用长度为14 m，得：
$0 ＜ 36 - 3x ≤ 14$，
解得$\frac{22}{3} ≤ x ＜ 12$。
对于二次函数$S=-3x^2+36x$，
$\because a=-3＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{36}{2×(-3)}=6$。
$\because$ 自变量$x$的取值范围是$\frac{22}{3} ≤ x ＜ 12$，位于对称轴右侧，
$\therefore S$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=\frac{22}{3}$时，$S$取得最大值，
$S_{\mathrm{max}} = \frac{22}{3} × (36 - 3×\frac{22}{3}) = \frac{308}{3}$。
答：当$x$为$\frac{22}{3}$时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为$\frac{308}{3}\ \mathrm{m}^2$。
(1) 由题意可得，BC长为$(36-3x)$ m。
(2) 设苗圃ABCD的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，
则$S = x(36-3x) = -3x^2 + 36x$。
由墙的最大可用长度为14 m，得：
$0 ＜ 36 - 3x ≤ 14$，
解得$\frac{22}{3} ≤ x ＜ 12$。
对于二次函数$S=-3x^2+36x$，
$\because a=-3＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{36}{2×(-3)}=6$。
$\because$ 自变量$x$的取值范围是$\frac{22}{3} ≤ x ＜ 12$，位于对称轴右侧，
$\therefore S$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=\frac{22}{3}$时，$S$取得最大值，
$S_{\mathrm{max}} = \frac{22}{3} × (36 - 3×\frac{22}{3}) = \frac{308}{3}$。
答：当$x$为$\frac{22}{3}$时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为$\frac{308}{3}\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 先梳理木栏构成：垂直于墙的木栏共3段（AB、中间隔栏、CD），每段长均为x m；平行于墙的木栏长度为BC减去两处门的总宽度（每处门宽2m，共4m）。根据“3段垂直木栏总长+平行墙的木栏长度=32m”的等量关系，整理即可得到BC的表达式。
(2) 首先根据长方形面积公式列出面积S关于x的二次函数解析式；再结合墙的最大可用长度、边长为正的要求，求出x的取值范围；最后根据二次函数的开口方向、对称轴，判断函数在取值范围内的增减性，即可求出最大面积及对应x的值。
【解析】
(1) 由题意，垂直于墙的3段木栏总长度为3x m，两处门共占长度$2×2=4\ \mathrm{m}$，木栏总长32 m，因此：
$3x + (BC - 4) = 32$
整理得$BC = 32 + 4 - 3x = 36 - 3x$，即BC长为$(36-3x)\mathrm{m}$。
(2) 设苗圃ABCD的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式可得：
$S = x(36-3x) = -3x^2 + 36x$
根据墙的最大可用长度为14 m，且BC为正数，可得不等式：
$0 ＜ 36 - 3x ≤ 14$
解不等式得：$\frac{22}{3} ≤ x ＜ 12$。
对于二次函数$S=-3x^2+36x$，$\because a=-3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{36}{2×(-3)}=6$。
$\because$x的取值范围$\frac{22}{3} ≤ x ＜ 12$在对称轴右侧，此时S随x的增大而减小，$\therefore$当$x=\frac{22}{3}$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{22}{3} × (36 - 3×\frac{22}{3}) = \frac{308}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(36-3x)}$
(2) 当x为$\boldsymbol{\frac{22}{3}}$时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为$\boldsymbol{\frac{308}{3}\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
1. 列代数式
2. 二次函数的最值
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题，解题时需注意两个关键点：一是列边长表达式时不要遗漏门的宽度，二是求最值时不能直接套用顶点坐标，要结合实际限制条件得到的自变量取值范围，根据函数增减性判断最值点，避免脱离实际出错。
【难度系数】
0.6
(1) 先梳理木栏构成：垂直于墙的木栏共3段（AB、中间隔栏、CD），每段长均为x m；平行于墙的木栏长度为BC减去两处门的总宽度（每处门宽2m，共4m）。根据“3段垂直木栏总长+平行墙的木栏长度=32m”的等量关系，整理即可得到BC的表达式。
(2) 首先根据长方形面积公式列出面积S关于x的二次函数解析式；再结合墙的最大可用长度、边长为正的要求，求出x的取值范围；最后根据二次函数的开口方向、对称轴，判断函数在取值范围内的增减性，即可求出最大面积及对应x的值。
【解析】
(1) 由题意，垂直于墙的3段木栏总长度为3x m，两处门共占长度$2×2=4\ \mathrm{m}$，木栏总长32 m，因此：
$3x + (BC - 4) = 32$
整理得$BC = 32 + 4 - 3x = 36 - 3x$，即BC长为$(36-3x)\mathrm{m}$。
(2) 设苗圃ABCD的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式可得：
$S = x(36-3x) = -3x^2 + 36x$
根据墙的最大可用长度为14 m，且BC为正数，可得不等式：
$0 ＜ 36 - 3x ≤ 14$
解不等式得：$\frac{22}{3} ≤ x ＜ 12$。
对于二次函数$S=-3x^2+36x$，$\because a=-3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{36}{2×(-3)}=6$。
$\because$x的取值范围$\frac{22}{3} ≤ x ＜ 12$在对称轴右侧，此时S随x的增大而减小，$\therefore$当$x=\frac{22}{3}$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{22}{3} × (36 - 3×\frac{22}{3}) = \frac{308}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(36-3x)}$
(2) 当x为$\boldsymbol{\frac{22}{3}}$时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为$\boldsymbol{\frac{308}{3}\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
1. 列代数式
2. 二次函数的最值
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题，解题时需注意两个关键点：一是列边长表达式时不要遗漏门的宽度，二是求最值时不能直接套用顶点坐标，要结合实际限制条件得到的自变量取值范围，根据函数增减性判断最值点，避免脱离实际出错。
【难度系数】
0.6
