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探究1：回顾等边三角形的定义，完成下面的填空。
(1)三边
(2)如图，若$△ ABC$是等边三角形，则$AB =$
探究2：等边三角形的三个角有什么特点？
如上图，因为$BC=CA$，所以$∠ A =$
新知生成：等边三角形三个角都
(1)三边
相等
的三角形叫作等边三角形。如图，在$△ ABC$中，$AB = BC = CA$，则$△ ABC$是等边三角形
。(2)如图，若$△ ABC$是等边三角形，则$AB =$
BC
$=$CA
。探究2：等边三角形的三个角有什么特点？
如上图，因为$BC=CA$，所以$∠ A =$
∠B
。因为$AB=BC$，所以$∠ A =$∠C
，所以$∠ A =$∠B
$=$∠C
。因为$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，所以$∠ A =$∠B
$=$∠C
$=60°$。新知生成：等边三角形三个角都
相等
，且都为60°
。答案
探究1 (1)相等 等边三角形 (2)BC CA
探究2 ∠B ∠C ∠B ∠C ∠B ∠C
新知生成 相等 60°
探究2 ∠B ∠C ∠B ∠C ∠B ∠C
新知生成 相等 60°
解析
【分析】
这道题围绕等边三角形的定义和角的性质设置，解题时先回忆相关基础概念：首先等边三角形的定义是判定等边三角形的依据，反过来等边三角形就满足三边相等的特征；其次利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，就能推导得出等边三角形三个角的特点，按顺序逐空推导即可。
【解析】
探究1
(1) 根据等边三角形的定义，三边相等的三角形叫作等边三角形。已知△ABC的三边满足AB=BC=CA，完全符合等边三角形的定义，因此△ABC是等边三角形。
(2) 等边三角形的核心特征是三边长度相等，因此若△ABC是等边三角形，则AB=BC=CA。
探究2
根据等腰三角形“等边对等角”的性质：当两条边BC=CA时，对应的两个底角∠A=∠B；当两条边AB=BC时，对应的两个底角∠A=∠C，由此可推出∠A=∠B=∠C。结合三角形内角和为180°，三个角相等时每个角的度数为180°÷3=60°，因此∠A=∠B=∠C=60°。
新知生成
由上述推导可知，等边三角形三个角都相等，且每个角的度数都为60°。
【答案】
探究1 (1)相等 等边三角形 (2)BC CA
探究2 ∠B ∠C ∠B ∠C ∠B ∠C
新知生成 相等 60°
【知识点】
等边三角形的定义，等边三角形的性质，三角形内角和
【点评】
本题属于基础巩固类习题，侧重考查等边三角形的基础概念与性质，熟练掌握相关基础知识点即可快速完成作答，是后续学习等边三角形相关计算、证明的必备基础。
【难度系数】
0.9
这道题围绕等边三角形的定义和角的性质设置，解题时先回忆相关基础概念：首先等边三角形的定义是判定等边三角形的依据，反过来等边三角形就满足三边相等的特征；其次利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，就能推导得出等边三角形三个角的特点，按顺序逐空推导即可。
【解析】
探究1
(1) 根据等边三角形的定义，三边相等的三角形叫作等边三角形。已知△ABC的三边满足AB=BC=CA，完全符合等边三角形的定义，因此△ABC是等边三角形。
(2) 等边三角形的核心特征是三边长度相等，因此若△ABC是等边三角形，则AB=BC=CA。
探究2
根据等腰三角形“等边对等角”的性质：当两条边BC=CA时，对应的两个底角∠A=∠B；当两条边AB=BC时，对应的两个底角∠A=∠C，由此可推出∠A=∠B=∠C。结合三角形内角和为180°，三个角相等时每个角的度数为180°÷3=60°，因此∠A=∠B=∠C=60°。
新知生成
由上述推导可知，等边三角形三个角都相等，且每个角的度数都为60°。
【答案】
探究1 (1)相等 等边三角形 (2)BC CA
探究2 ∠B ∠C ∠B ∠C ∠B ∠C
新知生成 相等 60°
【知识点】
等边三角形的定义，等边三角形的性质，三角形内角和
【点评】
本题属于基础巩固类习题，侧重考查等边三角形的基础概念与性质，熟练掌握相关基础知识点即可快速完成作答，是后续学习等边三角形相关计算、证明的必备基础。
【难度系数】
0.9
如图，已知$△ ABC$是等边三角形，点G在边AC上，点D在BC的延长线上，且$CG=CD$，则$∠ CDG$的度数为
30°
。答案
30°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得到它的内角都是60°，进而求出∠ACB的邻补角∠ACD的度数；再由CG=CD可知△CDG是等腰三角形，根据等腰三角形两个底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，就可以计算出底角∠CDG的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∵CG=CD，
∴△CDG为等腰三角形，∠CDG=∠CGD，
在△CDG中，根据三角形内角和定理得：
∠CDG+∠CGD+∠ACD=180°，
即2∠CDG=180°-120°=60°，
解得∠CDG=30°。
【答案】
30°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是将等边三角形和等腰三角形的性质结合使用，只要能准确找到等腰三角形的顶角，就能快速求出对应底角的度数。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先看到△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得到它的内角都是60°，进而求出∠ACB的邻补角∠ACD的度数；再由CG=CD可知△CDG是等腰三角形，根据等腰三角形两个底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，就可以计算出底角∠CDG的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∵CG=CD，
∴△CDG为等腰三角形，∠CDG=∠CGD，
在△CDG中，根据三角形内角和定理得：
∠CDG+∠CGD+∠ACD=180°，
即2∠CDG=180°-120°=60°，
解得∠CDG=30°。
【答案】
30°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是将等边三角形和等腰三角形的性质结合使用，只要能准确找到等腰三角形的顶角，就能快速求出对应底角的度数。
【难度系数】
0.8
任务一 理解并运用等腰三角形的判定
探究: 如图, 在$△ ABC$中, 已知$∠ B = ∠ C$, 则$AB$, $AC$有何数量关系?
如图, 过点$A$作$AD ⊥ BC$, 垂足为$D$, 则==$90°$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中,
$\begin{cases}∠ B = ∠ C, \\\_\_\_\_\_\_, \\AD = \_\_\_\_\_\_,\end{cases}$
所以$△ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{AAS})$。
所以$AB = AC$。
新知生成: 如果一个三角形有两个角相等, 那么它们所对的边也相等, 简称“______________”。
探究: 如图, 在$△ ABC$中, 已知$∠ B = ∠ C$, 则$AB$, $AC$有何数量关系?
如图, 过点$A$作$AD ⊥ BC$, 垂足为$D$, 则==$90°$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中,
$\begin{cases}∠ B = ∠ C, \\\_\_\_\_\_\_, \\AD = \_\_\_\_\_\_,\end{cases}$
所以$△ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{AAS})$。
所以$AB = AC$。
新知生成: 如果一个三角形有两个角相等, 那么它们所对的边也相等, 简称“______________”。
答案
∠ADB；∠ADC；∠ADB=∠ADC；AD；等角对等边
解析
【分析】
本题是等腰三角形“等角对等边”判定定理的推导填空题，解题时先结合辅助线$AD⊥BC$的条件，根据垂直的定义可得到两个相等的直角；再回忆AAS证明三角形全等的条件：两个角和其中一个角的对边对应相等，结合已知的$∠B=∠C$，以及公共边AD，补全全等判定的条件；最后根据全等三角形对应边相等得出$AB=AC$的结论，对应得到等腰三角形判定定理的简称即可。
【解析】
过点$A$作$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，根据垂直的定义，得$\boldsymbol{∠ADB = ∠ADC = 90°}$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ B = ∠ C, \\\boldsymbol{∠ADB=∠ADC}, \\AD = \boldsymbol{AD},\end{cases}$
所以$△ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{AAS})$。
根据全等三角形对应边相等，所以$AB = AC$。
新知生成：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称“$\boldsymbol{等角对等边}$”。
【答案】
$∠ADB$；$∠ADC$；$∠ADB=∠ADC$；$AD$；等角对等边
【知识点】
1. 垂直的定义 2. 全等三角形AAS判定 3. 等腰三角形判定
【点评】
本题围绕等腰三角形判定定理的推导过程设置，侧重考察基础几何概念的理解与运用，通过填空的形式引导学生梳理定理的证明逻辑，帮助学生扎实掌握“等角对等边”的来源与适用条件，是典型的基础概念巩固题。
【难度系数】
0.85
本题是等腰三角形“等角对等边”判定定理的推导填空题，解题时先结合辅助线$AD⊥BC$的条件，根据垂直的定义可得到两个相等的直角；再回忆AAS证明三角形全等的条件：两个角和其中一个角的对边对应相等，结合已知的$∠B=∠C$，以及公共边AD，补全全等判定的条件；最后根据全等三角形对应边相等得出$AB=AC$的结论，对应得到等腰三角形判定定理的简称即可。
【解析】
过点$A$作$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，根据垂直的定义，得$\boldsymbol{∠ADB = ∠ADC = 90°}$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ B = ∠ C, \\\boldsymbol{∠ADB=∠ADC}, \\AD = \boldsymbol{AD},\end{cases}$
所以$△ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{AAS})$。
根据全等三角形对应边相等，所以$AB = AC$。
新知生成：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称“$\boldsymbol{等角对等边}$”。
【答案】
$∠ADB$；$∠ADC$；$∠ADB=∠ADC$；$AD$；等角对等边
【知识点】
1. 垂直的定义 2. 全等三角形AAS判定 3. 等腰三角形判定
【点评】
本题围绕等腰三角形判定定理的推导过程设置，侧重考察基础几何概念的理解与运用，通过填空的形式引导学生梳理定理的证明逻辑，帮助学生扎实掌握“等角对等边”的来源与适用条件，是典型的基础概念巩固题。
【难度系数】
0.85
即时测评
如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN按如图所示的位置摆放，使边EM与边OB重合，顶点D落在边OA上，边DN与OC交于点P。判断△DOP是否为等腰三角形，并说明理由。
如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN按如图所示的位置摆放，使边EM与边OB重合，顶点D落在边OA上，边DN与OC交于点P。判断△DOP是否为等腰三角形，并说明理由。
答案
解：$△ DOP$是等腰三角形，理由如下：
1. 因为$OC$平分$∠ AOB$，根据角平分线的定义，可得
$∠ DOP = ∠ BOP$
2. 由直角尺的摆放位置可知，$DN // OB$，根据“两直线平行，内错角相等”的性质，可得
$∠ DPO = ∠ BOP$
3. 结合上述两个结论进行等量代换，可得
$∠ DOP = ∠ DPO$
4. 根据“等角对等边”的判定定理，可得$DO = DP$，因此$△ DOP$为等腰三角形。
1. 因为$OC$平分$∠ AOB$，根据角平分线的定义，可得
$∠ DOP = ∠ BOP$
2. 由直角尺的摆放位置可知，$DN // OB$，根据“两直线平行，内错角相等”的性质，可得
$∠ DPO = ∠ BOP$
3. 结合上述两个结论进行等量代换，可得
$∠ DOP = ∠ DPO$
4. 根据“等角对等边”的判定定理，可得$DO = DP$，因此$△ DOP$为等腰三角形。
解析
【分析】
要判断△DOP是否为等腰三角形，可通过证明三角形中存在两个相等的内角来判定。首先由角平分线的定义可得到一组相等的角，再结合直角尺的结构特征可知DN与OB平行，利用平行线的性质可得到另一组相等的角，通过等量代换即可得到△DOP中两个内角相等，从而完成判定。
【解析】
△DOP是等腰三角形，理由如下：
1. 因为OC平分∠AOB，根据角平分线的定义，可得
$∠ DOP = ∠ BOP$
2. 由直角尺的摆放位置可知，$DN // OB$，根据“两直线平行，内错角相等”的性质，可得
$∠ DPO = ∠ BOP$
3. 结合上述两个结论进行等量代换，可得
$∠ DOP = ∠ DPO$
4. 根据“等角对等边”的判定定理，可得$DO = DP$，因此$△ DOP$为等腰三角形。
【答案】
$△ DOP$是等腰三角形
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查角平分线、平行线、等腰三角形判定等基础知识点的综合运用，解题核心是结合图形特征梳理角的等量关系，是几何证明的常见基础题型，需熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.8
要判断△DOP是否为等腰三角形，可通过证明三角形中存在两个相等的内角来判定。首先由角平分线的定义可得到一组相等的角，再结合直角尺的结构特征可知DN与OB平行，利用平行线的性质可得到另一组相等的角，通过等量代换即可得到△DOP中两个内角相等，从而完成判定。
【解析】
△DOP是等腰三角形，理由如下：
1. 因为OC平分∠AOB，根据角平分线的定义，可得
$∠ DOP = ∠ BOP$
2. 由直角尺的摆放位置可知，$DN // OB$，根据“两直线平行，内错角相等”的性质，可得
$∠ DPO = ∠ BOP$
3. 结合上述两个结论进行等量代换，可得
$∠ DOP = ∠ DPO$
4. 根据“等角对等边”的判定定理，可得$DO = DP$，因此$△ DOP$为等腰三角形。
【答案】
$△ DOP$是等腰三角形
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查角平分线、平行线、等腰三角形判定等基础知识点的综合运用，解题核心是结合图形特征梳理角的等量关系，是几何证明的常见基础题型，需熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.8
