探究1：如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是什么三角形？为什么？
如图，在$△ ABC$中，$∠ A=∠ B=∠ C$。

因为$∠ A=∠ B$，所以$AC=$。因为$∠ A=∠ C$，所以$AB=$。所以$AB=$$=$。所以$△ ABC$是等边三角形。
探究2：如果一个等腰三角形有一个角为$60°$，那么这个三角形是什么三角形？为什么？
如上图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ A=60°$。
因为$AC=BC$，所以$∠ B=$$=$$°$。因为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，所以$=60°$。所以$∠ A=$$=$。所以$△ ABC$是等边三角形。
新知生成：(1)三个内角的三角形是等边三角形。
(2)有一个角为的等腰三角形是等边三角形。

探究1：BC；BC；BC；AC
探究2：∠A；60；∠C；∠B；∠C
新知生成：(1)都相等 (2)60°

【分析】
本题围绕等边三角形的判定展开，解题时先回忆等腰三角形的性质和三角形内角和定理：探究1利用“等角对等边”，由三个内角两两相等推导对应边相等，得到三边相等的结论；探究2先利用等腰三角形“等边对等角”得到底角相等，再结合内角和算出第三个角的度数，得到三个角都相等的结论，最后总结两个判定定理即可。
【解析】
探究1
根据等腰三角形“等角对等边”的性质：
∠A和∠B的对边分别是BC、AC，由∠A=∠B可得$AC=BC$；
∠A和∠C的对边分别是BC、AB，由∠A=∠C可得$AB=BC$；
综上可推出$AB=BC=AC$，三边相等的三角形为等边三角形，因此△ABC是等边三角形。
---
探究2
已知$AC=BC$，△ABC是等腰三角形，根据“等边对等角”可得$∠ B=∠ A=60°$；
由三角形内角和为$180°$，计算得$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-60°-60°=60°$；
因此$∠ A=∠ B=∠ C$，三个角都相等的三角形为等边三角形，因此△ABC是等边三角形。
---
新知生成
(1)结合探究1的结论可得三个内角的特征；(2)结合探究2的条件可得等腰三角形成为等边三角形的特殊角要求。
【答案】
探究1：BC；BC；BC；AC
探究2：∠A；60；∠C；∠B；∠C
新知生成：(1)都相等 (2)60°
【知识点】
等角对等边、等边对等角、等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础推导类题目，通过等腰三角形的性质和三角形内角和定理，逐步推导得出等边三角形的两个常用判定方法，帮助理解特殊三角形之间的性质关联，能有效巩固基础概念。
【难度系数】
0.8

已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为$60°$，则它的周长是（）

A.12
B.15
C.18
D.20

C

【分析】
解题时首先结合已知条件判断三角形的形状：已知该三角形是等腰三角形，且有一个内角为60°，根据等边三角形的判定规则，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可确定该三角形为等边三角形；再根据等边三角形三边相等的性质，已知一边长为6，即可求出三边长之和即周长。
【解析】
解：
∵ 该三角形是等腰三角形，且有一个内角为60°
∴ 根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可得该三角形是等边三角形
∵ 等边三角形的三条边长度相等，已知该三角形一边长为6
∴ 该三角形的三边长均为6
∴ 它的周长为 6×3 = 18
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题主要考查等腰三角形性质和等边三角形的判定，解题核心是熟练掌握“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定定理，属于基础题型，掌握对应判定规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

探究1：如图，将两个大小相同的含$30°$角的三角板摆放在一起，所拼成的$△ ABD$是什么三角形？

由题意知，$∠ B = ∠ D = 60°$，$∠ BAC = ∠ DAC = 30°$，所以$∠ BAD = \_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_ = 60°$。所以$∠ B = ∠ D = \_\_\_\_\_\_$。所以$△ ABD$是等边三角形。
探究2：借助探究1的图形，你能得出直角边$BC$与斜边$AB$间的数量关系吗？
因为$△ ABD$是等边三角形，所以$AB = BD$。
因为$BC = \_\_\_\_\_\_$，所以$BC = \_\_\_\_\_\_ BD$。
所以$BC = \_\_\_\_\_\_ AB$。
新知生成：在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于________。

探究1：∠BAC；∠DAC；∠BAD
探究2：CD；$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$
新知生成：斜边的一半

【分析】
首先解决探究1：已知两个三角板的∠BAC和∠DAC均为30°，∠BAD是这两个角的和，计算出∠BAD的度数后，观察△ABD的三个内角，结合等边三角形的判定方法即可判断三角形类型。
接着解决探究2：由两个大小相同的三角板可知BC和CD长度相等，即BC是BD的一半，再结合探究1得出的等边三角形ABD中AB=BD，即可推导出BC和AB的数量关系，最终总结出含30°角的直角三角形的性质。
【解析】
探究1：由题意得∠BAC=30°，∠DAC=30°，因此$∠ BAD = ∠ BAC + ∠ DAC = 30°+30°=60°$，此时△ABD中$∠ B=∠ D=∠ BAD=60°$，三个内角都相等的三角形是等边三角形，因此△ABD是等边三角形。
探究2：因为两个三角板大小完全相同，对应边相等，所以$BC=CD$，即$BC = \frac{1}{2}BD$；又因为△ABD是等边三角形，所以$AB=BD$，等量代换可得$BC = \frac{1}{2}AB$。
新知生成：由上述推导可总结规律：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【答案】
探究1：$∠ BAC$；$∠ DAC$；$∠ BAD$
探究2：$CD$；$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$
新知生成：斜边的一半
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题通过拼接三角板的实践情境引导学生自主推导特殊三角形的性质，注重知识的形成过程，能帮助学生更好地理解等边三角形和含30°角直角三角形的内在联系，夯实基础。
【难度系数】
0.8

如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 5 cm，则 AB=。

10 cm

【分析】
首先读取题目给出的已知条件：△ABC是直角三角形，∠C=90°，存在30°的锐角∠A，且∠A对应的直角边BC长度为5cm，要求斜边AB的长度。解题时首先对应回忆含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°锐角所对的直角边是斜边的一半。先明确30°角对应的直角边是BC、斜边是AB，根据性质可推出AB是BC的2倍，代入BC的长度即可算出AB的数值。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴根据含30°角的直角三角形的性质可得：30°角∠A所对的直角边BC等于斜边AB的一半，即$\boldsymbol{BC=\frac{1}{2}AB}$，
变形得$AB=2BC$，
将$BC=5\mathrm{cm}$代入，得$AB=2×5=10\mathrm{cm}$。
【答案】
10 cm
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、直角三角形的基本概念
【点评】
本题是基础性质应用题，解题核心是准确识别30°角对应的直角边和斜边，牢记相关性质即可快速求解，是对基础知识点掌握情况的常规考察。
【难度系数】
0.9