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一、选择题
1. 若直线$kx - 3y = 8$和$2x + 5y = -4$交点的纵坐标为0，则$k$的值为（
A.4
B.$-4$
C.2
D.$-2$
1. 若直线$kx - 3y = 8$和$2x + 5y = -4$交点的纵坐标为0，则$k$的值为（
B
）。A.4
B.$-4$
C.2
D.$-2$
答案
1. B
解析
【分析】
本题要求参数k的值，解题思路如下：首先明确两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的二元一次方程；已知交点纵坐标为0即y=0，可先将y=0代入不含参数k的方程2x+5y=-4，求出交点的横坐标x，得到完整的交点坐标后，再将交点坐标代入含k的方程kx-3y=8，即可解出k的值。
【解析】
解：
∵ 两条直线交点的纵坐标为0
∴ 交点处y=0
将y=0代入方程$2x + 5y = -4$，得：
$2x + 5×0 = -4$
解得 $x = -2$
∴ 两条直线的交点坐标为$(-2, 0)$
∵ 交点同时在直线$kx - 3y = 8$上
∴ 将$x=-2$，$y=0$代入$kx - 3y = 8$，得：
$k×(-2) - 3×0 = 8$
即 $-2k = 8$
解得 $k = -4$
【答案】
B
【知识点】
一次函数交点的意义；代入法求值；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心是理解一次函数的交点坐标就是对应的两个二元一次方程的公共解，解题时先利用已知的纵坐标求出完整交点坐标，再代入含参方程即可求出参数值，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
本题要求参数k的值，解题思路如下：首先明确两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的二元一次方程；已知交点纵坐标为0即y=0，可先将y=0代入不含参数k的方程2x+5y=-4，求出交点的横坐标x，得到完整的交点坐标后，再将交点坐标代入含k的方程kx-3y=8，即可解出k的值。
【解析】
解：
∵ 两条直线交点的纵坐标为0
∴ 交点处y=0
将y=0代入方程$2x + 5y = -4$，得：
$2x + 5×0 = -4$
解得 $x = -2$
∴ 两条直线的交点坐标为$(-2, 0)$
∵ 交点同时在直线$kx - 3y = 8$上
∴ 将$x=-2$，$y=0$代入$kx - 3y = 8$，得：
$k×(-2) - 3×0 = 8$
即 $-2k = 8$
解得 $k = -4$
【答案】
B
【知识点】
一次函数交点的意义；代入法求值；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心是理解一次函数的交点坐标就是对应的两个二元一次方程的公共解，解题时先利用已知的纵坐标求出完整交点坐标，再代入含参方程即可求出参数值，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
2. 函数$y=2x$和$y=ax+4$的图象交于点$A(m,3)$，则关于$x$的方程$2x=ax+4$的解为(
A.$x=\dfrac{3}{2}$
B.$x=3$
C.$x=-\dfrac{3}{2}$
D.$x=-3$
A
).A.$x=\dfrac{3}{2}$
B.$x=3$
C.$x=-\dfrac{3}{2}$
D.$x=-3$
答案
2. A
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，利用一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，把交点A(m,3)代入y=2x求出m的值；第二步，明确两个一次函数图象交点的横坐标，就是对应方程2x=ax+4的解，即可得到最终结果。
【解析】
∵点A(m,3)在函数y=2x的图象上
∴将x=m、y=3代入y=2x，可得：
$3=2m$
解得$m=\dfrac{3}{2}$，即点A的坐标为$(\dfrac{3}{2},3)$
又
∵方程$2x=ax+4$的解就是函数$y=2x$和$y=ax+4$图象交点的横坐标
∴方程$2x=ax+4$的解为$x=\dfrac{3}{2}$
【答案】
A
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题考查一次函数和一元一次方程的关联，解题关键是掌握两个一次函数交点的横坐标即为对应一元一次方程的解，属于基础题型，熟练掌握一次函数基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，利用一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，把交点A(m,3)代入y=2x求出m的值；第二步，明确两个一次函数图象交点的横坐标，就是对应方程2x=ax+4的解，即可得到最终结果。
【解析】
∵点A(m,3)在函数y=2x的图象上
∴将x=m、y=3代入y=2x，可得：
$3=2m$
解得$m=\dfrac{3}{2}$，即点A的坐标为$(\dfrac{3}{2},3)$
又
∵方程$2x=ax+4$的解就是函数$y=2x$和$y=ax+4$图象交点的横坐标
∴方程$2x=ax+4$的解为$x=\dfrac{3}{2}$
【答案】
A
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题考查一次函数和一元一次方程的关联，解题关键是掌握两个一次函数交点的横坐标即为对应一元一次方程的解，属于基础题型，熟练掌握一次函数基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3. 将一张面值为100元的人民币兑换成面值为10元和20元的零钱，且两种零钱都要有，则兑换方案有(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)种.A.3
B.4
C.5
D.6
答案
3. B
解析
【分析】
首先明确题目等量关系：10元零钱的总面值+20元零钱的总面值=100元，且两种零钱的数量均为正整数。我们可以通过设未知数建立二元一次方程，再根据未知数的实际取值要求（正整数），找出所有符合条件的解，解的个数就是兑换方案的种数。
【解析】
设兑换时10元面值的零钱有$x$张，20元面值的零钱有$y$张，其中$x$、$y$均为正整数。
根据总面值为100元，可列方程：
$10x + 20y = 100$
化简方程得：$x + 2y = 10$，变形为$x = 10 - 2y$。
因为$x$是正整数，所以$10 - 2y ＞ 0$，解得$y ＜ 5$；又因为$y$是正整数，所以$y$的可能取值为1、2、3、4：
当$y=1$时，$x=10-2×1=8$，符合要求；
当$y=2$时，$x=10-2×2=6$，符合要求；
当$y=3$时，$x=10-2×3=4$，符合要求；
当$y=4$时，$x=10-2×4=2$，符合要求。
综上，共有4种符合条件的兑换方案。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程的应用
2. 二元一次方程的正整数解
【点评】
本题结合生活中的兑换零钱场景考查二元一次方程的实际应用，解题的核心是根据题意建立方程，结合未知数的实际意义（正整数、两种面值都要有）筛选合适的解，注意不要忽略限制条件导致多算或漏算方案。
【难度系数】
0.7
首先明确题目等量关系：10元零钱的总面值+20元零钱的总面值=100元，且两种零钱的数量均为正整数。我们可以通过设未知数建立二元一次方程，再根据未知数的实际取值要求（正整数），找出所有符合条件的解，解的个数就是兑换方案的种数。
【解析】
设兑换时10元面值的零钱有$x$张，20元面值的零钱有$y$张，其中$x$、$y$均为正整数。
根据总面值为100元，可列方程：
$10x + 20y = 100$
化简方程得：$x + 2y = 10$，变形为$x = 10 - 2y$。
因为$x$是正整数，所以$10 - 2y ＞ 0$，解得$y ＜ 5$；又因为$y$是正整数，所以$y$的可能取值为1、2、3、4：
当$y=1$时，$x=10-2×1=8$，符合要求；
当$y=2$时，$x=10-2×2=6$，符合要求；
当$y=3$时，$x=10-2×3=4$，符合要求；
当$y=4$时，$x=10-2×4=2$，符合要求。
综上，共有4种符合条件的兑换方案。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程的应用
2. 二元一次方程的正整数解
【点评】
本题结合生活中的兑换零钱场景考查二元一次方程的实际应用，解题的核心是根据题意建立方程，结合未知数的实际意义（正整数、两种面值都要有）筛选合适的解，注意不要忽略限制条件导致多算或漏算方案。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 若直线 $ x + 2y + k + 1 = 0 $ 和直线 $ 2x + y + 2k = 0 $ 的交点在第三象限，则 $ k $ 的取值范围是
4. 若直线 $ x + 2y + k + 1 = 0 $ 和直线 $ 2x + y + 2k = 0 $ 的交点在第三象限，则 $ k $ 的取值范围是
$k＞\frac{1}{3}$
.答案
4. $k＞\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，所以首先需要联立两个直线方程，求出用含k的代数式表示的交点坐标；第二步，回忆第三象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标也小于0；第三步，根据坐标特征列出关于k的不等式，解不等式就能得到k的取值范围。
【解析】
联立两条直线的方程，得到二元一次方程组：
$\begin{cases}x + 2y + k + 1 = 0 \quad ① \\2x + y + 2k = 0 \quad ②\end{cases}$
用加减消元法解方程组：
将②×2，得：$4x + 2y + 4k = 0 \quad ③$
用③-①消去y：
$4x + 2y + 4k - (x + 2y + k + 1) = 0$
化简得：$3x + 3k - 1 = 0$，解得 $x = \frac{1 - 3k}{3}$
将①×2，得：$2x + 4y + 2k + 2 = 0 \quad ④$
用④-②消去x：
$2x + 4y + 2k + 2 - (2x + y + 2k) = 0$
化简得：$3y + 2 = 0$，解得 $y = -\frac{2}{3}$
因为交点在第三象限，所以横坐标$x＜0$，纵坐标$y＜0$，其中$y=-\frac{2}{3}＜0$已经满足要求，只需让$x＜0$即可：
$\frac{1 - 3k}{3} ＜ 0$
两边同乘3得：$1 - 3k ＜ 0$
移项得：$3k ＞ 1$
解得：$k ＞ \frac{1}{3}$
【答案】
$k＞\frac{1}{3}$
【知识点】
一次函数交点求解，象限内点的坐标特征，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一次函数与不等式的基础综合题，核心是理解一次函数交点与二元一次方程组解的对应关系，结合象限坐标的符号要求列不等式求解，计算时注意解不等式的符号变号规则。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，所以首先需要联立两个直线方程，求出用含k的代数式表示的交点坐标；第二步，回忆第三象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标也小于0；第三步，根据坐标特征列出关于k的不等式，解不等式就能得到k的取值范围。
【解析】
联立两条直线的方程，得到二元一次方程组：
$\begin{cases}x + 2y + k + 1 = 0 \quad ① \\2x + y + 2k = 0 \quad ②\end{cases}$
用加减消元法解方程组：
将②×2，得：$4x + 2y + 4k = 0 \quad ③$
用③-①消去y：
$4x + 2y + 4k - (x + 2y + k + 1) = 0$
化简得：$3x + 3k - 1 = 0$，解得 $x = \frac{1 - 3k}{3}$
将①×2，得：$2x + 4y + 2k + 2 = 0 \quad ④$
用④-②消去x：
$2x + 4y + 2k + 2 - (2x + y + 2k) = 0$
化简得：$3y + 2 = 0$，解得 $y = -\frac{2}{3}$
因为交点在第三象限，所以横坐标$x＜0$，纵坐标$y＜0$，其中$y=-\frac{2}{3}＜0$已经满足要求，只需让$x＜0$即可：
$\frac{1 - 3k}{3} ＜ 0$
两边同乘3得：$1 - 3k ＜ 0$
移项得：$3k ＞ 1$
解得：$k ＞ \frac{1}{3}$
【答案】
$k＞\frac{1}{3}$
【知识点】
一次函数交点求解，象限内点的坐标特征，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一次函数与不等式的基础综合题，核心是理解一次函数交点与二元一次方程组解的对应关系，结合象限坐标的符号要求列不等式求解，计算时注意解不等式的符号变号规则。
【难度系数】
0.7
5. 如图，直线$ l_甲 $，$ l_乙 $分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行驶的路程$ s \ \mathrm{m} $与时间$ t \ \mathrm{h} $的关系，则两直线$ l_甲 $，$ l_乙 $交点的实际意义是
甲走2 h与乙相遇
。答案
5. 甲走2 h与乙相遇
解析
【分析】
首先明确s-t图像的坐标轴含义：横轴t代表行驶时间，纵轴s代表行驶路程。再回忆函数图像交点的性质：两个函数图像的交点，对应自变量（时间t）取值相同、函数值（路程s）也相同。结合本题情境：甲从t=0时刻出发走路，乙晚出发骑自行车，时间相同、路程相同就意味着同一时刻两人处于同一位置，也就是相遇。最后看交点对应横坐标为t=2h，对甲来说此时他刚好走了2小时，由此就能推出交点的实际意义。
【解析】
解：在路程与时间的关系图像中，横坐标表示行驶时间，纵坐标表示行驶路程。
两直线的交点横坐标相等，说明此时时间相同；纵坐标相等，说明此时甲、乙的行驶路程相等，即两人到达同一位置，也就是相遇。
交点对应的横坐标为t=2h，甲从t=0时刻出发，此时甲已经行走了2h，因此交点的实际意义为甲走2h与乙相遇。
【答案】
甲走2 h与乙相遇
【知识点】
s-t图像解读，一次函数实际应用
【点评】
本题是一次函数图像在行程问题中的基础应用，解题核心是掌握图像坐标轴、交点在具体情境中的含义，属于基础概念考查类题目，理解图像意义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先明确s-t图像的坐标轴含义：横轴t代表行驶时间，纵轴s代表行驶路程。再回忆函数图像交点的性质：两个函数图像的交点，对应自变量（时间t）取值相同、函数值（路程s）也相同。结合本题情境：甲从t=0时刻出发走路，乙晚出发骑自行车，时间相同、路程相同就意味着同一时刻两人处于同一位置，也就是相遇。最后看交点对应横坐标为t=2h，对甲来说此时他刚好走了2小时，由此就能推出交点的实际意义。
【解析】
解：在路程与时间的关系图像中，横坐标表示行驶时间，纵坐标表示行驶路程。
两直线的交点横坐标相等，说明此时时间相同；纵坐标相等，说明此时甲、乙的行驶路程相等，即两人到达同一位置，也就是相遇。
交点对应的横坐标为t=2h，甲从t=0时刻出发，此时甲已经行走了2h，因此交点的实际意义为甲走2h与乙相遇。
【答案】
甲走2 h与乙相遇
【知识点】
s-t图像解读，一次函数实际应用
【点评】
本题是一次函数图像在行程问题中的基础应用，解题核心是掌握图像坐标轴、交点在具体情境中的含义，属于基础概念考查类题目，理解图像意义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 五一期间，王老师一家自驾游去了离家 170 km 的某地.汽车行驶的距离 y km 与时间 x h之间的函数关系如图所示.当他们离目的地还有 20 km 时，汽车一共行驶了
2.25
h.答案
6. 2.25
解析
【分析】
这是一次函数在行程问题中的应用，解题思路如下：1. 首先明确所求：当离目的地还有20km时，汽车已行驶的路程为170-20=150km，即求y=150时对应的x值；2. 观察图像可知y是x的一次函数，因此可以用待定系数法，结合图像上A(1.5,90)、B(2.5,170)两个点的坐标求出函数解析式；3. 将y=150代入解析式，计算得到对应的x值即可。
【解析】
设汽车行驶的距离y与时间x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$A(1.5,90)$、$B(2.5,170)$代入解析式，得：
$\begin{cases}1.5k + b = 90 \\2.5k + b = 170\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=80$，
将$k=80$代入$1.5k + b = 90$，得$1.5×80 + b = 90$，解得$b=-30$，
因此函数解析式为$y=80x - 30$。
当离目的地还有20km时，汽车行驶的路程为$170-20=150\mathrm{km}$，
令$y=150$，代入解析式得$150=80x - 30$，
解得$x=2.25$。
【答案】
2.25
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数求值
【点评】
本题结合出行的实际场景考查一次函数的应用，解题的核心是利用待定系数法正确求出函数解析式，再代入对应函数值求解自变量，计算时要注意细心，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75
这是一次函数在行程问题中的应用，解题思路如下：1. 首先明确所求：当离目的地还有20km时，汽车已行驶的路程为170-20=150km，即求y=150时对应的x值；2. 观察图像可知y是x的一次函数，因此可以用待定系数法，结合图像上A(1.5,90)、B(2.5,170)两个点的坐标求出函数解析式；3. 将y=150代入解析式，计算得到对应的x值即可。
【解析】
设汽车行驶的距离y与时间x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$A(1.5,90)$、$B(2.5,170)$代入解析式，得：
$\begin{cases}1.5k + b = 90 \\2.5k + b = 170\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=80$，
将$k=80$代入$1.5k + b = 90$，得$1.5×80 + b = 90$，解得$b=-30$，
因此函数解析式为$y=80x - 30$。
当离目的地还有20km时，汽车行驶的路程为$170-20=150\mathrm{km}$，
令$y=150$，代入解析式得$150=80x - 30$，
解得$x=2.25$。
【答案】
2.25
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数求值
【点评】
本题结合出行的实际场景考查一次函数的应用，解题的核心是利用待定系数法正确求出函数解析式，再代入对应函数值求解自变量，计算时要注意细心，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75
三、解答题
7. 有两个发电厂，每焚烧1 t垃圾，A发电厂比B发电厂多发电40 kW·h，A发电厂焚烧20 t垃圾比B发电厂焚烧30 t垃圾少发电1 800 kW·h.
(1) 焚烧1 t垃圾，A，B两发电厂分别发电多少？
(2) A，B两发电厂共焚烧90 t垃圾，A发电厂焚烧的垃圾不多于B发电厂焚烧的垃圾的2倍，求A，B两发电厂总发电量的最大值.
7. 有两个发电厂，每焚烧1 t垃圾，A发电厂比B发电厂多发电40 kW·h，A发电厂焚烧20 t垃圾比B发电厂焚烧30 t垃圾少发电1 800 kW·h.
(1) 焚烧1 t垃圾，A，B两发电厂分别发电多少？
(2) A，B两发电厂共焚烧90 t垃圾，A发电厂焚烧的垃圾不多于B发电厂焚烧的垃圾的2倍，求A，B两发电厂总发电量的最大值.
答案
7. (1) A:300 kW·h，B: 260 kW·h (2) 25 800 kW·h
解析
【分析】
(1) 第一问有两个未知量：焚烧1t垃圾A、B厂的发电量，题目给出两个等量关系：①焚烧1t垃圾A厂比B厂多发电40kW·h；②A厂烧20t垃圾的发电量比B厂烧30t少1800kW·h，可设未知数列二元一次方程组求解。
(2) 第二问先设A厂焚烧垃圾的质量为变量，根据“A厂焚烧量不多于B厂的2倍”列不等式求出变量的取值范围，再结合两厂的单位发电量表示出总发电量的函数表达式，根据一次函数的增减性即可求出总发电量的最大值。
【解析】
(1) 设焚烧1t垃圾，A发电厂发电$x$ kW·h，B发电厂发电$y$ kW·h，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x - y = 40 \\30y - 20x = 1800\end{cases}$
将$x=y+40$代入第二个方程：
$30y - 20(y+40) = 1800$
$30y -20y -800 = 1800$
$10y = 2600$，解得$y=260$
则$x=260+40=300$
(2) 设A发电厂焚烧$m$ t垃圾，两厂总发电量为$W$ kW·h，则B发电厂焚烧$(90-m)$ t垃圾。
根据“A发电厂焚烧的垃圾不多于B发电厂焚烧的垃圾的2倍”，列不等式：
$m ≤ 2(90 - m)$
$m ≤ 180 - 2m$
$3m ≤ 180$，解得$m ≤ 60$
总发电量$W = 300m + 260(90 - m)$
化简得：$W = 40m + 23400$
$\because 40＞0$，$\therefore W$随$m$的增大而增大
$\therefore$当$m$取最大值60时，$W$有最大值：
$W_{\mathrm{max}} = 40×60 + 23400 = 2400 + 23400 = 25800$
【答案】
(1) 焚烧1t垃圾，A发电厂发电300 kW·h，B发电厂发电260 kW·h；(2) A、B两发电厂总发电量的最大值为25800 kW·h
【知识点】
二元一次方程组的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是实际应用类综合题，解题的核心是准确梳理题干中的等量关系与不等关系，结合一次函数的增减性求解最值，能够有效考查信息提取能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问有两个未知量：焚烧1t垃圾A、B厂的发电量，题目给出两个等量关系：①焚烧1t垃圾A厂比B厂多发电40kW·h；②A厂烧20t垃圾的发电量比B厂烧30t少1800kW·h，可设未知数列二元一次方程组求解。
(2) 第二问先设A厂焚烧垃圾的质量为变量，根据“A厂焚烧量不多于B厂的2倍”列不等式求出变量的取值范围，再结合两厂的单位发电量表示出总发电量的函数表达式，根据一次函数的增减性即可求出总发电量的最大值。
【解析】
(1) 设焚烧1t垃圾，A发电厂发电$x$ kW·h，B发电厂发电$y$ kW·h，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x - y = 40 \\30y - 20x = 1800\end{cases}$
将$x=y+40$代入第二个方程：
$30y - 20(y+40) = 1800$
$30y -20y -800 = 1800$
$10y = 2600$，解得$y=260$
则$x=260+40=300$
(2) 设A发电厂焚烧$m$ t垃圾，两厂总发电量为$W$ kW·h，则B发电厂焚烧$(90-m)$ t垃圾。
根据“A发电厂焚烧的垃圾不多于B发电厂焚烧的垃圾的2倍”，列不等式：
$m ≤ 2(90 - m)$
$m ≤ 180 - 2m$
$3m ≤ 180$，解得$m ≤ 60$
总发电量$W = 300m + 260(90 - m)$
化简得：$W = 40m + 23400$
$\because 40＞0$，$\therefore W$随$m$的增大而增大
$\therefore$当$m$取最大值60时，$W$有最大值：
$W_{\mathrm{max}} = 40×60 + 23400 = 2400 + 23400 = 25800$
【答案】
(1) 焚烧1t垃圾，A发电厂发电300 kW·h，B发电厂发电260 kW·h；(2) A、B两发电厂总发电量的最大值为25800 kW·h
【知识点】
二元一次方程组的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是实际应用类综合题，解题的核心是准确梳理题干中的等量关系与不等关系，结合一次函数的增减性求解最值，能够有效考查信息提取能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
