【例1】解下列方程：
(1)$\frac{x-7}{3} - \frac{1+x}{2}=1$；
(2)$3x + \frac{x-1}{2}=2 - \frac{2x-1}{3}$.
点悟 方程两边同时乘各分母的最小公倍数时，要注意常数项不能漏乘；另外，若分子是一个多项式，去分母后，分子作为一个整体应该加上括号，这时的分数线起到了括号的作用。

解:(1)去分母,得 2(x-7)-3(1+x)=6.
去括号,得 2x-14-3-3x=6.
移项,得 2x-3x=6+14+3.
合并同类项,得-x=23.
系数化为1,得 x=-23.
(2)去分母,得 18x+3(x-1)=12-2(2x-1).
去括号,得 18x+3x-3=12-4x+2.
移项,得 18x+3x+4x=12+2+3.
合并同类项,得 25x=17.
系数化为1,得 $x=\frac{17}{25}$.

【分析】
这是两道含分母的一元一次方程求解问题，解题思路遵循解含分母一元一次方程的常规流程：首先确定方程中各分母的最小公倍数，方程两边每一项同时乘该最小公倍数，注意常数项不能漏乘，若分子是多项式，去分母后要将分子整体加括号；之后依次进行去括号、移项（移项要改变符号）、合并同类项、系数化为1的操作，最终得到方程的解。
【解析】
(1) 去分母，得 $2(x-7)-3(1+x)=6$
去括号，得 $2x-14-3-3x=6$
移项，得 $2x-3x=6+14+3$
合并同类项，得 $-x=23$
系数化为1，得 $x=-23$
(2) 去分母，得 $18x+3(x-1)=12-2(2x-1)$
去括号，得 $18x+3x-3=12-4x+2$
移项，得 $18x+3x+4x=12+2+3$
合并同类项，得 $25x=17$
系数化为1，得 $x=\frac{17}{25}$
【答案】
(1) $x=-23$；(2) $x=\frac{17}{25}$
【知识点】
1. 去分母解一元一次方程
2. 等式的基本性质
3. 一元一次方程求解步骤
【点评】
本题是利用去分母解一元一次方程的典型基础题，主要易错点有两处：一是去分母时常数项漏乘最小公倍数，二是去分母后多项式分子漏加括号导致符号错误，解题时注意规避这两类问题即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

【变式】解下列方程：
(1)$\frac{5x-1}{4}=\frac{3x+1}{2}-\frac{2-x}{3};$
(2)$3x-\frac{2x-1}{2}=2-\frac{x-2}{5}.$

解:(1)去分母,得 3(5x-1)=6(3x+1)-4(2-x).
去括号,得 15x-3=18x+6-8+4x.
移项,得 15x-18x-4x=6-8+3.
合并同类项,得-7x=1.
系数化为1,得 $x=-\frac{1}{7}$.
(2)去分母,得 30x-5(2x-1)=20-2(x-2).
去括号,得 30x-10x+5=20-2x+4.
移项,得 30x-10x+2x=20+4-5.
合并同类项,得 22x=19.
系数化为1,得 $x=\frac{19}{22}$.

【分析】
这两道是含分母的一元一次方程，解题遵循解一元一次方程的常规步骤：①先找各方程中所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘这个最小公倍数去分母，注意不要漏乘不含分母的整数项；②按照去括号法则去掉括号，括号前是负号时括号内每一项都要变号；③将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号；④合并同类项后将未知数的系数化为1即可得到方程的解。
【解析】
(1)去分母，得 3(5x-1)=6(3x+1)-4(2-x).
去括号，得 15x-3=18x+6-8+4x.
移项，得 15x-18x-4x=6-8+3.
合并同类项，得-7x=1.
系数化为1，得 $x=-\frac{1}{7}$.
(2)去分母，得 30x-5(2x-1)=20-2(x-2).
去括号，得 30x-10x+5=20-2x+4.
移项，得 30x-10x+2x=20+4-5.
合并同类项，得 22x=19.
系数化为1，得 $x=\frac{19}{22}$.
【答案】
(1)$x=-\frac{1}{7}$；(2)$x=\frac{19}{22}$
【知识点】
1. 去分母解一元一次方程 2. 去括号法则 3. 等式的性质
【点评】
本题是解含分母的一元一次方程的基础题型，重点考查解一元一次方程的标准步骤，解题过程中需注意去分母时不要漏乘无分母的项，去括号、移项时留意符号变化，降低计算失误率。
【难度系数】
0.8

【例2】李明从家里骑摩托车匀速行驶到火车站，如果每小时行50 km，那么将比火车的开车时间晚15 min到火车站；若每小时行60 km，则比火车的开车时间晚5 min到火车站。
(1)李明家到火车站的距离是多少千米。
(2)现在李明打算在火车开车前5 min到达火车站，那么他骑摩托车的速度应该是多少？

解:(1)设李明家到火车站的距离是 x km,
则$\frac{x}{50}-\frac{15}{60}=\frac{x}{60}-\frac{5}{60}$,解得 x=50.
答:李明家到火车站的距离是 50 km；
(2)若李明打算在火车开车前5分钟到达火车站,
那么他骑摩托的速度应该是 $50÷(1-\frac{15}{60}-\frac{5}{60})=75(\mathrm{km/h})$.
答:他骑摩托的速度是 75 km/h.

【分析】
（1）本题属于匀速行程问题，解题核心是抓住不变量：李明从出发到火车开车的时间是固定的。两种行驶速度下，行驶全程的时间减去对应晚到的时间，都等于刚好赶上火车所需的时间，以此为等量关系列方程即可求解距离，注意要将分钟换算为小时，保证单位统一。
（2）先根据第一问求出的距离，算出刚好赶上火车需要的时间，再结合“开车前5分钟到达”的要求，算出实际需要的行驶时间，最后用总路程除以实际行驶时间即可得到对应速度。
【解析】
(1) 设李明家到火车站的距离是$x$km，
根据刚好赶上火车的时间相等，列方程：
$\frac{x}{50}-\frac{15}{60}=\frac{x}{60}-\frac{5}{60}$
去分母，两边同时乘60得：$1.2x - 15 = x - 5$
移项、合并同类项得：$0.2x = 10$
解得：$x=50$
答：李明家到火车站的距离是50km。
(2) 刚好赶上火车所需的时间为：$\frac{50}{50}-\frac{15}{60}=\frac{45}{60}$（小时）
若要在开车前5分钟到达，实际行驶时间为：$\frac{45}{60}-\frac{5}{60}=\frac{2}{3}$（小时）
则行驶速度为：$50÷\frac{2}{3}=75$（km/h）
答：他骑摩托车的速度是75km/h。
【答案】
(1) 李明家到火车站的距离是50km；(2) 他骑摩托车的速度是75km/h
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；去分母解一元一次方程
【点评】
本题是典型的行程类一元一次方程应用题，解题关键是找准题中的不变量作为列方程的依据，计算时要注意时间单位的统一，能有效考查学生分析等量关系、解一元一次方程的能力。
【难度系数】
0.7

1. (2024秋汕头期末)解方程$\frac{3x-1}{2}=1-\frac{x+3}{3}$时，去分母正确的是（）

A.$2(3x-1)=1-3(x+3)$
B.$3(3x-1)=1-2(x+3)$
C.$2(3x-1)=6-3(x+3)$
D.$3(3x-1)=6-2(x+3)$

1.D

【分析】
解这道题首先要明确去分母的依据是等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。解题时第一步先找方程中所有分母的最小公倍数，本题分母是2和3，最小公倍数是6；第二步要注意等式两边的每一项都要乘这个最小公倍数，不能漏乘不含分母的项；第三步计算每一项乘公倍数后的结果，再对比选项即可得到正确答案。
【解析】
方程$\frac{3x-1}{2}=1-\frac{x+3}{3}$的两个分母为2和3，它们的最小公倍数是6。
根据等式的性质，给等式两边同时乘以6，注意每一项都要乘6：
左边：$\frac{3x-1}{2} × 6 = 3(3x-1)$
右边：$1 × 6 - \frac{x+3}{3} × 6 = 6 - 2(x+3)$
因此去分母后得到的式子为$3(3x-1)=6-2(x+3)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.等式的基本性质
2.一元一次方程去分母
【点评】
本题是一元一次方程去分母的基础考查题，易错点是去分母时漏乘不含分母的常数项，或者忽略分子是多项式时去分母后要添加括号，牢记去分母的操作规则就能避免错误，顺利解题。
【难度系数】
0.8