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4. 解方程$4(x-1)-x=2(x+\frac{1}{2})$，步骤如下：
①去括号，得$4x-4-x=2x+1$；②移项，得$4x-x+2x=1+4$；③合并同类项，得$5x=5$；④系数化为1，得$x=1$. 经检验知，$x=1$不是原方程的解，证明解题的四个步骤中有错，其中做错的一步是（
A.①
B.②
C.③
D.④
①去括号，得$4x-4-x=2x+1$；②移项，得$4x-x+2x=1+4$；③合并同类项，得$5x=5$；④系数化为1，得$x=1$. 经检验知，$x=1$不是原方程的解，证明解题的四个步骤中有错，其中做错的一步是（
B
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
4.B
解析
【分析】
要判断哪一步出错，需按照解一元一次方程的正确步骤，依次核对题目给出的四个步骤：首先确认去括号是否正确，再检查移项是否符合“移项要变号”的规则，接着看合并同类项、系数化为1的运算是否正确，最终锁定错误步骤。
【解析】
我们逐个核对步骤：
1. 核对步骤①：去括号
左边$4(x-1)-x$展开得$4x-4-x$，右边$2(x+\frac{1}{2})$展开得$2x+1$，与题目给出的步骤①一致，故①正确。
2. 核对步骤②：移项
去括号后方程为$4x-4-x=2x+1$，移项时要改变移动项的符号，把右边的$2x$移到左边应变为$-2x$，左边的$-4$移到右边应变为$+4$，正确移项结果应为$4x - x - 2x = 1 + 4$，但题目步骤②中写成了$+2x$，符号错误，故②错误。
后续步骤③、④是基于步骤②的错误结果计算的，因此做错的一步是②。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次方程；移项法则；去括号法则
【点评】
本题重点考查一元一次方程求解步骤的规范性，移项变号是解一元一次方程的高频易错点，做题后可将结果代入原方程检验，及时发现计算错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪一步出错，需按照解一元一次方程的正确步骤，依次核对题目给出的四个步骤：首先确认去括号是否正确，再检查移项是否符合“移项要变号”的规则，接着看合并同类项、系数化为1的运算是否正确，最终锁定错误步骤。
【解析】
我们逐个核对步骤：
1. 核对步骤①：去括号
左边$4(x-1)-x$展开得$4x-4-x$，右边$2(x+\frac{1}{2})$展开得$2x+1$，与题目给出的步骤①一致，故①正确。
2. 核对步骤②：移项
去括号后方程为$4x-4-x=2x+1$，移项时要改变移动项的符号，把右边的$2x$移到左边应变为$-2x$，左边的$-4$移到右边应变为$+4$，正确移项结果应为$4x - x - 2x = 1 + 4$，但题目步骤②中写成了$+2x$，符号错误，故②错误。
后续步骤③、④是基于步骤②的错误结果计算的，因此做错的一步是②。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次方程；移项法则；去括号法则
【点评】
本题重点考查一元一次方程求解步骤的规范性，移项变号是解一元一次方程的高频易错点，做题后可将结果代入原方程检验，及时发现计算错误。
【难度系数】
0.8
5.一停车场上有24辆车，其中一辆汽车有4个轮子，一辆摩托车有2个轮子，且停车场只有汽车和摩托车，这些车共有72个轮子，那么摩托车应为（
A.14辆
B.12辆
C.16辆
D.10辆
B
）A.14辆
B.12辆
C.16辆
D.10辆
答案
5.B
解析
【分析】
本题属于典型的实际应用类问题，可通过列一元一次方程求解。首先梳理题中的等量关系：一是汽车数量与摩托车数量之和为24辆，二是所有汽车的轮子总数与所有摩托车的轮子总数之和为72个。我们可以设摩托车的数量为未知数，用总车辆数表示出汽车的数量，再根据轮子总数的等量关系列方程，最后按照去括号解一元一次方程的步骤计算即可得到结果。
【解析】
解：设摩托车有$ x $辆，则汽车的数量为$ (24-x) $辆。
根据总轮子数为72个，列方程得：
$ 2x + 4(24 - x) = 72 $
去括号，得：
$ 2x + 96 - 4x = 72 $
移项，得：
$ 2x - 4x = 72 - 96 $
合并同类项，得：
$ -2x = -24 $
系数化为1，得：
$ x = 12 $
即摩托车有12辆。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的实际应用；去括号解一元一次方程
【点评】
本题难度不高，核心是找准题目中的等量关系，正确设未知数列式计算，计算过程中要注意去括号的运算规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题属于典型的实际应用类问题，可通过列一元一次方程求解。首先梳理题中的等量关系：一是汽车数量与摩托车数量之和为24辆，二是所有汽车的轮子总数与所有摩托车的轮子总数之和为72个。我们可以设摩托车的数量为未知数，用总车辆数表示出汽车的数量，再根据轮子总数的等量关系列方程，最后按照去括号解一元一次方程的步骤计算即可得到结果。
【解析】
解：设摩托车有$ x $辆，则汽车的数量为$ (24-x) $辆。
根据总轮子数为72个，列方程得：
$ 2x + 4(24 - x) = 72 $
去括号，得：
$ 2x + 96 - 4x = 72 $
移项，得：
$ 2x - 4x = 72 - 96 $
合并同类项，得：
$ -2x = -24 $
系数化为1，得：
$ x = 12 $
即摩托车有12辆。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的实际应用；去括号解一元一次方程
【点评】
本题难度不高，核心是找准题目中的等量关系，正确设未知数列式计算，计算过程中要注意去括号的运算规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
6. (2024秋泗洪县期末)方程$-2(x+1)=6$的解是$x=$
-4
答案
6.$-4$
解析
【分析】
这是一道含括号的一元一次方程求解问题，解题思路遵循解一元一次方程的常规步骤：首先利用去括号法则去掉方程左边的括号，再将常数项移到等号右侧（移项要注意变号），之后合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到方程的解；也可先将方程两边同时除以-2简化计算后再求解。
【解析】
解法如下：
1. 去括号：根据去括号法则，将左边展开得 $\boldsymbol{-2x - 2 = 6}$；
2. 移项：把常数项$-2$移到等号右侧，变号后得 $\boldsymbol{-2x = 6 + 2}$；
3. 合并同类项：计算右侧的和得 $\boldsymbol{-2x = 8}$；
4. 系数化为1：等号两边同时除以$-2$，得 $\boldsymbol{x = -4}$。
【答案】
$-4$
【知识点】
去括号法则；解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查去括号法则的应用和一元一次方程的基础求解步骤，熟练掌握基础运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这是一道含括号的一元一次方程求解问题，解题思路遵循解一元一次方程的常规步骤：首先利用去括号法则去掉方程左边的括号，再将常数项移到等号右侧（移项要注意变号），之后合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到方程的解；也可先将方程两边同时除以-2简化计算后再求解。
【解析】
解法如下：
1. 去括号：根据去括号法则，将左边展开得 $\boldsymbol{-2x - 2 = 6}$；
2. 移项：把常数项$-2$移到等号右侧，变号后得 $\boldsymbol{-2x = 6 + 2}$；
3. 合并同类项：计算右侧的和得 $\boldsymbol{-2x = 8}$；
4. 系数化为1：等号两边同时除以$-2$，得 $\boldsymbol{x = -4}$。
【答案】
$-4$
【知识点】
去括号法则；解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查去括号法则的应用和一元一次方程的基础求解步骤，熟练掌握基础运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
7.当$x=$
1
时，代数式$2(x+3)$的值比$3(1-x)$的值大8.答案
7.$1$
解析
【分析】
解题时首先要抓住题目中的数量关系：“代数式$2(x+3)$的值比$3(1-x)$的值大8”，翻译为等量关系就是：$2(x+3)$减去$3(1-x)$的差等于8，据此列出一元一次方程，再按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据题意可列方程：
$\begin{aligned}2(x+3) - 3(1-x) &= 8 \\\intertext{去括号得：}2x + 6 - 3 + 3x &= 8 \\\intertext{合并同类项得：}5x + 3 &= 8 \\\intertext{移项得：}5x &= 8 - 3 \\5x &= 5 \\\intertext{系数化为1得：}x &= 1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
列一元一次方程；去括号法则；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确将文字描述的数量关系转化为方程，熟练掌握去括号解一元一次方程的步骤就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要抓住题目中的数量关系：“代数式$2(x+3)$的值比$3(1-x)$的值大8”，翻译为等量关系就是：$2(x+3)$减去$3(1-x)$的差等于8，据此列出一元一次方程，再按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据题意可列方程：
$\begin{aligned}2(x+3) - 3(1-x) &= 8 \\\intertext{去括号得：}2x + 6 - 3 + 3x &= 8 \\\intertext{合并同类项得：}5x + 3 &= 8 \\\intertext{移项得：}5x &= 8 - 3 \\5x &= 5 \\\intertext{系数化为1得：}x &= 1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
列一元一次方程；去括号法则；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确将文字描述的数量关系转化为方程，熟练掌握去括号解一元一次方程的步骤就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
8. 解下列方程：
(1)$8x-(3x+5)=20$；
(2)$2(3y-1)-3(2-4y)=10$；
(3)$12-2(x-5)=1-5x$。
(1)$8x-(3x+5)=20$；
(2)$2(3y-1)-3(2-4y)=10$；
(3)$12-2(x-5)=1-5x$。
答案
8.解:(1)去括号,得$8x-3x-5=20$。
移项、合并同类项,得$5x=25$。
系数化为1,得$x=5$。
(2)去括号,得$6y-2-6+12y=10$。
移项、合并同类项,得$18y=18$。
系数化为1,得$y=1$。
(3)去括号,得$12-2x+10=1-5x$。
移项,得$5x-2x=1-12-10$。
合并同类项,得$3x=-21$。
系数化为1,得$x=-7$。
移项、合并同类项,得$5x=25$。
系数化为1,得$x=5$。
(2)去括号,得$6y-2-6+12y=10$。
移项、合并同类项,得$18y=18$。
系数化为1,得$y=1$。
(3)去括号,得$12-2x+10=1-5x$。
移项,得$5x-2x=1-12-10$。
合并同类项,得$3x=-21$。
系数化为1,得$x=-7$。
解析
【分析】
这三道题均为带括号的一元一次方程，解题遵循固定步骤：第一步去括号，注意若括号前是负号，去括号后括号内各项要变号，若括号前有系数，要将系数乘遍括号内的每一项，避免漏乘；第二步移项，将含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧，移项要变号；第三步合并同类项；第四步将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
解：
(1)去括号，得$8x-3x-5=20$。
移项、合并同类项，得$5x=25$。
系数化为1，得$x=5$。
(2)去括号，得$6y-2-6+12y=10$。
移项、合并同类项，得$18y=18$。
系数化为1，得$y=1$。
(3)去括号，得$12-2x+10=1-5x$。
移项，得$5x-2x=1-12-10$。
合并同类项，得$3x=-21$。
系数化为1，得$x=-7$。
【答案】
(1)$x=5$；(2)$y=1$；(3)$x=-7$
【知识点】
去括号法则；解一元一次方程；移项与合并同类项
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，核心考查去括号的运算规则和解一元一次方程的常规步骤，易错点为去括号时符号处理错误、漏乘括号内的项，以及移项时忘记变号，熟练掌握运算规则即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
这三道题均为带括号的一元一次方程，解题遵循固定步骤：第一步去括号，注意若括号前是负号，去括号后括号内各项要变号，若括号前有系数，要将系数乘遍括号内的每一项，避免漏乘；第二步移项，将含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧，移项要变号；第三步合并同类项；第四步将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
解：
(1)去括号，得$8x-3x-5=20$。
移项、合并同类项，得$5x=25$。
系数化为1，得$x=5$。
(2)去括号，得$6y-2-6+12y=10$。
移项、合并同类项，得$18y=18$。
系数化为1，得$y=1$。
(3)去括号，得$12-2x+10=1-5x$。
移项，得$5x-2x=1-12-10$。
合并同类项，得$3x=-21$。
系数化为1，得$x=-7$。
【答案】
(1)$x=5$；(2)$y=1$；(3)$x=-7$
【知识点】
去括号法则；解一元一次方程；移项与合并同类项
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，核心考查去括号的运算规则和解一元一次方程的常规步骤，易错点为去括号时符号处理错误、漏乘括号内的项，以及移项时忘记变号，熟练掌握运算规则即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
9. 小丽同学在做作业时，不小心将方程$2(x-3)-■=x+1$中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是$x=9$，请问这个被污染的常数■是（
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
9.C
解析
【分析】
要确定被污染的常数，首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知方程的解是x=9，我们可以把x=9代入原方程，此时被污染的常数就变成了新的未知量，只需要解关于这个未知量的一元一次方程，就能求出被污染的数值。
【解析】
设被污染的常数为$a$。
因为$x=9$是方程$2(x-3)-a=x+1$的解，将$x=9$代入方程得：
$2×(9-3)-a=9+1$
先计算括号内的运算：$2×6 -a=10$
即$12 -a=10$
移项得：$a=12-10$
解得$a=2$
所以被污染的常数是2。
【答案】
C
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程；去括号运算
【点评】
本题是典型的“已知方程解求参数”类题目，解题核心是利用方程解的定义将已知解代回原方程，把原问题转化为普通的一元一次方程求解即可，解题时注意运算的准确性。
【难度系数】
0.8
要确定被污染的常数，首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知方程的解是x=9，我们可以把x=9代入原方程，此时被污染的常数就变成了新的未知量，只需要解关于这个未知量的一元一次方程，就能求出被污染的数值。
【解析】
设被污染的常数为$a$。
因为$x=9$是方程$2(x-3)-a=x+1$的解，将$x=9$代入方程得：
$2×(9-3)-a=9+1$
先计算括号内的运算：$2×6 -a=10$
即$12 -a=10$
移项得：$a=12-10$
解得$a=2$
所以被污染的常数是2。
【答案】
C
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程；去括号运算
【点评】
本题是典型的“已知方程解求参数”类题目，解题核心是利用方程解的定义将已知解代回原方程，把原问题转化为普通的一元一次方程求解即可，解题时注意运算的准确性。
【难度系数】
0.8
10. 一条船往返于甲,乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶,由乙至甲是逆水行驶,已知船在静水中的速度为8 km/h,平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1,某天恰逢暴雨,水流速度是原来的2倍,这条船往返共用了9 h.则甲,乙两港之间的距离为 (
A.$\frac{160}{3}$ km
B.15 km
C.$\frac{25}{2}$ km
D.20 km
D
)A.$\frac{160}{3}$ km
B.15 km
C.$\frac{25}{2}$ km
D.20 km
答案
10.D
解析
【分析】
这是一道流水行船类的行程问题，解题可分两步推进：第一步，甲乙两港路程固定，路程相等时航行时间与速度成反比，结合已知的逆水、顺水航行时间比，先求出平时的水流速度；第二步，设甲乙两港距离为未知数，根据暴雨时水流速度变为原来2倍、往返总用时9h的条件列方程，求解即可得到两港距离。解题时要牢记流水行船的速度公式：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。
【解析】
解：设平时水流速度为$ v $ km/h，甲、乙两港之间的距离为$ s $ km。
1. 求平时的水流速度
路程固定时，航行时间与速度成反比，已知逆水与顺水航行时间比为2:1，因此逆水速度与顺水速度比为1:2。
顺水速度为$ (8+v) $ km/h，逆水速度为$ (8-v) $ km/h，列方程：
$\frac{8-v}{8+v}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$ 2(8-v)=8+v $
去括号：$ 16-2v=8+v $
移项合并同类项：$ 3v=8 $
解得：$ v=\frac{8}{3} $
2. 求甲、乙两港的距离
暴雨时水流速度为$ 2v=\frac{16}{3} $ km/h，此时顺水速度为$ 8+\frac{16}{3}=\frac{40}{3} $ km/h，逆水速度为$ 8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3} $ km/h。
根据往返总用时9h列方程：
$\frac{s}{\frac{40}{3}}+\frac{s}{\frac{8}{3}}=9$
化简得：$ \frac{3s}{40}+\frac{3s}{8}=9 $
通分计算：$ \frac{3s}{40}+\frac{15s}{40}=9 $，即$ \frac{18s}{40}=9 $
解得：$ s=20 $
【答案】
D
【知识点】
流水行船问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合流水行船模型考查一元一次方程的实际应用，解题关键是抓住路程不变的隐含条件，先通过时间比求出原水流速度，再结合往返总时间列方程求解，计算时要注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.6
这是一道流水行船类的行程问题，解题可分两步推进：第一步，甲乙两港路程固定，路程相等时航行时间与速度成反比，结合已知的逆水、顺水航行时间比，先求出平时的水流速度；第二步，设甲乙两港距离为未知数，根据暴雨时水流速度变为原来2倍、往返总用时9h的条件列方程，求解即可得到两港距离。解题时要牢记流水行船的速度公式：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。
【解析】
解：设平时水流速度为$ v $ km/h，甲、乙两港之间的距离为$ s $ km。
1. 求平时的水流速度
路程固定时，航行时间与速度成反比，已知逆水与顺水航行时间比为2:1，因此逆水速度与顺水速度比为1:2。
顺水速度为$ (8+v) $ km/h，逆水速度为$ (8-v) $ km/h，列方程：
$\frac{8-v}{8+v}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$ 2(8-v)=8+v $
去括号：$ 16-2v=8+v $
移项合并同类项：$ 3v=8 $
解得：$ v=\frac{8}{3} $
2. 求甲、乙两港的距离
暴雨时水流速度为$ 2v=\frac{16}{3} $ km/h，此时顺水速度为$ 8+\frac{16}{3}=\frac{40}{3} $ km/h，逆水速度为$ 8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3} $ km/h。
根据往返总用时9h列方程：
$\frac{s}{\frac{40}{3}}+\frac{s}{\frac{8}{3}}=9$
化简得：$ \frac{3s}{40}+\frac{3s}{8}=9 $
通分计算：$ \frac{3s}{40}+\frac{15s}{40}=9 $，即$ \frac{18s}{40}=9 $
解得：$ s=20 $
【答案】
D
【知识点】
流水行船问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合流水行船模型考查一元一次方程的实际应用，解题关键是抓住路程不变的隐含条件，先通过时间比求出原水流速度，再结合往返总时间列方程求解，计算时要注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.6
11.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是8，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍多10，求原来的两位数.
答案
11.解:设原来的两位数个位上的数字为$x$,则十位上的数字为$(8-x)$。
由题意,得$10x+(8-x)=2[10(8-x)+x]+10$。
解得$x=6$。
所以$8-x=2$。
答:原来的两位数为26。
由题意,得$10x+(8-x)=2[10(8-x)+x]+10$。
解得$x=6$。
所以$8-x=2$。
答:原来的两位数为26。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程应用中的数字问题，解题核心是明确两位数的表示方法：两位数=十位数字×10+个位数字。首先根据“十位与个位数字之和为8”，我们可以设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用含未知数的式子表示；再根据“对调后得到的新数比原数的2倍多10”的等量关系列出一元一次方程，解方程求出各数位的数字后，即可得到原来的两位数。
【解析】
解：设原来的两位数个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$(8-x)$。
原数可表示为$10(8-x)+x$，对调后的新数可表示为$10x+(8-x)$。
由题意得：
$10x+(8-x)=2[10(8-x)+x]+10$
去括号得：$10x+8-x=160-18x+10$
移项、合并同类项得：$27x=162$
系数化为1得：$x=6$
则十位上的数字为$8-x=8-6=2$
所以原来的两位数为26。
【答案】
26
【知识点】
一元一次方程应用；去括号解方程；两位数的表示
【点评】
本题是数字类方程应用的基础题型，重点考察多位数的表示规则，解题时注意用题目给出的两个等量关系，一个用于设未知数简化计算，一个用于列方程，去括号时要注意乘法分配律的正确使用和符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程应用中的数字问题，解题核心是明确两位数的表示方法：两位数=十位数字×10+个位数字。首先根据“十位与个位数字之和为8”，我们可以设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用含未知数的式子表示；再根据“对调后得到的新数比原数的2倍多10”的等量关系列出一元一次方程，解方程求出各数位的数字后，即可得到原来的两位数。
【解析】
解：设原来的两位数个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$(8-x)$。
原数可表示为$10(8-x)+x$，对调后的新数可表示为$10x+(8-x)$。
由题意得：
$10x+(8-x)=2[10(8-x)+x]+10$
去括号得：$10x+8-x=160-18x+10$
移项、合并同类项得：$27x=162$
系数化为1得：$x=6$
则十位上的数字为$8-x=8-6=2$
所以原来的两位数为26。
【答案】
26
【知识点】
一元一次方程应用；去括号解方程；两位数的表示
【点评】
本题是数字类方程应用的基础题型，重点考察多位数的表示规则，解题时注意用题目给出的两个等量关系，一个用于设未知数简化计算，一个用于列方程，去括号时要注意乘法分配律的正确使用和符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
