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章知识导图
概率初步
事件的分类
确定性事件
必然事件:在每次试验中,可以事先知道其一定会发生的事件
不可能事件:在每次试验中,一定不会发生的事件
随机事件 无法事先确定在一次试验中会不会发生的事件
概率的计算
概率的意义 表示事件发生的可能性大小的数值就是这个事件的概率
计算公式 $P(A)=\boldsymbol{①}$
几何概型 计算公式为 $P(A)=\frac{\mathrm{构成事件}A\mathrm{的区域长度（面积、体积或时间等）}}{\mathrm{全部结果所构成的区域长度（面积、体积或时间等）}}$
用频率估计概率 一般地,在大量重复试验下,如果事件 $A$ 发生的频率 $\frac{m}{n}$ 稳定到某个常数 $p$,那么事件 $A$ 发生的概率 $P(A)=\boldsymbol{②}$
概率的应用——判断游戏公平性 判断公平性时需要先计算每个事件的概率,然后比较概率的大小,概率相等就公平,否则就不公平
重难点突破
概率初步
事件的分类
确定性事件
必然事件:在每次试验中,可以事先知道其一定会发生的事件
不可能事件:在每次试验中,一定不会发生的事件
随机事件 无法事先确定在一次试验中会不会发生的事件
概率的计算
概率的意义 表示事件发生的可能性大小的数值就是这个事件的概率
计算公式 $P(A)=\boldsymbol{①}$
$\frac{m}{n}$
（其中 $n$ 是所有等可能结果的总数，$m$ 是事件 $A$ 出现的次数），用画树状图法或列表法分析所有可能出现的结果几何概型 计算公式为 $P(A)=\frac{\mathrm{构成事件}A\mathrm{的区域长度（面积、体积或时间等）}}{\mathrm{全部结果所构成的区域长度（面积、体积或时间等）}}$
用频率估计概率 一般地,在大量重复试验下,如果事件 $A$ 发生的频率 $\frac{m}{n}$ 稳定到某个常数 $p$,那么事件 $A$ 发生的概率 $P(A)=\boldsymbol{②}$
$p$
概率的应用——判断游戏公平性 判断公平性时需要先计算每个事件的概率,然后比较概率的大小,概率相等就公平,否则就不公平
重难点突破
答案
①$\frac{m}{n}$ ②$p$
解析
【分析】
本题考查概率初步的基础概念填空，解题时对应回顾相关定义和公式即可：
1. 针对空①，回忆等可能事件的概率计算公式，结合题干给出的n（所有等可能结果总数）、m（事件A出现的次数）的定义，直接对应公式填写；
2. 针对空②，回忆用频率估计概率的定义，明确大量重复试验下频率稳定到的常数就是对应事件的概率，直接填写即可。
【解析】
1. 等可能事件（古典概型）的概率计算规则为：事件A的概率等于事件A出现的次数除以所有等可能结果的总数，因此$P(A)=\frac{m}{n}$，即①处填$\frac{m}{n}$；
2. 根据用频率估计概率的定义，在大量重复试验下，若事件A发生的频率$\frac{m}{n}$稳定到常数p，这个常数p就是事件A发生的概率，因此$P(A)=p$，即②处填$p$。
【答案】
①$\boldsymbol{\frac{m}{n}}$；②$\boldsymbol{p}$
【知识点】
古典概型概率公式；用频率估计概率
【点评】
本题属于基础概念类习题，主要考查对概率初步核心公式、定义的识记掌握程度，牢记相关基础概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查概率初步的基础概念填空，解题时对应回顾相关定义和公式即可：
1. 针对空①，回忆等可能事件的概率计算公式，结合题干给出的n（所有等可能结果总数）、m（事件A出现的次数）的定义，直接对应公式填写；
2. 针对空②，回忆用频率估计概率的定义，明确大量重复试验下频率稳定到的常数就是对应事件的概率，直接填写即可。
【解析】
1. 等可能事件（古典概型）的概率计算规则为：事件A的概率等于事件A出现的次数除以所有等可能结果的总数，因此$P(A)=\frac{m}{n}$，即①处填$\frac{m}{n}$；
2. 根据用频率估计概率的定义，在大量重复试验下，若事件A发生的频率$\frac{m}{n}$稳定到常数p，这个常数p就是事件A发生的概率，因此$P(A)=p$，即②处填$p$。
【答案】
①$\boldsymbol{\frac{m}{n}}$；②$\boldsymbol{p}$
【知识点】
古典概型概率公式；用频率估计概率
【点评】
本题属于基础概念类习题，主要考查对概率初步核心公式、定义的识记掌握程度，牢记相关基础概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
1. 下列说法正确的是 （
A.“任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则5次正面朝上”是随机事件
B.“任意画一个三角形，其内角和为360°”是必然事件
C.“清明时节雨纷纷”是必然事件
D.“将花生油滴入纯净水中，油会浮在水面”是不可能事件
A
）A.“任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则5次正面朝上”是随机事件
B.“任意画一个三角形，其内角和为360°”是必然事件
C.“清明时节雨纷纷”是必然事件
D.“将花生油滴入纯净水中，油会浮在水面”是不可能事件
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先要明确三类事件的定义：必然事件是指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。再结合数学定理、生活常识逐个分析四个选项的事件类型，最终选出说法正确的选项即可。
【解析】
首先明确事件的分类标准：
① 必然事件：一定条件下一定会发生的事件；
② 不可能事件：一定条件下一定不会发生的事件；
③ 随机事件：一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
逐个分析选项：
A. 任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数可能是0到10次中的任意值，5次正面朝上是可能发生也可能不发生的，属于随机事件，该选项说法正确；
B. 任意三角形的内角和恒为180°，内角和为360°是一定不会发生的，属于不可能事件，该选项说法错误；
C. 清明时节可能下雨也可能不下雨，不属于必然事件，该选项说法错误；
D. 花生油的密度小于水的密度，将花生油滴入纯净水中一定会浮在水面，属于必然事件，不是不可能事件，该选项说法错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
事件的分类、随机事件、必然事件
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确区分三类事件的定义，结合数学基本定理和生活常识即可快速判断，注重对基础概念的理解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确三类事件的定义：必然事件是指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。再结合数学定理、生活常识逐个分析四个选项的事件类型，最终选出说法正确的选项即可。
【解析】
首先明确事件的分类标准：
① 必然事件：一定条件下一定会发生的事件；
② 不可能事件：一定条件下一定不会发生的事件；
③ 随机事件：一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
逐个分析选项：
A. 任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数可能是0到10次中的任意值，5次正面朝上是可能发生也可能不发生的，属于随机事件，该选项说法正确；
B. 任意三角形的内角和恒为180°，内角和为360°是一定不会发生的，属于不可能事件，该选项说法错误；
C. 清明时节可能下雨也可能不下雨，不属于必然事件，该选项说法错误；
D. 花生油的密度小于水的密度，将花生油滴入纯净水中一定会浮在水面，属于必然事件，不是不可能事件，该选项说法错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
事件的分类、随机事件、必然事件
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确区分三类事件的定义，结合数学基本定理和生活常识即可快速判断，注重对基础概念的理解。
【难度系数】
0.8
2. 下列事件属于不可能事件的是 （
A.半径为2的圆的周长是4π
B.二次函数的图象经过原点
C.写出一个有理数，它的绝对值是正数
D.从一个只装有黄球和红球的袋中摸出白球
D
）A.半径为2的圆的周长是4π
B.二次函数的图象经过原点
C.写出一个有理数，它的绝对值是正数
D.从一个只装有黄球和红球的袋中摸出白球
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先要明确事件的分类标准：必然事件是一定条件下必然发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定条件下必然不会发生的事件。我们只需结合已学的数学知识，逐一判断每个选项描述的事件是否符合不可能事件的定义即可。
【解析】
首先明确不可能事件的定义：在一定条件下，必然不会发生的事件为不可能事件。
选项A：根据圆的周长公式$C=2π r$，当半径$r=2$时，周长$C=2π×2=4π$，该事件必然发生，属于必然事件，不符合题意；
选项B：二次函数的图象可能经过原点（例如$y=x^2$的图象就过原点），也可能不经过原点（例如$y=x^2+1$的图象不过原点），属于随机事件，不符合题意；
选项C：有理数的绝对值是非负数，若写出的有理数为非0有理数，它的绝对值是正数；若写出的有理数为0，它的绝对值是0，因此该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；
选项D：袋中只装有黄球和红球，没有白球，因此不可能摸出白球，该事件必然不会发生，属于不可能事件，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
事件的分类；绝对值的性质；二次函数的图象特征
【点评】
本题考查对不同类型事件的区分，解题核心是准确掌握三类事件的定义，结合基础数学概念逐一判断即可，属于对基础知识的考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确事件的分类标准：必然事件是一定条件下必然发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定条件下必然不会发生的事件。我们只需结合已学的数学知识，逐一判断每个选项描述的事件是否符合不可能事件的定义即可。
【解析】
首先明确不可能事件的定义：在一定条件下，必然不会发生的事件为不可能事件。
选项A：根据圆的周长公式$C=2π r$，当半径$r=2$时，周长$C=2π×2=4π$，该事件必然发生，属于必然事件，不符合题意；
选项B：二次函数的图象可能经过原点（例如$y=x^2$的图象就过原点），也可能不经过原点（例如$y=x^2+1$的图象不过原点），属于随机事件，不符合题意；
选项C：有理数的绝对值是非负数，若写出的有理数为非0有理数，它的绝对值是正数；若写出的有理数为0，它的绝对值是0，因此该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；
选项D：袋中只装有黄球和红球，没有白球，因此不可能摸出白球，该事件必然不会发生，属于不可能事件，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
事件的分类；绝对值的性质；二次函数的图象特征
【点评】
本题考查对不同类型事件的区分，解题核心是准确掌握三类事件的定义，结合基础数学概念逐一判断即可，属于对基础知识的考查。
【难度系数】
0.9
3. 在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{2}{7}$
D.$\frac{5}{7}$
C
）A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{2}{7}$
D.$\frac{5}{7}$
答案
3.C
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算基础题，解题思路很清晰：首先明确摸球试验中每个球被摸到的可能性相等，符合概率计算的等可能前提；接下来分两步找核心数据，一是统计袋子里球的总个数，得到所有等可能的摸球结果总数，二是统计红球的个数，得到摸到红球这个事件包含的结果数；最后代入等可能事件的概率公式计算即可得到结果。
【解析】
袋子中球的总个数为：$2+5=7$（个），任意摸1个球共有7种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种。
根据等可能事件的概率公式：$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}}$
可得摸出红球的概率为：$P(\mathrm{红球})=\frac{2}{7}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题是概率模块的常考基础题型，核心考查对等可能事件概率公式的简单应用，只要准确统计总情况数和目标事件对应的情况数即可快速求解。
【难度系数】
0.9
这是一道等可能事件的概率计算基础题，解题思路很清晰：首先明确摸球试验中每个球被摸到的可能性相等，符合概率计算的等可能前提；接下来分两步找核心数据，一是统计袋子里球的总个数，得到所有等可能的摸球结果总数，二是统计红球的个数，得到摸到红球这个事件包含的结果数；最后代入等可能事件的概率公式计算即可得到结果。
【解析】
袋子中球的总个数为：$2+5=7$（个），任意摸1个球共有7种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种。
根据等可能事件的概率公式：$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}}$
可得摸出红球的概率为：$P(\mathrm{红球})=\frac{2}{7}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题是概率模块的常考基础题型，核心考查对等可能事件概率公式的简单应用，只要准确统计总情况数和目标事件对应的情况数即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.从1,2,3,4,5,5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
）A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心步骤：第一步先确定这组数据的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数；第二步再根据简单概率的计算公式，用选取到众数的情况数除以总选取情况数，即可得到所求概率。
【解析】
1. 确定众数：在数据1,2,3,4,5,5中，数字1、2、3、4各出现1次，数字5出现2次，出现次数最多，因此该组数据的众数是5。
2. 计算概率：从6个数中随机选取1个数，总共有6种等可能的结果，其中选到众数（即5）的结果有2种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
众数的识别；简单概率计算
【点评】
本题属于基础题型，将统计中的众数概念与概率计算结合考查，侧重对基础概念的理解和简单应用，只要熟练掌握相关定义和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心步骤：第一步先确定这组数据的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数；第二步再根据简单概率的计算公式，用选取到众数的情况数除以总选取情况数，即可得到所求概率。
【解析】
1. 确定众数：在数据1,2,3,4,5,5中，数字1、2、3、4各出现1次，数字5出现2次，出现次数最多，因此该组数据的众数是5。
2. 计算概率：从6个数中随机选取1个数，总共有6种等可能的结果，其中选到众数（即5）的结果有2种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
众数的识别；简单概率计算
【点评】
本题属于基础题型，将统计中的众数概念与概率计算结合考查，侧重对基础概念的理解和简单应用，只要熟练掌握相关定义和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 笼子里有一只小松鼠（如
），主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门同时都打开，则小松鼠从前面出来的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
），主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门同时都打开，则小松鼠从前面出来的概率是（B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：首先明确小松鼠从任意出口跑出的可能性相等，属于等可能事件；其次统计笼子的总出口数量，再统计属于前面的出口数量；最后代入概率公式“事件发生的概率=符合要求的情况数÷总情况数”计算即可。
【解析】
由题意可知，小松鼠从各个门跑出的可能性相等，是等可能事件。
观察笼子结构可得，笼子总共有6个相同的出口，其中位于前面的出口共有2个。
根据概率计算公式：
$P(\mathrm{从前面出来})=\frac{\mathrm{前面的出口数}}{\mathrm{总出口数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题是概率基础应用题，侧重考查对基础概率公式的运用，解题时需要准确统计两类情况的数量，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：首先明确小松鼠从任意出口跑出的可能性相等，属于等可能事件；其次统计笼子的总出口数量，再统计属于前面的出口数量；最后代入概率公式“事件发生的概率=符合要求的情况数÷总情况数”计算即可。
【解析】
由题意可知，小松鼠从各个门跑出的可能性相等，是等可能事件。
观察笼子结构可得，笼子总共有6个相同的出口，其中位于前面的出口共有2个。
根据概率计算公式：
$P(\mathrm{从前面出来})=\frac{\mathrm{前面的出口数}}{\mathrm{总出口数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题是概率基础应用题，侧重考查对基础概率公式的运用，解题时需要准确统计两类情况的数量，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 某转盘被分为圆心角分别为$90°$,$120°$,$150°$的扇形A,B,C三个区域,让转盘自由转动1次,指针落在扇形A区域的概率是 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{5}{12}$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{5}{12}$
答案
6.C
解析
【分析】这是一道几何概率计算的基础题，解题核心逻辑为：转盘自由转动时，指针落在某扇形区域的概率等于该扇形的圆心角度数占整个圆周圆心角度数（360°）的比值。解题时先确定A区域的圆心角度数，再除以360°化简即可得到结果。
【解析】解：
∵ 整个圆周对应的圆心角度数为360°，扇形A的圆心角为90°，
∴ 指针落在扇形A区域的概率 $P=\frac{扇形A的圆心角度数}{360°}=\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$。
【答案】C
【知识点】几何概率、概率计算
【点评】本题考查几何概率的基础应用，解题关键是明确所求事件对应区域占总区域的比例即为对应概率，属于易得分的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】解：
∵ 整个圆周对应的圆心角度数为360°，扇形A的圆心角为90°，
∴ 指针落在扇形A区域的概率 $P=\frac{扇形A的圆心角度数}{360°}=\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$。
【答案】C
【知识点】几何概率、概率计算
【点评】本题考查几何概率的基础应用，解题关键是明确所求事件对应区域占总区域的比例即为对应概率，属于易得分的基础题型。
【难度系数】0.8
