7. 从印有生、旦、净、丑四种京剧脸谱的卡片中随机抽取两张，则抽取的恰好是生、旦两种脸谱的概率是（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$

7.D

【分析】
要解决这个概率问题，首先明确这是古典概型问题，核心思路是先求出所有等可能的抽取结果总数，再求出恰好抽中生、旦两种脸谱的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果总数”计算即可。思考时要注意抽取两张卡片是不考虑先后顺序的，计数时不要重复或遗漏。
【解析】
我们将四张卡片分别记为：生、旦、净、丑。
第一步，计算从4张卡片中随机抽取2张的所有等可能结果：
不考虑抽取顺序，所有组合为：(生,旦)、(生,净)、(生,丑)、(旦,净)、(旦,丑)、(净,丑)，共6种等可能的结果。
第二步，找出符合“恰好是生、旦两种脸谱”的结果，只有(生,旦)这1种结果。
第三步，根据概率公式计算：
$P(恰好抽中生、旦)=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{1}{6}$
【答案】
D
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列举法计数
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的关键是准确枚举所有等可能的抽取结果，注意抽取两张卡片无需考虑顺序，避免重复计数就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7

8.某校安排甲、乙、丙三位教师端午节三天假期在校值班，每人一天，则甲、乙两位教师值班日期不相邻的概率是（）

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

8.A

【分析】
这是古典概型类的概率计算问题，解题思路如下：首先我们可以通过枚举法列出三位教师所有可能的值班安排，得到总情况数；再从所有安排中筛选出甲、乙值班日期不相邻的情况，得到符合条件的情况数；最后根据概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数，即可得到所求概率。
【解析】
首先列出甲、乙、丙三人每人值班一天的所有等可能的安排：
1. 第1天甲、第2天乙、第3天丙
2. 第1天甲、第2天丙、第3天乙
3. 第1天乙、第2天甲、第3天丙
4. 第1天乙、第2天丙、第3天甲
5. 第1天丙、第2天甲、第3天乙
6. 第1天丙、第2天乙、第3天甲
总共有6种等可能的情况。
再筛选甲、乙值班日期不相邻的情况：观察可得，只有“甲在第1天、丙在第2天、乙在第3天”和“乙在第1天、丙在第2天、甲在第3天”这2种情况符合要求。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，可得所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型计算，枚举法计数，概率公式应用
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的情况，也可以先计算甲乙值班相邻的概率，再用1减去相邻概率得到不相邻的概率，两种方法可互相验证结果。
【难度系数】
0.7

9. 有3张除数字外无差别的卡片，上面分别写着1,2,3，随机抽取1张记作a，放回并混合在一起，再随机抽取1张记作b，组成有序实数对$(a,b)$，则点$(a,b)$在直线$y=x+2$上的概率为.

9.$\frac{1}{9}$

【分析】
本题是概率与一次函数结合的基础题，解题思路分三步：第一步，明确抽取规则是放回抽样，先计算所有等可能的有序实数对$(a,b)$的总个数；第二步，根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，找出符合$y=x+2$的$(a,b)$的个数；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
解：
∵抽取卡片为放回抽样，
∴所有等可能的有序实数对$(a,b)$有：$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$、$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$、$(3,1)$、$(3,2)$、$(3,3)$，共9种。
若点$(a,b)$在直线$y=x+2$上，则满足$b=a+2$，逐一验证得仅$(1,3)$符合条件，共1种结果。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{点在直线}y=x+2\mathrm{上})=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
列表法求概率；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础类综合题，解题的关键是准确判断抽取类型得到全部等可能结果，同时熟练掌握一次函数图象上点的坐标与解析式的关系，计算时注意不要混淆放回和不放回的抽样规则。
【难度系数】
0.7

10. [2024·连云港中考]数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”.
(1)若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是；
(2)若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率.

10.(1)$\frac{1}{2}$
(2)小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率为$\frac{1}{6}$.

【分析】
(1) 本题属于简单古典概型问题，解题时先明确所有等可能的抽取结果总数，再找到“抽到猜数学名词”的符合条件结果数，直接代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$计算即可。
(2) 本题为不放回抽取两张卡片的概率问题，解题需用列表法或树状图法不重不漏地列举出所有等可能的抽取结果，再筛选出两张均为猜“数学家人名”的结果数，代入概率公式计算即可，注意抽取过程是不放回，不能出现重复抽取同一张卡片的情况。
【解析】
(1) 随机抽取1张卡片时，总共有4种等可能的结果，其中抽到猜“数学名词”的结果共2种（抽到卡片A、B），因此：
$P(抽取到猜“数学名词”)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 用列表法列举所有不放回抽取两张卡片的等可能结果如下：
| 第一张\第二张 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | / | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | / | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | / | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | / |
由表格可得，总共有12种等可能的结果，其中两张均是猜“数学家人名”的结果有2种：(C,D)、(D,C)，因此：
$P(两张均是猜“数学家人名”)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列表法求概率
3. 树状图法求概率
【点评】
本题结合数学文化猜谜场景出题，趣味性较强，核心考查概率的基础计算能力，第一问为基础概念考查，第二问重点考查用列举法解决概率问题的掌握程度，只需注意区分放回、不放回抽样的计数差异即可得分。
【难度系数】
0.8

11. 小亮、小明两人都握有分别标记为A,B,C,D的四张牌(除标记不同外其余都相同),两人设计一个游戏,其游戏规则是:A胜B,B胜C,C胜D,D胜A,其他情况均无法分出胜负.
(1)若小亮出“A”牌,则小明获胜的概率为;
(2)求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率.

11.(1)$\frac{1}{4}$
(2)小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率是$\frac{1}{2}$.

【分析】
(1) 先明确小亮出“A”时，小明的出牌共有4种等可能的结果，再结合游戏规则“A胜B、D胜A”，找出能让小明获胜的出牌结果，直接利用概率公式计算即可。
(2) 两人各出一次牌，所有可能的结果总数可通过乘法原理或列举法得出，再梳理出所有符合“分出胜负”规则的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到对应概率。
【解析】
(1) 小亮出“A”时，小明可出A、B、C、D共4种等可能的结果，根据游戏规则，只有小明出“D”时才能获胜（D胜A），因此小明获胜的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 小亮、小明各出一次牌，所有等可能的结果共有$4×4=16$种；
能分出胜负的情况有：(A,B)、(B,A)、(B,C)、(C,B)、(C,D)、(D,C)、(D,A)、(A,D)，共8种；
根据概率公式，两人各出一次牌就能分出胜负的概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率公式、列举法求概率、古典概型
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确理解游戏规则，正确列举所有等可能的结果以及符合要求的结果，列举时要注意做到不重不漏，再代入概率公式计算即可。
【难度系数】
0.75