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12. [2024·合肥包河区二模]2024年巴黎奥运会新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个项目，为了更好地观赏这些项目，学校在四个场所开展了这四个项目竞技知识讲座.要求每位学生参与其中一场讲座，九(1)班在不透明的袋子中放置四个完全一样的小球，分别编号为1,2,3,4.
(1)若1号表示霹雳舞，2号表示滑板，3号表示攀岩，4号表示冲浪，第一位同学从袋子中摸出一个小球，记录球号后放回袋子中，摇匀后让第二位同学摸出一个小球，……，摸到的球号是多少就去参加对应项目的讲座，求包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的概率.
(2)包包和河河同学都有霹雳舞基础，霹雳舞会场将从这两人中选一人作为助讲，他俩都想去，于是商定:从袋子中一次性摸出两个小球，若球号之和大于5，则包包去辅助教学，否则河河去.他们商定的方案公平吗?若不公平，请修改游戏规则使游戏公平.
(1)若1号表示霹雳舞，2号表示滑板，3号表示攀岩，4号表示冲浪，第一位同学从袋子中摸出一个小球，记录球号后放回袋子中，摇匀后让第二位同学摸出一个小球，……，摸到的球号是多少就去参加对应项目的讲座，求包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的概率.
(2)包包和河河同学都有霹雳舞基础，霹雳舞会场将从这两人中选一人作为助讲，他俩都想去，于是商定:从袋子中一次性摸出两个小球，若球号之和大于5，则包包去辅助教学，否则河河去.他们商定的方案公平吗?若不公平，请修改游戏规则使游戏公平.
答案
12.(1)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的情况有1种，
∴包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的概率是$\frac{1}{16}$.
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，球号之和大于5的情况有4种，
∴包包去辅助教学的概率是$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，河河去辅助教学的概率是$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
∵$\frac{1}{3}≠\frac{2}{3}$，
∴他们商定的方案不公平.
修改游戏规则为从袋子中一次性摸出两球，若球号之积大于5，则包包去辅助教学，否则河河去.(答案不唯一，合理即可)
解析
【分析】
(1) 本问为有放回的两次摸球试验，两次摸球结果相互独立，我们可通过画树状图列举出所有等可能的结果，再筛选出两次均摸到1号球（对应霹雳舞）的结果数，代入概率公式即可求解。
(2) 本问为不放回的摸两球试验，两次摸出的球编号不同，先通过树状图得到所有等可能结果，再统计球号之和大于5的结果数，分别计算两人获胜的概率，若概率相等则方案公平，否则不公平；修改规则时只需保证两人获胜概率相等即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 有放回摸球时，第一次摸球有4种等可能结果，放回后第二次摸球仍有4种等可能结果，总共有$4×4=16$种等可能结果，其中两次都摸到1号球的情况仅1种，根据概率公式可得对应概率为$\frac{1}{16}$。
(2) 一次性摸两个球属于不放回试验，第一次摸球有4种等可能结果，第二次摸球有3种等可能结果，总共有$4×3=12$种等可能结果；统计得球号之和大于5的情况共4种，因此包包获胜概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，河河获胜概率为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，两者概率不相等，故方案不公平。修改规则时只要保证两人获胜的概率相同即可，例如调整判断条件为球号之积大于5等。
【答案】
12.(1)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的情况有1种，
∴包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的概率是$\frac{1}{16}$.
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，球号之和大于5的情况有4种，
∴包包去辅助教学的概率是$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，河河去辅助教学的概率是$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
∵$\frac{1}{3}≠\frac{2}{3}$，
∴他们商定的方案不公平.
修改游戏规则为从袋子中一次性摸出两球，若球号之积大于5，则包包去辅助教学，否则河河去.(答案不唯一，合理即可)
【知识点】
树状图求概率、概率公式、游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活实际考查概率的相关应用，解题关键是准确区分有放回和不放回试验的总结果数差异，判断游戏公平性的本质是比较双方获胜的概率是否相等，修改规则的开放性问题只要符合概率相等的要求即为正确。
【难度系数】
0.65
(1) 本问为有放回的两次摸球试验，两次摸球结果相互独立，我们可通过画树状图列举出所有等可能的结果，再筛选出两次均摸到1号球（对应霹雳舞）的结果数，代入概率公式即可求解。
(2) 本问为不放回的摸两球试验，两次摸出的球编号不同，先通过树状图得到所有等可能结果，再统计球号之和大于5的结果数，分别计算两人获胜的概率，若概率相等则方案公平，否则不公平；修改规则时只需保证两人获胜概率相等即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 有放回摸球时，第一次摸球有4种等可能结果，放回后第二次摸球仍有4种等可能结果，总共有$4×4=16$种等可能结果，其中两次都摸到1号球的情况仅1种，根据概率公式可得对应概率为$\frac{1}{16}$。
(2) 一次性摸两个球属于不放回试验，第一次摸球有4种等可能结果，第二次摸球有3种等可能结果，总共有$4×3=12$种等可能结果；统计得球号之和大于5的情况共4种，因此包包获胜概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，河河获胜概率为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，两者概率不相等，故方案不公平。修改规则时只要保证两人获胜的概率相同即可，例如调整判断条件为球号之积大于5等。
【答案】
12.(1)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的情况有1种，
∴包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的概率是$\frac{1}{16}$.
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，球号之和大于5的情况有4种，
∴包包去辅助教学的概率是$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，河河去辅助教学的概率是$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
∵$\frac{1}{3}≠\frac{2}{3}$，
∴他们商定的方案不公平.
修改游戏规则为从袋子中一次性摸出两球，若球号之积大于5，则包包去辅助教学，否则河河去.(答案不唯一，合理即可)
【知识点】
树状图求概率、概率公式、游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活实际考查概率的相关应用，解题关键是准确区分有放回和不放回试验的总结果数差异，判断游戏公平性的本质是比较双方获胜的概率是否相等，修改规则的开放性问题只要符合概率相等的要求即为正确。
【难度系数】
0.65
13. 为了了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区200名九年级男生，他们的身高x(单位:cm)统计如表：
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180 cm的概率是
(
A.0.42
B.0.21
C.0.79
D.与m,n的取值有关
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180 cm的概率是
(
B
)A.0.42
B.0.21
C.0.79
D.与m,n的取值有关
答案
13.B
解析
【分析】
本题考查用频率估计概率的知识点，解题思路如下：首先明确“身高不低于180cm”对应的频数，再结合已知的抽取总人数，计算该组的频率，大量重复试验时频率可作为概率的估计值，因此直接用频率即可得到估计的概率，注意本题总人数已经给出，不需要求解m、n的数值，避免被多余条件干扰。
【解析】
解：已知共随机抽取了200名九年级男生，其中身高不低于180cm的人数为42人，
则身高不低于180cm的频率为 $\frac{42}{200}=0.21$，
根据用频率估计概率的知识，可估计抽查该地区一名九年级男生，身高不低于180cm的概率是0.21。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；频数统计表
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是理解用频率估计概率的含义，同时要注意筛选题目中的有效条件，不要被未知参数m、n误导，直接利用已知的总人数和对应组的频数计算即可。
【难度系数】
0.7
本题考查用频率估计概率的知识点，解题思路如下：首先明确“身高不低于180cm”对应的频数，再结合已知的抽取总人数，计算该组的频率，大量重复试验时频率可作为概率的估计值，因此直接用频率即可得到估计的概率，注意本题总人数已经给出，不需要求解m、n的数值，避免被多余条件干扰。
【解析】
解：已知共随机抽取了200名九年级男生，其中身高不低于180cm的人数为42人，
则身高不低于180cm的频率为 $\frac{42}{200}=0.21$，
根据用频率估计概率的知识，可估计抽查该地区一名九年级男生，身高不低于180cm的概率是0.21。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；频数统计表
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是理解用频率估计概率的含义，同时要注意筛选题目中的有效条件，不要被未知参数m、n误导，直接利用已知的总人数和对应组的频数计算即可。
【难度系数】
0.7
14. 某生物学家想通过随机抽取的方式来估计50只小白鼠中雄鼠的数量，这些小白鼠被抓取后能够清晰地判断性别. 将小白鼠随机放置在实验箱后，从中随机选出一只小白鼠，记下它的性别后再放回实验箱中，不断重复这一过程，通过大量重复的试验后，发现抽到雌鼠的频率稳定在0.4左右，则实验箱中雄鼠的数量约为
30
.答案
14.30
解析
【分析】
首先回忆频率与概率的关系：当进行大量重复试验时，某一事件发生的频率会稳定在对应的概率附近，因此可以用频率来估计事件发生的概率。本题中已知抽到雌鼠的频率稳定在0.4，可先估计抽到雌鼠的概率，再求出抽到雄鼠的概率，最后结合小白鼠的总数量计算雄鼠的数量即可。
【解析】
解：
∵大量重复试验后，抽到雌鼠的频率稳定在0.4左右，
∴估计抽到雌鼠的概率为0.4，
∴抽到雄鼠的概率为 $1 - 0.4 = 0.6$，
∵小白鼠总共有50只，
∴实验箱中雄鼠的数量约为 $50 × 0.6 = 30$（只）。
【答案】
30
【知识点】
用频率估计概率；概率的应用
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是理解大量重复试验下频率与概率的对应关系，结合概率的含义即可快速求出对应数量，计算时注意不要混淆雌鼠和雄鼠的占比。
【难度系数】
0.8
首先回忆频率与概率的关系：当进行大量重复试验时，某一事件发生的频率会稳定在对应的概率附近，因此可以用频率来估计事件发生的概率。本题中已知抽到雌鼠的频率稳定在0.4，可先估计抽到雌鼠的概率，再求出抽到雄鼠的概率，最后结合小白鼠的总数量计算雄鼠的数量即可。
【解析】
解：
∵大量重复试验后，抽到雌鼠的频率稳定在0.4左右，
∴估计抽到雌鼠的概率为0.4，
∴抽到雄鼠的概率为 $1 - 0.4 = 0.6$，
∵小白鼠总共有50只，
∴实验箱中雄鼠的数量约为 $50 × 0.6 = 30$（只）。
【答案】
30
【知识点】
用频率估计概率；概率的应用
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是理解大量重复试验下频率与概率的对应关系，结合概率的含义即可快速求出对应数量，计算时注意不要混淆雌鼠和雄鼠的占比。
【难度系数】
0.8
15. 如图，某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是有关转盘的一组试验数据：
(1)完成上述表格：a=
(2)请估计当n很大时，频率将会接近
(3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少？
(1)完成上述表格：a=
295
，b=0.745
；(2)请估计当n很大时，频率将会接近
0.6
（精确到0.1），若转动该转盘一次，则获得“手工”奖品的概率约是0.4
（精确到0.1）；(3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少？
答案
15.(1)295 0.745 (2)0.6 0.4 (3)$360°×0.4=144°$.
解析
【分析】
（1）根据频率、频数、试验总次数三者的关系：频数=试验总次数×频率，频率=频数÷试验总次数，代入对应数据即可计算出a和b的值；（2）根据频率的稳定性原理，当试验次数n足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率，结合试验数据的变化趋势即可得到估计值；（3）扇形统计图中，某部分对应的圆心角度数=360°×该部分占总体的比例，此处比例即为获得“手工”奖品的概率，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
（1）结合表格已知数据，根据频数和频率的计算公式可得：$a=500×0.59=295$，$b=745÷1000=0.745$；
（2）根据频率的稳定性，观察多组试验的频率变化规律，当n很大时，频率将会接近0.6；用频率估计概率可得，转动该转盘一次，获得“手工”奖品的概率约是0.4；
（3）扇形圆心角的度数等于360°乘以对应区域占总面积的比例，也就是对应事件的概率，因此标有“手工”区域的扇形的圆心角为：$360°×0.4=144°$。
【答案】
(1)295，0.745；(2)0.6，0.4；(3)$144°$
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，扇形圆心角计算
【点评】
本题结合生活实际考查概率的相关应用，重点考查对频率与概率关系的理解，以及扇形圆心角的计算方法，属于基础类应用题，熟练掌握频率计算公式和频率稳定性的特点是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）根据频率、频数、试验总次数三者的关系：频数=试验总次数×频率，频率=频数÷试验总次数，代入对应数据即可计算出a和b的值；（2）根据频率的稳定性原理，当试验次数n足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率，结合试验数据的变化趋势即可得到估计值；（3）扇形统计图中，某部分对应的圆心角度数=360°×该部分占总体的比例，此处比例即为获得“手工”奖品的概率，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
（1）结合表格已知数据，根据频数和频率的计算公式可得：$a=500×0.59=295$，$b=745÷1000=0.745$；
（2）根据频率的稳定性，观察多组试验的频率变化规律，当n很大时，频率将会接近0.6；用频率估计概率可得，转动该转盘一次，获得“手工”奖品的概率约是0.4；
（3）扇形圆心角的度数等于360°乘以对应区域占总面积的比例，也就是对应事件的概率，因此标有“手工”区域的扇形的圆心角为：$360°×0.4=144°$。
【答案】
(1)295，0.745；(2)0.6，0.4；(3)$144°$
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，扇形圆心角计算
【点评】
本题结合生活实际考查概率的相关应用，重点考查对频率与概率关系的理解，以及扇形圆心角的计算方法，属于基础类应用题，熟练掌握频率计算公式和频率稳定性的特点是解题的关键。
【难度系数】
0.7
