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1.如图,已知点D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若AC=9,BC=5,则BD的长为
2
.答案
1.2
解析
【分析】
遇到“角平分线+垂直于角平分线的线段”这类组合条件时，通常通过延长垂线段构造等腰三角形解题。本题先延长BD交AC于点E，首先利用角平分线的定义和垂直的条件证明△CDB和△CDE全等，得到CE=BC、BD=DE；再结合∠A=∠ABD证明△ABE为等腰三角形，得到BE=AE，最后利用线段的和差关系和中点性质即可求出BD的长度。
【解析】
延长BD交AC于点E，步骤如下：
1. 证明△CDB≌△CDE：
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD。
∵BD⊥CD，
∴∠CDB=∠CDE=90°。
在△CDB和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠ BCD=∠ ECD\\ CD=CD\\ ∠ CDB=∠ CDE\end{array} $
∴△CDB≌△CDE（ASA），
∴CE=BC=5，BD=DE，即D为BE的中点。
2. 计算AE的长度：
已知AC=9，CE=5，
∴$AE=AC-CE=9-5=4$。
3. 证明△ABE为等腰三角形：
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE=4（等角对等边）。
4. 计算BD的长度：
∵D是BE的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题的核心是掌握“角平分线+垂线”构造等腰三角形的常用辅助线技巧，结合全等三角形和等腰三角形的性质推导线段关系，是几何中常见的中档考法。
【难度系数】
0.65
遇到“角平分线+垂直于角平分线的线段”这类组合条件时，通常通过延长垂线段构造等腰三角形解题。本题先延长BD交AC于点E，首先利用角平分线的定义和垂直的条件证明△CDB和△CDE全等，得到CE=BC、BD=DE；再结合∠A=∠ABD证明△ABE为等腰三角形，得到BE=AE，最后利用线段的和差关系和中点性质即可求出BD的长度。
【解析】
延长BD交AC于点E，步骤如下：
1. 证明△CDB≌△CDE：
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD。
∵BD⊥CD，
∴∠CDB=∠CDE=90°。
在△CDB和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠ BCD=∠ ECD\\ CD=CD\\ ∠ CDB=∠ CDE\end{array} $
∴△CDB≌△CDE（ASA），
∴CE=BC=5，BD=DE，即D为BE的中点。
2. 计算AE的长度：
已知AC=9，CE=5，
∴$AE=AC-CE=9-5=4$。
3. 证明△ABE为等腰三角形：
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE=4（等角对等边）。
4. 计算BD的长度：
∵D是BE的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题的核心是掌握“角平分线+垂线”构造等腰三角形的常用辅助线技巧，结合全等三角形和等腰三角形的性质推导线段关系，是几何中常见的中档考法。
【难度系数】
0.65
2. [2026 安庆期末] 如图，$△ ABC$ 的面积为$10\ \mathrm{cm}^2$，$BP$ 平分$∠ ABC$，$AP ⊥ BP$ 于点 $P$，连接 $PC$，求$△ PBC$ 的面积.
答案
2.解：$S_{△ PBC}=5\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
遇到题目中“角平分线+该角边上的垂线”的条件组合，优先考虑通过延长垂线构造全等三角形的辅助线方法：延长AP交BC于点D，可证△ABP与△DBP全等，得到AP=PD，再根据等底同高的三角形面积相等，推导△PBC的面积与△ABC面积的数量关系即可求解。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP = ∠DBP，
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB = ∠DPB = 90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP = ∠DBP \\BP = BP \\∠APB = ∠DPB\end{array} $
∴ △ABP ≌ △DBP（ASA），
∴ AP = DP。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ABP} = S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP} = S_{△ DCP}$，
∴ $S_{△ PBC} = S_{△ DBP} + S_{△ DCP} = \frac{1}{2}(S_{△ ABP} + S_{△ DBP} + S_{△ ACP} + S_{△ DCP}) = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵ $S_{△ ABC}=10\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ PBC} = \frac{1}{2} × 10 = 5\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 三角形面积计算
【点评】
本题考查几何中构造辅助线求解面积的题型，核心是掌握“角平分线+垂线”构造全等三角形的辅助线模型，结合面积的等量关系即可快速解题，该模型是几何高频考点，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
遇到题目中“角平分线+该角边上的垂线”的条件组合，优先考虑通过延长垂线构造全等三角形的辅助线方法：延长AP交BC于点D，可证△ABP与△DBP全等，得到AP=PD，再根据等底同高的三角形面积相等，推导△PBC的面积与△ABC面积的数量关系即可求解。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP = ∠DBP，
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB = ∠DPB = 90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP = ∠DBP \\BP = BP \\∠APB = ∠DPB\end{array} $
∴ △ABP ≌ △DBP（ASA），
∴ AP = DP。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ABP} = S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP} = S_{△ DCP}$，
∴ $S_{△ PBC} = S_{△ DBP} + S_{△ DCP} = \frac{1}{2}(S_{△ ABP} + S_{△ DBP} + S_{△ ACP} + S_{△ DCP}) = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵ $S_{△ ABC}=10\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ PBC} = \frac{1}{2} × 10 = 5\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 三角形面积计算
【点评】
本题考查几何中构造辅助线求解面积的题型，核心是掌握“角平分线+垂线”构造全等三角形的辅助线模型，结合面积的等量关系即可快速解题，该模型是几何高频考点，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
3. [2026合肥期中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=90°$,$BE$是角平分线,$CD ⊥ BE$,$CD$交$BE$的延长线于点$D$.求证:$BE=2CD$.
答案
证明：延长CD，交BA的延长线于点F。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠CBD=∠FBD。
∵ CD⊥BE，
∴ ∠BDC=∠BDF=90°。
在△BDC和△BDF中，
$\{\begin{array}{l}∠CBD=∠FBD \\BD=BD \\∠BDC=∠BDF\end{array} $
∴ △BDC≌△BDF(ASA)，
∴ CD=FD，即CF=2CD。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAE=∠CAF=90°。
∵ ∠BDF=90°，
∴ ∠ABE+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴ ∠ABE=∠ACF。
在△ABE和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠CAF \\AB=AC \\∠ABE=∠ACF\end{array} $
∴ △ABE≌△ACF(ASA)，
∴ BE=CF。
又∵ CF=2CD，
∴ BE=2CD。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠CBD=∠FBD。
∵ CD⊥BE，
∴ ∠BDC=∠BDF=90°。
在△BDC和△BDF中，
$\{\begin{array}{l}∠CBD=∠FBD \\BD=BD \\∠BDC=∠BDF\end{array} $
∴ △BDC≌△BDF(ASA)，
∴ CD=FD，即CF=2CD。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAE=∠CAF=90°。
∵ ∠BDF=90°，
∴ ∠ABE+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴ ∠ABE=∠ACF。
在△ABE和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠CAF \\AB=AC \\∠ABE=∠ACF\end{array} $
∴ △ABE≌△ACF(ASA)，
∴ BE=CF。
又∵ CF=2CD，
∴ BE=2CD。
解析
【分析】
要证明BE=2CD这类线段倍分关系，通常先构造出长度为2CD的线段，再证明该线段与BE相等。观察图形可知BE是∠ABC的角平分线，且CD⊥BE，符合“角平分线+垂线”的特征，此时可延长CD交BA的延长线于点F，先通过全等证明CF=2CD，再证明BE与CF相等即可。后续可通过同角的余角相等得到一组角相等，结合已知的AB=AC、两个直角相等，证明△ABE和△ACF全等，推出BE=CF，即可完成求证。
【解析】
证明：延长CD，交BA的延长线于点F。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠CBD=∠FBD。
∵ CD⊥BE，
∴ ∠BDC=∠BDF=90°。
在△BDC和△BDF中，
$\{\begin{array}{l}∠CBD=∠FBD \\BD=BD \\∠BDC=∠BDF\end{array} $
∴ △BDC≌△BDF(ASA)，
∴ CD=FD，即CF=2CD。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAE=∠CAF=90°。
∵ ∠BDF=90°，
∴ ∠ABE+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴ ∠ABE=∠ACF。
在△ABE和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠CAF \\AB=AC \\∠ABE=∠ACF\end{array} $
∴ △ABE≌△ACF(ASA)，
∴ BE=CF。
又
∵ CF=2CD，
∴ BE=2CD。
【答案】
证明过程见上述解析，最终可证得BE=2CD。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 同角的余角相等
【点评】
本题是线段倍分关系证明的典型题，解题关键是掌握“角平分线+垂线”的几何模型，通过延长垂线构造等腰三角形，将倍分问题转化为线段相等问题，再结合全等三角形的性质完成推导，熟练掌握常见辅助线模型可快速明确解题方向。
【难度系数】
0.6
要证明BE=2CD这类线段倍分关系，通常先构造出长度为2CD的线段，再证明该线段与BE相等。观察图形可知BE是∠ABC的角平分线，且CD⊥BE，符合“角平分线+垂线”的特征，此时可延长CD交BA的延长线于点F，先通过全等证明CF=2CD，再证明BE与CF相等即可。后续可通过同角的余角相等得到一组角相等，结合已知的AB=AC、两个直角相等，证明△ABE和△ACF全等，推出BE=CF，即可完成求证。
【解析】
证明：延长CD，交BA的延长线于点F。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠CBD=∠FBD。
∵ CD⊥BE，
∴ ∠BDC=∠BDF=90°。
在△BDC和△BDF中，
$\{\begin{array}{l}∠CBD=∠FBD \\BD=BD \\∠BDC=∠BDF\end{array} $
∴ △BDC≌△BDF(ASA)，
∴ CD=FD，即CF=2CD。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAE=∠CAF=90°。
∵ ∠BDF=90°，
∴ ∠ABE+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴ ∠ABE=∠ACF。
在△ABE和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠CAF \\AB=AC \\∠ABE=∠ACF\end{array} $
∴ △ABE≌△ACF(ASA)，
∴ BE=CF。
又
∵ CF=2CD，
∴ BE=2CD。
【答案】
证明过程见上述解析，最终可证得BE=2CD。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 同角的余角相等
【点评】
本题是线段倍分关系证明的典型题，解题关键是掌握“角平分线+垂线”的几何模型，通过延长垂线构造等腰三角形，将倍分问题转化为线段相等问题，再结合全等三角形的性质完成推导，熟练掌握常见辅助线模型可快速明确解题方向。
【难度系数】
0.6
4.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在$AB$上,点$E$在$AC$的延长线上,连接$ED$交$BC$于点$F$,$DF=EF$.求证:$BD=CE$. 
答案
证明：
过点D作$DG// AE$，交BC于点G。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠B=∠ACB$。
∵ $DG// AE$，
∴ $∠DGB=∠ACB$，
∴ $∠B=∠DGB$，
∴ $BD=DG$。
∵ $DG// AE$，
∴ $∠GDF=∠E$。
在$△ DGF$和$△ ECF$中，
$\{\begin{array}{l}∠GDF=∠E, \\DF=EF, \\∠DFG=∠EFC,\end{array} $
∴ $△ DGF≌△ ECF$（ASA），
∴ $DG=CE$。
又∵ $BD=DG$，
∴ $BD=CE$。
过点D作$DG// AE$，交BC于点G。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠B=∠ACB$。
∵ $DG// AE$，
∴ $∠DGB=∠ACB$，
∴ $∠B=∠DGB$，
∴ $BD=DG$。
∵ $DG// AE$，
∴ $∠GDF=∠E$。
在$△ DGF$和$△ ECF$中，
$\{\begin{array}{l}∠GDF=∠E, \\DF=EF, \\∠DFG=∠EFC,\end{array} $
∴ $△ DGF≌△ ECF$（ASA），
∴ $DG=CE$。
又∵ $BD=DG$，
∴ $BD=CE$。
解析
【分析】
要证明BD=CE，两条线段无法直接通过全等证明相等，因此考虑用等量代换的思路解题。已知AB=AC，可得△ABC为等腰三角形，∠B=∠ACB，又已知DF=EF，即F是DE的中点，因此我们过点D作DG//AE交BC于G：一方面可利用平行线性质结合∠B=∠ACB，推导出BD=DG，将待证的BD转化为DG；另一方面可利用平行线的内错角相等，结合已知的DF=EF和对顶角相等，证明△DGF和△ECF全等，得到DG=CE，最后通过等量代换即可证得BD=CE。
【解析】
证明：过点D作$DG// AE$，交BC于点G。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠B=∠ACB$（等腰三角形两底角相等）。
∵ $DG// AE$，
∴ $∠DGB=∠ACB$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠B=∠DGB$，
∴ $BD=DG$（等角对等边）。
∵ $DG// AE$，
∴ $∠GDF=∠E$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ DGF$和$△ ECF$中，
$\{\begin{array}{l}∠GDF=∠E, \\DF=EF, \\∠DFG=∠EFC（对顶角相等）,\end{array} $
∴ $△ DGF≌△ ECF$（ASA），
∴ $DG=CE$（全等三角形对应边相等）。
又
∵ $BD=DG$，
∴ $BD=CE$（等量代换）。
【答案】
BD=CE，得证。
【知识点】
1.等腰三角形的性质与判定
2.全等三角形的判定与性质
3.平行线的性质
【点评】
本题是典型的构造辅助线解决几何证明的题型，作平行线构造等腰三角形和全等三角形是这类问题的常用技巧，考查学生对辅助线构造的掌握程度，以及对等腰、全等、平行线相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要证明BD=CE，两条线段无法直接通过全等证明相等，因此考虑用等量代换的思路解题。已知AB=AC，可得△ABC为等腰三角形，∠B=∠ACB，又已知DF=EF，即F是DE的中点，因此我们过点D作DG//AE交BC于G：一方面可利用平行线性质结合∠B=∠ACB，推导出BD=DG，将待证的BD转化为DG；另一方面可利用平行线的内错角相等，结合已知的DF=EF和对顶角相等，证明△DGF和△ECF全等，得到DG=CE，最后通过等量代换即可证得BD=CE。
【解析】
证明：过点D作$DG// AE$，交BC于点G。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠B=∠ACB$（等腰三角形两底角相等）。
∵ $DG// AE$，
∴ $∠DGB=∠ACB$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠B=∠DGB$，
∴ $BD=DG$（等角对等边）。
∵ $DG// AE$，
∴ $∠GDF=∠E$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ DGF$和$△ ECF$中，
$\{\begin{array}{l}∠GDF=∠E, \\DF=EF, \\∠DFG=∠EFC（对顶角相等）,\end{array} $
∴ $△ DGF≌△ ECF$（ASA），
∴ $DG=CE$（全等三角形对应边相等）。
又
∵ $BD=DG$，
∴ $BD=CE$（等量代换）。
【答案】
BD=CE，得证。
【知识点】
1.等腰三角形的性质与判定
2.全等三角形的判定与性质
3.平行线的性质
【点评】
本题是典型的构造辅助线解决几何证明的题型，作平行线构造等腰三角形和全等三角形是这类问题的常用技巧，考查学生对辅助线构造的掌握程度，以及对等腰、全等、平行线相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5.如图,点 D 是等边三角形 ABC 中边 AB 上一点,延长 BC 至点 E,使 CE = AD,连接 DE,与 AC 相交于点 F,过点 D 作 DH ⊥ AC,垂足为点 H,若 AB = 12,求 HF 的长度.
答案
5.解：$HF=6$.
解析
【分析】
本题是等边三角形中求线段长度的问题，解题思路如下：首先观察到已知条件有CE=AD，且HF在AC边上，我们可以通过作平行线构造等边三角形和全等三角形实现线段转化：①过D作BC的平行线交AC于G，先证△ADG是等边三角形，结合DH⊥AC，利用等腰三角形三线合一得AH=HG；②再证△DGF与△ECF全等，得到GF=FC；③最后将HF转化为AC长度的一半，代入数值即可求解。
【解析】
解：过点D作$DG// BC$，交AC于点G。
∵$△ ABC$是等边三角形，$AB=12$，
∴$∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$，$AC=AB=12$。
∵$DG// BC$，
∴$∠ ADG=∠ B=60°$，$∠ AGD=∠ ACB=60°$，
∴$△ ADG$是等边三角形，
∴$AD=DG$。
又
∵$DH⊥ AC$，根据等边三角形三线合一的性质，
∴$AH=HG=\frac{1}{2}AG$。
已知$CE=AD$，
∴$DG=CE$。
在$△ DGF$和$△ ECF$中：
$\begin{cases}∠ DFG=∠ EFC \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\∠ GDF=∠ E \quad (\mathrm{两直线平行，内错角相等}) \\DG=CE\end{cases}$
∴$△ DGF≌△ ECF(\mathrm{AAS})$，
∴$GF=FC=\frac{1}{2}GC$。
∴$HF=HG+GF=\frac{1}{2}AG+\frac{1}{2}GC=\frac{1}{2}(AG+GC)=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
$HF=6$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是构造等腰三角形辅助线的典型习题，通过作平行线构造出全等三角形和等边三角形，实现了未知线段向已知线段的转化，解题的关键是合理选择辅助线的作法，熟练运用等边三角形和全等三角形的性质进行线段推导。
【难度系数】
0.6
本题是等边三角形中求线段长度的问题，解题思路如下：首先观察到已知条件有CE=AD，且HF在AC边上，我们可以通过作平行线构造等边三角形和全等三角形实现线段转化：①过D作BC的平行线交AC于G，先证△ADG是等边三角形，结合DH⊥AC，利用等腰三角形三线合一得AH=HG；②再证△DGF与△ECF全等，得到GF=FC；③最后将HF转化为AC长度的一半，代入数值即可求解。
【解析】
解：过点D作$DG// BC$，交AC于点G。
∵$△ ABC$是等边三角形，$AB=12$，
∴$∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$，$AC=AB=12$。
∵$DG// BC$，
∴$∠ ADG=∠ B=60°$，$∠ AGD=∠ ACB=60°$，
∴$△ ADG$是等边三角形，
∴$AD=DG$。
又
∵$DH⊥ AC$，根据等边三角形三线合一的性质，
∴$AH=HG=\frac{1}{2}AG$。
已知$CE=AD$，
∴$DG=CE$。
在$△ DGF$和$△ ECF$中：
$\begin{cases}∠ DFG=∠ EFC \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\∠ GDF=∠ E \quad (\mathrm{两直线平行，内错角相等}) \\DG=CE\end{cases}$
∴$△ DGF≌△ ECF(\mathrm{AAS})$，
∴$GF=FC=\frac{1}{2}GC$。
∴$HF=HG+GF=\frac{1}{2}AG+\frac{1}{2}GC=\frac{1}{2}(AG+GC)=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
$HF=6$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是构造等腰三角形辅助线的典型习题，通过作平行线构造出全等三角形和等边三角形，实现了未知线段向已知线段的转化，解题的关键是合理选择辅助线的作法，熟练运用等边三角形和全等三角形的性质进行线段推导。
【难度系数】
0.6
