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6. [2026北京期中]如图,在三角形纸片ABC中,∠B=2∠C,把三角形纸片沿直线AD折叠,点B落在AC边上的点E处,那么下列等式成立的是 (
A.$AC=AD+BD$
B.$AC=AB+CD$
C.$AC=AD+CD$
D.$AC=AB+BD$
D
)A.$AC=AD+BD$
B.$AC=AB+CD$
C.$AC=AD+CD$
D.$AC=AB+BD$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到相等的边和角，再结合已知∠B=2∠C，借助三角形外角的性质推导角相等，利用等角对等边得到边相等，最后将AC拆分为两段线段和，通过等量替换即可判断正确选项。
【解析】
解：
∵三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处
∴AB=AE，BD=DE，∠B=∠AED
∵∠B=2∠C
∴∠AED=2∠C
∵∠AED是△EDC的外角，根据三角形外角性质可得：∠AED=∠C+∠EDC
∴2∠C=∠C+∠EDC，化简得∠EDC=∠C
∴DE=EC（等角对等边）
又
∵BD=DE
∴EC=BD
∵AC=AE+EC，且AE=AB
∴AC=AB+BD
故选D。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质、三角形外角性质、等腰三角形判定
【点评】
本题核心是利用折叠的性质完成边和角的等量转换，结合三角形外角性质和等腰三角形的判定实现线段的代换，解题的关键是找准折叠前后的对应元素，熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.75
解题时先利用折叠的性质得到相等的边和角，再结合已知∠B=2∠C，借助三角形外角的性质推导角相等，利用等角对等边得到边相等，最后将AC拆分为两段线段和，通过等量替换即可判断正确选项。
【解析】
解：
∵三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处
∴AB=AE，BD=DE，∠B=∠AED
∵∠B=2∠C
∴∠AED=2∠C
∵∠AED是△EDC的外角，根据三角形外角性质可得：∠AED=∠C+∠EDC
∴2∠C=∠C+∠EDC，化简得∠EDC=∠C
∴DE=EC（等角对等边）
又
∵BD=DE
∴EC=BD
∵AC=AE+EC，且AE=AB
∴AC=AB+BD
故选D。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质、三角形外角性质、等腰三角形判定
【点评】
本题核心是利用折叠的性质完成边和角的等量转换，结合三角形外角性质和等腰三角形的判定实现线段的代换，解题的关键是找准折叠前后的对应元素，熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.75
7.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ C$,$AD⊥ BC$,垂足为点$D$,若$BD=2$,$CD=8$,求$AB$的长.
答案
7.解：$AB=6$.
解析
【分析】
本题给出角的倍数关系和垂线条件，求线段长度，可通过构造等腰三角形转化边角关系求解：首先利用AD⊥BC的垂直条件，在CD上截取与BD等长的线段DE，构造AD垂直平分BE，即可得到AB=AE，将∠B转化为与∠AEB相等；再结合∠B=2∠C的条件，利用三角形外角的性质推导得出∠EAC=∠C，得到AE=EC，最后计算EC的长度即可求得AB的长。
【解析】
解：在CD上截取DE=BD=2，连接AE。
∵AD⊥BC，且BD=DE，
∴AD是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB。
∵∠AEB是△AEC的外角，
∴∠AEB=∠C+∠EAC。
又
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
代入外角等式得：2∠C=∠C+∠EAC，
化简得∠EAC=∠C，
∴AE=EC。
∵CD=8，DE=2，
∴EC=CD-DE=8-2=6，
∴AE=6，
∴AB=AE=6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是构造等腰三角形解题的典型题型，解题核心是通过截等长线段的辅助线，将角的倍数关系转化为等腰三角形的等边关系，熟练掌握相关几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.65
本题给出角的倍数关系和垂线条件，求线段长度，可通过构造等腰三角形转化边角关系求解：首先利用AD⊥BC的垂直条件，在CD上截取与BD等长的线段DE，构造AD垂直平分BE，即可得到AB=AE，将∠B转化为与∠AEB相等；再结合∠B=2∠C的条件，利用三角形外角的性质推导得出∠EAC=∠C，得到AE=EC，最后计算EC的长度即可求得AB的长。
【解析】
解：在CD上截取DE=BD=2，连接AE。
∵AD⊥BC，且BD=DE，
∴AD是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB。
∵∠AEB是△AEC的外角，
∴∠AEB=∠C+∠EAC。
又
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
代入外角等式得：2∠C=∠C+∠EAC，
化简得∠EAC=∠C，
∴AE=EC。
∵CD=8，DE=2，
∴EC=CD-DE=8-2=6，
∴AE=6，
∴AB=AE=6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是构造等腰三角形解题的典型题型，解题核心是通过截等长线段的辅助线，将角的倍数关系转化为等腰三角形的等边关系，熟练掌握相关几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.65
8.如图，$△ ABC$为等边三角形，$∠ ADC=60°$，求证：$AD=BD+CD$.（请用两种方法证明）
截长法：
补短法：
截长法：
补短法：
答案
截长法证明：
在AD上取点E，使$DE=CD$，连接CE。
∵ $∠ ADC=60°$，$DE=CD$，
∴ $△ CDE$是等边三角形，
∴ $CD=CE$，$∠ DCE=60°$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=BC$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ ACB - ∠ ECB = ∠ DCE - ∠ ECB$，即$∠ ACE=∠ BCD$。
在$△ ACE$和$△ BCD$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACE=∠ BCD \\CE=CD\end{cases}$
∴ $△ ACE ≌ △ BCD$（SAS），
∴ $AE=BD$。
∵ $AD = AE + DE$，且$DE=CD$，
∴ $AD = BD + CD$。
---
补短法证明：
以CD为边作等边$△ CDE$，使点E与点B在CD的同侧，连接BE。
∵ $△ CDE$是等边三角形，
∴ $CD=CE=DE$，$∠ DCE=∠ CED=60°$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=BC$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ ACB + ∠ BCD = ∠ DCE + ∠ BCD$，即$∠ ACD=∠ BCE$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\CD=CE\end{cases}$
∴ $△ ACD ≌ △ BCE$（SAS），
∴ $AD=BE$，$∠ ADC=∠ BEC=60°$。
∵ $∠ CED=60°$，
∴ $∠ BEC=∠ CED$，即点B、D、E三点共线，
∴ $BE = BD + DE$。
∵ $DE=CD$，
∴ $BE=BD+CD$，
∴ $AD=BD+CD$。
在AD上取点E，使$DE=CD$，连接CE。
∵ $∠ ADC=60°$，$DE=CD$，
∴ $△ CDE$是等边三角形，
∴ $CD=CE$，$∠ DCE=60°$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=BC$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ ACB - ∠ ECB = ∠ DCE - ∠ ECB$，即$∠ ACE=∠ BCD$。
在$△ ACE$和$△ BCD$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACE=∠ BCD \\CE=CD\end{cases}$
∴ $△ ACE ≌ △ BCD$（SAS），
∴ $AE=BD$。
∵ $AD = AE + DE$，且$DE=CD$，
∴ $AD = BD + CD$。
---
补短法证明：
以CD为边作等边$△ CDE$，使点E与点B在CD的同侧，连接BE。
∵ $△ CDE$是等边三角形，
∴ $CD=CE=DE$，$∠ DCE=∠ CED=60°$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=BC$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ ACB + ∠ BCD = ∠ DCE + ∠ BCD$，即$∠ ACD=∠ BCE$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\CD=CE\end{cases}$
∴ $△ ACD ≌ △ BCE$（SAS），
∴ $AD=BE$，$∠ ADC=∠ BEC=60°$。
∵ $∠ CED=60°$，
∴ $∠ BEC=∠ CED$，即点B、D、E三点共线，
∴ $BE = BD + DE$。
∵ $DE=CD$，
∴ $BE=BD+CD$，
∴ $AD=BD+CD$。
解析
【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段的和，常用截长补短的辅助线方法：
1. 截长法：在较长线段AD上截取一段等于其中一条较短线段，本题可截取DE=CD，结合∠ADC=60°可得到等边△CDE，再通过证明三角形全等得到剩余线段AE等于另一条短线段BD，即可推出结论。
2. 补短法：将两条较短线段拼接为一条长线段，本题可构造等边△CDE，将CD和BD拼接为线段BE，再通过证明三角形全等得到AD=BE，同时证明B、D、E三点共线，即可推出结论。
【解析】
★截长法证明：
在AD上取点E，使$DE=CD$，连接CE。
∵ $∠ ADC=60°$，$DE=CD$，
∴ $△ CDE$是等边三角形，
∴ $CD=CE$，$∠ DCE=60°$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=BC$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ ACB - ∠ ECB = ∠ DCE - ∠ ECB$，即$∠ ACE=∠ BCD$。
在$△ ACE$和$△ BCD$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACE=∠ BCD \\CE=CD\end{cases}$
∴ $△ ACE ≌ △ BCD$（SAS），
∴ $AE=BD$。
∵ $AD = AE + DE$，且$DE=CD$，
∴ $AD = BD + CD$。
★补短法证明：
以CD为边作等边$△ CDE$，使点E与点B在CD的同侧，连接BE。
∵ $△ CDE$是等边三角形，
∴ $CD=CE=DE$，$∠ DCE=∠ CED=60°$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=BC$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ ACB + ∠ BCD = ∠ DCE + ∠ BCD$，即$∠ ACD=∠ BCE$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\CD=CE\end{cases}$
∴ $△ ACD ≌ △ BCE$（SAS），
∴ $AD=BE$，$∠ ADC=∠ BEC=60°$。
∵ $∠ CED=60°$，
∴ $∠ BEC=∠ CED$，即点B、D、E三点共线，
∴ $BE = BD + DE$。
∵ $DE=CD$，
∴ $BE=BD+CD$，
∴ $AD=BD+CD$。
【答案】
$AD=BD+CD$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，截长补短法证线段和差
【点评】
本题是线段和差类几何证明的典型题型，重点考查截长补短的辅助线构造思路，通过结合等边三角形的性质构造全等三角形完成线段的等量转化，对提升几何逻辑推理能力和辅助线构造技巧有很大帮助。
【难度系数】
0.6
要证明一条线段等于另外两条线段的和，常用截长补短的辅助线方法：
1. 截长法：在较长线段AD上截取一段等于其中一条较短线段，本题可截取DE=CD，结合∠ADC=60°可得到等边△CDE，再通过证明三角形全等得到剩余线段AE等于另一条短线段BD，即可推出结论。
2. 补短法：将两条较短线段拼接为一条长线段，本题可构造等边△CDE，将CD和BD拼接为线段BE，再通过证明三角形全等得到AD=BE，同时证明B、D、E三点共线，即可推出结论。
【解析】
★截长法证明：
在AD上取点E，使$DE=CD$，连接CE。
∵ $∠ ADC=60°$，$DE=CD$，
∴ $△ CDE$是等边三角形，
∴ $CD=CE$，$∠ DCE=60°$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=BC$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ ACB - ∠ ECB = ∠ DCE - ∠ ECB$，即$∠ ACE=∠ BCD$。
在$△ ACE$和$△ BCD$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACE=∠ BCD \\CE=CD\end{cases}$
∴ $△ ACE ≌ △ BCD$（SAS），
∴ $AE=BD$。
∵ $AD = AE + DE$，且$DE=CD$，
∴ $AD = BD + CD$。
★补短法证明：
以CD为边作等边$△ CDE$，使点E与点B在CD的同侧，连接BE。
∵ $△ CDE$是等边三角形，
∴ $CD=CE=DE$，$∠ DCE=∠ CED=60°$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=BC$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ ACB + ∠ BCD = ∠ DCE + ∠ BCD$，即$∠ ACD=∠ BCE$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\CD=CE\end{cases}$
∴ $△ ACD ≌ △ BCE$（SAS），
∴ $AD=BE$，$∠ ADC=∠ BEC=60°$。
∵ $∠ CED=60°$，
∴ $∠ BEC=∠ CED$，即点B、D、E三点共线，
∴ $BE = BD + DE$。
∵ $DE=CD$，
∴ $BE=BD+CD$，
∴ $AD=BD+CD$。
【答案】
$AD=BD+CD$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，截长补短法证线段和差
【点评】
本题是线段和差类几何证明的典型题型，重点考查截长补短的辅助线构造思路，通过结合等边三角形的性质构造全等三角形完成线段的等量转化，对提升几何逻辑推理能力和辅助线构造技巧有很大帮助。
【难度系数】
0.6
