1.已知在等腰三角形ABC中，∠A=50°,则∠B的度数为。
【变式·正向应用】等腰三角形的一个内角是70°,则它的顶角的度数是（）

A.70°
B.70°或40°
C.70°或50°
D.40°

1. 50°或80°或65° 【变式·正向应用】B

【分析】
解决等腰三角形角度计算问题时，核心要用到等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，若题目未明确已知角是顶角还是底角，必须分类讨论避免漏解。
第一题：已知∠A=50°，未说明∠A是顶角还是底角，也未说明∠B的类型，因此分三类讨论：①∠A为顶角，∠B为底角；②∠A为底角，∠B为顶角；③∠A和∠B均为底角，分别计算即可。
变式题：已知一个内角为70°，求顶角度数，分两类讨论：①70°角为顶角；②70°角为底角，计算对应顶角度数后匹配选项。
【解析】
第1题解答：
等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和180°，分情况计算：
1. 若∠A为顶角，∠B为底角：$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$
2. 若∠A为底角，∠B为顶角：$∠ B=180°-2×∠ A=180°-2×50°=80°$
3. 若∠A、∠B均为底角：$∠ B=∠ A=50°$
三种情况均满足三角形内角和要求，因此∠B的度数为50°或80°或65°。
变式题解答：
分情况计算顶角度数：
1. 若70°内角为顶角：顶角直接为70°，符合要求
2. 若70°内角为底角：顶角$=180°-2×70°=40°$，符合要求
因此顶角度数为70°或40°，对应选项B。
【答案】
50°或80°或65°；B
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型基础题，解题关键是明确未说明类型的角需分顶角、底角讨论，计算后要验证结果是否符合三角形内角和要求，避免漏解。
【难度系数】
0.65

2.若等腰三角形中有两边长分别为4和5，则这个等腰三角形的周长为.
【变式·正向应用】若等腰三角形有两边长分别为2和5，则它的周长是.

2. 13或14 【变式·正向应用】12

【分析】
解决这类等腰三角形已知两边求周长的问题，首先要明确等腰三角形两腰长度相等，已知的两条边未指明是腰还是底边时，需要分两种情况讨论：一种是已知的较短边为腰，另一种是已知的较长边为腰。每种情况得到三边长后，必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，不符合的情况要舍去，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
原题（两边长为4和5）：
分两种情况讨论：
1. 当腰长为4时，三角形三边长为4，4，5
验证三边关系：$4+4＞5$，$4+5＞4$，满足三角形三边要求，可构成三角形
周长为：$4+4+5=13$
2. 当腰长为5时，三角形三边长为4，5，5
验证三边关系：$4+5＞5$，$5+5＞4$，满足三角形三边要求，可构成三角形
周长为：$4+5+5=14$
变式题（两边长为2和5）：
分两种情况讨论：
1. 当腰长为2时，三角形三边长为2，2，5
验证三边关系：$2+2=4＜5$，不满足三角形三边要求，不能构成三角形，舍去该情况
2. 当腰长为5时，三角形三边长为2，5，5
验证三边关系：$2+5＞5$，$5+5＞2$，满足三角形三边要求，可构成三角形
周长为：$2+5+5=12$
【答案】
2. 13或14 【变式·正向应用】12
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型题型，解题核心是牢记等腰三角形边的特征，养成分类讨论的意识，同时一定要注意验证三边是否能构成三角形，避免出现多算错解或者漏解的问题。
【难度系数】
0.7

3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$70°$,则等腰三角形的顶角度数为.

3. 20°或160°

【分析】
解决本题需要结合等腰三角形的特性分类讨论：等腰三角形按角可分为锐角等腰三角形、钝角等腰三角形、直角等腰三角形，本题中腰上的高与另一腰夹角为70°，可排除直角等腰三角形的情况，因此分两种情况思考：①高在三角形内部（对应锐角等腰三角形）；②高在三角形外部（对应钝角等腰三角形）。两种情况均结合直角三角形两锐角互余、三角形内角和性质计算顶角度数即可。
【解析】
本题分两种情况求解：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内部：
因为腰上的高与腰垂直，所以高与腰的夹角为90°，已知高与另一腰的夹角为70°，在由高、腰组成的直角三角形中，两个锐角互余，因此顶角度数为 $90° - 70° = 20°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高在三角形外部：
此时高与另一腰的夹角为70°，在由高、腰的延长线组成的直角三角形中，可得顶角的邻补角度数为 $90° - 70° = 20°$，因此顶角度数为 $180° - 20° = 160°$。
综上，等腰三角形的顶角度数为20°或160°。
【答案】
20°或160°
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时要结合等腰三角形的形状判断高的位置，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.5

4.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个三角形的各个内角的度数.

4.解：三角形各个内角的度数为 65°,65°,50°或65°,57.5°,57.5°或115°,32.5°,32.5°.

【分析】
本题未明确等腰三角形的形状，也未说明“另一边”是底边还是另一腰，需结合分类讨论思想求解：首先按照腰上高的位置（三角形内部、外部）以及夹角对应边的类型分类，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分别计算各角度，最后验证结果是否符合三角形的基本性质。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形，腰上的高与另一腰的夹角为25°时：
腰上的高与腰垂直，因此顶角 = 90° - 25° = 65°，
等腰三角形两底角相等，故底角 = (180° - 65°) ÷ 2 = 57.5°，
此时三个内角为65°,57.5°,57.5°。
2. 当腰上的高与底边的夹角为25°时：
腰上的高与腰垂直，因此底角 = 90° - 25° = 65°，
顶角 = 180° - 65° × 2 = 50°，
此时三个内角为65°,65°,50°。
3. 当等腰三角形为钝角三角形，腰上的高与另一腰的夹角为25°时：
高落在三角形外部，顶角的外角 = 90° - 25° = 65°，因此顶角 = 180° - 65° = 115°，
底角 = (180° - 115°) ÷ 2 = 32.5°，
此时三个内角为115°,32.5°,32.5°。
【答案】
三角形各个内角的度数为 65°,65°,50°或65°,57.5°,57.5°或115°,32.5°,32.5°.
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的经典题型，解题的关键是明确分类讨论的标准，结合图形判断高的位置，避免因漏考虑高在三角形外、夹角对应底边的情况导致漏解。
【难度系数】
0.5

5.在三角形$ABC$中，$AB=AC$，边$AB$上的垂直平分线与$AC$所在的直线相交所得的锐角为$40°$，则底角$∠ B$的度数为________。

5. 65°或25°

【分析】
本题是等腰三角形角度计算问题，解题的关键是注意“AC所在的直线”包含线段AC和AC的延长线两种情况，需分类讨论：①当等腰三角形顶角为锐角时，AB的垂直平分线与线段AC相交；②当等腰三角形顶角为钝角时，AB的垂直平分线与CA的延长线相交。结合线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理即可分别求出底角∠B的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当△ABC为锐角三角形时，AB的垂直平分线DE交AB于E，交AC于D，由题意得相交所得锐角∠ADE=40°。
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
在Rt△AED中，∠A=90°-∠ADE=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
由三角形内角和为180°得：∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°。
情况2：当△ABC为钝角三角形时，AB的垂直平分线DE交AB于E，交CA的延长线于D，由题意得相交所得锐角∠ADE=40°。
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
在Rt△AED中，∠DAE=90°-∠ADE=90°-40°=50°，
∴顶角∠BAC=180°-∠DAE=180°-50°=130°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
由三角形内角和为180°得：∠B=(180°-∠BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°。
综上，∠B的度数为65°或25°。
【答案】
65°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时容易忽略垂直平分线与AC延长线相交的情况，导致漏解，解决这类问题时要注意题目中“直线”“射线”等表述的范围，全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6

6.等腰三角形ABC的底边BC的长为5 cm，一腰上的中线BD把△ABC的周长分成差为3 cm的两部分，则腰长为。

6. 8 cm

【分析】
首先明确BD是等腰三角形腰上的中线，因此中线分得的两条腰的分段长度相等，所以周长被分成的两部分的差本质是腰长和底边长的差。解题时需要分两种情况讨论：①腰长比底边长3cm；②底边长比腰长3cm，最后必须用三角形三边关系验证所得的边长能否构成三角形，舍去不符合要求的结果。
【解析】
设等腰三角形ABC的腰长为$x$ cm，
∵BD是腰上的中线，
∴$AD=CD=\frac{1}{2}x$ cm，
BD将△ABC周长分为$AB+AD$和$BC+CD$两部分，两部分差为3cm，分情况讨论：
情况1：腰长大于底边长，即$(AB+AD)-(BC+CD)=3$ cm
∵$AD=CD$，化简得$AB-BC=3$ cm，
代入$BC=5$cm，得$x-5=3$，解得$x=8$，
此时三边长为8cm、8cm、5cm，满足$8+5＞8$、$8+8＞5$，符合三角形三边关系，成立；
情况2：底边长大于腰长，即$(BC+CD)-(AB+AD)=3$ cm
同理化简得$BC-AB=3$ cm，
代入$BC=5$cm，得$5-x=3$，解得$x=2$，
此时三边长为2cm、2cm、5cm，$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，腰长为8cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略分类讨论，或分类后忘记用三角形三边关系验证结果，解题时要牢记涉及等腰三角形边长的计算，只要没有明确腰和底，都要考虑分类验证，避免出现不符合实际的多解。
【难度系数】
0.6

7.如图，∠AOC=120°,B是射线OC的反向延长线上的一点,OC=10 cm,动点P从点C出发,沿CB以2 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发,沿OA以1 cm/s的速度移动.如果点P,Q同时出发,用t s表示移动的时间,那么当t=时,△POQ是等腰三角形.

7. $\frac{10}{3}$或10

【分析】
要解决动点背景下△POQ为等腰三角形的问题，需分类讨论点P的位置：
1. 先明确各线段的长度表达式：动点P速度为2cm/s，t秒后CP=2t；Q速度为1cm/s，t秒后OQ=t；
2. 分两种情况讨论：①点P在线段CO上（O点左侧），此时∠POQ=120°，120°只能为等腰三角形的顶角，因此两腰为OP和OQ；②点P在射线OB上（O点右侧），此时∠POQ=180°-120°=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此只需满足OP=OQ即可；
3. 分别根据两种情况的等量关系列方程求解，检验解是否符合对应情况的t的取值范围即可。
【解析】
分两种情况讨论：
(1) 当点P在点O左侧（即线段CO上，$0≤ t＜5$）时：
$OP = OC - CP = 10 - 2t$，$OQ = t$，$∠ POQ=120°$
若△POQ为等腰三角形，120°只能为顶角，因此$OP=OQ$
列方程：$10 - 2t = t$
解得：$t = \frac{10}{3}$，符合$0≤ t＜5$，成立；
(2) 当点P在点O右侧（即射线OB上，$t≥5$）时：
$OP = CP - OC = 2t - 10$，$OQ = t$，$∠ POQ=180°-120°=60°$
若△POQ为等腰三角形，结合有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此$OP=OQ$
列方程：$2t - 10 = t$
解得：$t=10$，符合$t≥5$，成立。
综上，t的值为$\frac{10}{3}$或10。
【答案】
$\frac{10}{3}$或10
【知识点】
等腰三角形判定；分类讨论思想；动点问题求解
【点评】
本题是典型的动点结合等腰三角形的分类讨论题，解题核心是根据点P的位置分情况讨论，结合三角形内角和判断等腰三角形的边的等量关系，易错点是容易漏掉点P在O点右侧的情况，导致少解。
【难度系数】
0.6

8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=60°$,点$D,E$分别是$BC,AB$上的动点,将$△ BDE$沿直线$DE$翻折,点$B$的对应点$B'$恰好落在$AC$上,若$△ AEB'$是等腰三角形,则$∠ BEB'$的度数为.

8. 150°或105°或60°

【分析】
首先在Rt△ABC中根据三角形内角和求出∠A=30°，由翻折的性质可知折叠前后对应角相等。题目中△AEB'是等腰三角形，但未明确腰和底边，因此需要分三种情况讨论：①$AB'=B'E$；②$AE=AB'$；③$AE=B'E$，分别计算每种情况下∠AEB'的度数，再利用平角的定义求出∠BEB'的度数即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
$\therefore ∠ A=180°-90°-60°=30°$。
△AEB'为等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 当$AB'=B'E$时，$∠ A=∠ AEB'=30°$，
∵点E在AB上，$∠ BEB'+∠ AEB'=180°$，
$\therefore ∠ BEB'=180°-30°=150°$；
2. 当$AE=AB'$时，$∠ AEB'=∠ AB'E$，
由三角形内角和得：$∠ AEB'=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
$\therefore ∠ BEB'=180°-75°=105°$；
3. 当$AE=B'E$时，$∠ A=∠ AB'E=30°$，
$\therefore ∠ AEB'=180°-∠ A-∠ AB'E=180°-30°-30°=120°$，
$\therefore ∠ BEB'=180°-120°=60°$。
经检验，三种情况均符合题意。
【答案】
$150°$或$105°$或$60°$
【知识点】
三角形内角和定理，翻折的性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，结合图形翻折的性质和等腰三角形的性质解题，解题时要注意对等腰三角形的腰长分情况讨论，避免漏解，同时要验证所得结果是否符合三角形内角的取值范围。
【难度系数】
0.6

9. [2025淮北期中]已知△ABC中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”.如图①，Rt△ABC为“等直三角形”.在图②中，△ABC为“等直三角形”，∠ABC=110°，则∠A的度数为.

9. 45°,50°,20°或25°

【分析】
这是一道新定义类几何计算题，首先理解“等直三角形”的含义：过三角形一个顶点的直线可将其分割为1个等腰三角形和1个直角三角形。结合已知∠ABC=110°，由三角形内角和得∠A+∠C=70°，因此∠A、∠C均为锐角，可判断分割线只能过顶点B（若分割线过A或C，含∠B的分割三角形有110°钝角，无法构成直角三角形）。接下来分四类讨论：分割出的直角三角形的直角在B点（2种情况）、直角在分割线与AC的交点D处（2种情况），结合等腰三角形等边对等角、三角形内角和定理计算∠A，排除不符合角度范围的结果即可。
【解析】
解：在△ABC中，∠ABC=110°，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ C = 180° - 110° = 70°$，因此$∠ A$、$∠ C$均为小于70°的锐角。
若分割线过点A或点C，分割得到的含$∠ B$的三角形存在110°钝角，无法构成直角三角形，因此分割线只能过点B，设过B的直线交AC于点D，分情况讨论如下：
1. 直角三角形为$△ ABD$，直角在B点（$∠ ABD=90°$），$△ BCD$为等腰三角形：
$∠ DBC = 110° - 90° = 20°$，等腰$△ BCD$中仅当$BD=CD$时符合角度要求，此时$∠ C=∠ DBC=20°$，故$∠ A=70° - 20° = 50°$。
2. 直角三角形为$△ BCD$，直角在B点（$∠ CBD=90°$），$△ ABD$为等腰三角形：
$∠ ABD = 110° - 90° = 20°$，等腰$△ ABD$中仅当$AD=BD$时符合角度要求，此时$∠ A=∠ ABD=20°$。
3. 直角三角形为$△ BCD$，直角在D点（$∠ BDC=90°$），$△ ABD$为等腰三角形：
此时$△ ABD$为等腰直角三角形，故$∠ A=∠ ABD=45°$，符合角度要求。
4. 直角三角形为$△ ABD$，直角在D点（$∠ ADB=90°$），$△ BCD$为等腰三角形：
此时$△ BCD$为等腰直角三角形，故$∠ C=45°$，因此$∠ A=70° - 45° = 25°$，符合角度要求。
【答案】
45°,50°,20°或25°
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题以新定义为载体考查三角形相关性质，解题关键是先确定分割线的位置，再对分割后直角三角形、等腰三角形的构成情况全面分类，同时要结合三角形内角和排除不符合的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4