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8.新考法 [2026亳州期末]如图,已知$∠ ABC=60°$,点$P$在边$AB$上,$BP=a$,点$E,F$在边$BC$上,$PE=PF$,若$FE=b$,则$BE$的长为
$\frac{1}{2}(a-b)$
.(用含$a,b$的代数式表示)答案
8.$\frac{1}{2}(a-b)$
解析
【分析】
要求BE的长，可通过构造辅助线结合等腰三角形和含30°角的直角三角形的性质求解：首先过点P作BC的垂线，构造直角三角形；再利用等腰三角形三线合一得到EF中点的线段长度；最后结合含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度，用BD减去ED即可得到BE的长。
【解析】
过点P作$PD⊥ BC$于点D。
1. 因为$PE=PF$，$PD⊥ EF$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得D为EF的中点，因此$ED=\frac{1}{2}FE=\frac{1}{2}b$。
2. 在$Rt△ BPD$中，$∠ PDB=90°$，$∠ ABC=60°$，因此$∠ BPD=30°$。根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BD=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}a$。
3. 因此$BE=BD-ED=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}(a-b)$。
【答案】
$\frac{1}{2}(a-b)$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是通过作垂线构造符合性质的特殊三角形，需要熟练掌握等腰三角形和含30°角直角三角形的性质，能根据题目条件灵活选择作辅助线的方法。
【难度系数】
0.7
要求BE的长，可通过构造辅助线结合等腰三角形和含30°角的直角三角形的性质求解：首先过点P作BC的垂线，构造直角三角形；再利用等腰三角形三线合一得到EF中点的线段长度；最后结合含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度，用BD减去ED即可得到BE的长。
【解析】
过点P作$PD⊥ BC$于点D。
1. 因为$PE=PF$，$PD⊥ EF$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得D为EF的中点，因此$ED=\frac{1}{2}FE=\frac{1}{2}b$。
2. 在$Rt△ BPD$中，$∠ PDB=90°$，$∠ ABC=60°$，因此$∠ BPD=30°$。根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BD=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}a$。
3. 因此$BE=BD-ED=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}(a-b)$。
【答案】
$\frac{1}{2}(a-b)$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是通过作垂线构造符合性质的特殊三角形，需要熟练掌握等腰三角形和含30°角直角三角形的性质，能根据题目条件灵活选择作辅助线的方法。
【难度系数】
0.7
9. 新情境如图,有一轮船由东向西航行,在A处测得西偏北$15°$方向上有一灯塔P,继续航行20 n mile后到达B处,此时又测得灯塔P在西偏北$30°$方向上,若轮船航向不变,则灯塔与轮船之间的最近距离是
10
n mile.答案
9.10
解析
【分析】
要求灯塔与轮船的最近距离，根据点到直线的距离中垂线段最短，可知过点P作AC的垂线段PD，PD的长度就是所求的最近距离。首先利用三角形外角的性质推导△PAB为等腰三角形，得到PB的长度，再利用含30°角的直角三角形的性质即可求出PD的长度。
【解析】
过点P作$PD⊥ AC$于点D，则PD的长度就是灯塔与轮船之间的最近距离。
由题意得：$AB=20\ \mathrm{n mile}$，$∠ PAB=15°$，$∠ PBD=30°$。
∵$∠ PBD$是$△ PAB$的外角，
∴$∠ PBD=∠ PAB+∠ APB$，
∴$∠ APB=∠ PBD-∠ PAB=30°-15°=15°$，
∴$∠ APB=∠ PAB$，
∴$PB=AB=20\ \mathrm{n mile}$。
在$\mathrm{Rt}△ PBD$中，$∠ PDB=90°$，$∠ PBD=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$PD=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×20=10\ (\mathrm{n mile})$。
【答案】
10
【知识点】
点到直线的距离；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合航行的实际情境，综合考查了方向角、等腰三角形的判定和含30°角直角三角形的性质，解题的关键是明确垂线段最短，确定所求最短距离对应的线段，再通过角度关系推导得到等腰三角形，进而利用特殊直角三角形的性质求解。
【难度系数】
0.7
要求灯塔与轮船的最近距离，根据点到直线的距离中垂线段最短，可知过点P作AC的垂线段PD，PD的长度就是所求的最近距离。首先利用三角形外角的性质推导△PAB为等腰三角形，得到PB的长度，再利用含30°角的直角三角形的性质即可求出PD的长度。
【解析】
过点P作$PD⊥ AC$于点D，则PD的长度就是灯塔与轮船之间的最近距离。
由题意得：$AB=20\ \mathrm{n mile}$，$∠ PAB=15°$，$∠ PBD=30°$。
∵$∠ PBD$是$△ PAB$的外角，
∴$∠ PBD=∠ PAB+∠ APB$，
∴$∠ APB=∠ PBD-∠ PAB=30°-15°=15°$，
∴$∠ APB=∠ PAB$，
∴$PB=AB=20\ \mathrm{n mile}$。
在$\mathrm{Rt}△ PBD$中，$∠ PDB=90°$，$∠ PBD=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$PD=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×20=10\ (\mathrm{n mile})$。
【答案】
10
【知识点】
点到直线的距离；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合航行的实际情境，综合考查了方向角、等腰三角形的判定和含30°角直角三角形的性质，解题的关键是明确垂线段最短，确定所求最短距离对应的线段，再通过角度关系推导得到等腰三角形，进而利用特殊直角三角形的性质求解。
【难度系数】
0.7
10. 几何直观 如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q. 求证:BP=2PQ. 
答案
10.证明：略.
解析
【分析】
要证明BP=2PQ，观察到BQ⊥AD，即△BPQ是直角三角形，根据含30°角的直角三角形的性质，只需证明∠BPQ=60°即可。首先利用等边三角形的性质找全等条件，证明△ABE≌△CAD得到对应角相等，再结合三角形外角的性质推出∠BPQ的度数，最后利用特殊直角三角形的性质即可得证。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=∠BAC=60°。
在△ABE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}AB=CA\\∠BAE=∠C\\AE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD。
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°。
又
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴在Rt△BQP中，∠PBQ=90°-∠BPQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
即BP=2PQ。
【答案】
BP=2PQ，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形部分的典型综合题，解题的核心是通过证明三角形全等实现角的等量转换，进而得到直角三角形中的30°角，考查了逻辑推理能力和几何直观素养。
【难度系数】
0.6
要证明BP=2PQ，观察到BQ⊥AD，即△BPQ是直角三角形，根据含30°角的直角三角形的性质，只需证明∠BPQ=60°即可。首先利用等边三角形的性质找全等条件，证明△ABE≌△CAD得到对应角相等，再结合三角形外角的性质推出∠BPQ的度数，最后利用特殊直角三角形的性质即可得证。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=∠BAC=60°。
在△ABE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}AB=CA\\∠BAE=∠C\\AE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD。
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°。
又
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴在Rt△BQP中，∠PBQ=90°-∠BPQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
即BP=2PQ。
【答案】
BP=2PQ，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形部分的典型综合题，解题的核心是通过证明三角形全等实现角的等量转换，进而得到直角三角形中的30°角，考查了逻辑推理能力和几何直观素养。
【难度系数】
0.6
1. 如图，在$△ ABC$中，若$∠ A=30°$，$AB=2$，$AC=3$，则$△ ABC$的面积为________。
答案
1.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，已知边AC的长度，只需先求出AC边上的高即可。我们可以过点B作AC的垂线BD，垂足为D，BD就是AC边上的高。在Rt△ABD中，已知∠A=30°，斜边AB=2，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD的长度，最后代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
过点B作BD⊥AC于点D，因此∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠A=30°，AB=2，根据含30°角的直角三角形的性质可得：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$
已知AC=3，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是通过作辅助线构造出含30°角的直角三角形，求出对应高的长度，再结合面积公式求解，能很好地考查对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
要计算△ABC的面积，已知边AC的长度，只需先求出AC边上的高即可。我们可以过点B作AC的垂线BD，垂足为D，BD就是AC边上的高。在Rt△ABD中，已知∠A=30°，斜边AB=2，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD的长度，最后代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
过点B作BD⊥AC于点D，因此∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠A=30°，AB=2，根据含30°角的直角三角形的性质可得：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$
已知AC=3，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是通过作辅助线构造出含30°角的直角三角形，求出对应高的长度，再结合面积公式求解，能很好地考查对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠B=90°，∠A=30°，∠ADC=120°，则CD的长为
2
。答案
2.2
解析
【分析】
本题直接在四边形中计算边长条件不足，我们可以通过延长AD、BC构造特殊三角形求解：首先构造出含30°角的Rt△ABE，利用30°直角三角形的边长关系得到AE和BE的数量关系；再结合已知的120°角推导出△EDC是等边三角形，得到CD与DE、CE的等量关系；最后设CD为未知数，根据边长关系列方程即可求出CD的长度。
【解析】
解：延长AD，交BC的延长线于点E。
1. 在Rt△ABE中，∠B=90°，∠A=30°，
∴ ∠E=90°-∠A=60°，且AE=2BE（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
2.
∵ ∠ADC=120°，
∴ ∠EDC=180°-∠ADC=60°。
3. 在△EDC中，∠E=60°，∠EDC=60°，
∴ ∠ECD=180°-60°-60°=60°，即△EDC为等边三角形，
∴ CD=DE=CE。
4. 设CD=x，则DE=CE=x，
∴ AE=AD+DE=4+x，BE=BC+CE=1+x。
5. 代入AE=2BE得：4+x=2(1+x)，
解得：x=2。
【答案】
2
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用，解题的核心是通过合理构造辅助线，将四边形问题转化为特殊三角形的问题，解题过程中用到了方程思想，能够很好地考查学生的几何转化能力和计算能力。
【难度系数】
0.6
本题直接在四边形中计算边长条件不足，我们可以通过延长AD、BC构造特殊三角形求解：首先构造出含30°角的Rt△ABE，利用30°直角三角形的边长关系得到AE和BE的数量关系；再结合已知的120°角推导出△EDC是等边三角形，得到CD与DE、CE的等量关系；最后设CD为未知数，根据边长关系列方程即可求出CD的长度。
【解析】
解：延长AD，交BC的延长线于点E。
1. 在Rt△ABE中，∠B=90°，∠A=30°，
∴ ∠E=90°-∠A=60°，且AE=2BE（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
2.
∵ ∠ADC=120°，
∴ ∠EDC=180°-∠ADC=60°。
3. 在△EDC中，∠E=60°，∠EDC=60°，
∴ ∠ECD=180°-60°-60°=60°，即△EDC为等边三角形，
∴ CD=DE=CE。
4. 设CD=x，则DE=CE=x，
∴ AE=AD+DE=4+x，BE=BC+CE=1+x。
5. 代入AE=2BE得：4+x=2(1+x)，
解得：x=2。
【答案】
2
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用，解题的核心是通过合理构造辅助线，将四边形问题转化为特殊三角形的问题，解题过程中用到了方程思想，能够很好地考查学生的几何转化能力和计算能力。
【难度系数】
0.6
