登录
9.(1)若一个长方形的长为p，宽为q，则$2(p+q)$表示
(2)举两个例子说明代数式$3a+2b$表示的实际问题中的数量关系。
该长方形的周长
。(2)举两个例子说明代数式$3a+2b$表示的实际问题中的数量关系。
答案
(1) 该长方形的周长
(2) 答案不唯一。例如:每千克苹果的价钱是a元,每千克橘子的价钱是b元,那么3千克苹果和2千克橘子的价钱是$(3a+2b)$元。
(2) 答案不唯一。例如:每千克苹果的价钱是a元,每千克橘子的价钱是b元,那么3千克苹果和2千克橘子的价钱是$(3a+2b)$元。
解析
【分析】
(1) 解这一问首先回忆长方形的周长计算公式：长方形周长=2×(长+宽)，已知长为p、宽为q，将数值代入公式对应即可判断代数式的含义。
(2) 解这一问要理解代数式的运算含义：3a表示3个a相加、2b表示2个b相加，只需要给a和b赋予符合生活实际的具体含义，就能得到对应的实际数量关系，答案不唯一，逻辑合理即可。
【解析】
(1) 根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，将长p、宽q代入公式，可得$2(p+q)$就是该长方形的周长。
(2) $3a+2b$表示3个a的和与2个b的和相加，我们可以给a、b赋予实际含义，例如：每千克苹果售价a元，每千克橘子售价b元，购买3千克苹果和2千克橘子的总费用就是$(3a+2b)$元，只要符合运算逻辑的表述均正确。
【答案】
(1) 该长方形的周长
(2) 答案不唯一。例如:每千克苹果的价钱是a元,每千克橘子的价钱是b元,那么3千克苹果和2千克橘子的价钱是$(3a+2b)$元。
【知识点】
1. 代数式的实际意义
2. 长方形周长公式
【点评】
本题属于代数式的基础应用题型，既考查了几何公式与代数式的对应关系，又考查了代数式与实际生活场景的结合，开放性设问能很好地检验学生对代数式含义的理解程度，只要逻辑自洽即可得分。
【难度系数】
0.9
(1) 解这一问首先回忆长方形的周长计算公式：长方形周长=2×(长+宽)，已知长为p、宽为q，将数值代入公式对应即可判断代数式的含义。
(2) 解这一问要理解代数式的运算含义：3a表示3个a相加、2b表示2个b相加，只需要给a和b赋予符合生活实际的具体含义，就能得到对应的实际数量关系，答案不唯一，逻辑合理即可。
【解析】
(1) 根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，将长p、宽q代入公式，可得$2(p+q)$就是该长方形的周长。
(2) $3a+2b$表示3个a的和与2个b的和相加，我们可以给a、b赋予实际含义，例如：每千克苹果售价a元，每千克橘子售价b元，购买3千克苹果和2千克橘子的总费用就是$(3a+2b)$元，只要符合运算逻辑的表述均正确。
【答案】
(1) 该长方形的周长
(2) 答案不唯一。例如:每千克苹果的价钱是a元,每千克橘子的价钱是b元,那么3千克苹果和2千克橘子的价钱是$(3a+2b)$元。
【知识点】
1. 代数式的实际意义
2. 长方形周长公式
【点评】
本题属于代数式的基础应用题型，既考查了几何公式与代数式的对应关系，又考查了代数式与实际生活场景的结合，开放性设问能很好地检验学生对代数式含义的理解程度，只要逻辑自洽即可得分。
【难度系数】
0.9
10.如图，变量y随着变量x变化而变化。
(1)直接写出：k=
(2)当输入x的值为－1时，求输出y的值；
(3)当输出y的值为12时，求输入x的值。
(1)直接写出：k=
9
，b=6
，m=6
；(2)当输入x的值为－1时，求输出y的值；
(3)当输出y的值为12时，求输入x的值。
答案
(1) 9、6、6
(2) 4
(3) 当$y=12,x＜1$时,$2x+6=12$,解得$x=3＞1$,不符合题意,舍去;当$y=12,x≥1$时,$9x=12$,解得$x=\frac{4}{3}＞1$,符合题意。所以当输出y的值为12时,输入x的值为$\frac{4}{3}$。
(2) 4
(3) 当$y=12,x＜1$时,$2x+6=12$,解得$x=3＞1$,不符合题意,舍去;当$y=12,x≥1$时,$9x=12$,解得$x=\frac{4}{3}＞1$,符合题意。所以当输出y的值为12时,输入x的值为$\frac{4}{3}$。
解析
【分析】
本题是分段函数的应用问题，解题思路如下：1. 先明确函数的分段规则：自变量x分$x＜1$和$x≥1$两种情况，对应不同的函数解析式；2. 求k、b、m时，将已知的对应x、y值代入对应解析式计算即可；3. 求给定x对应的y值时，先判断x属于哪个分段范围，再代入对应解析式计算；4. 求给定y对应的x值时，要分两种情况分别代入解析式求解，最后检验解是否符合对应分段的x取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 由题意可知，当$x≥1$时，函数解析式为$y=kx$，将$x=1,y=9$代入得$9=k×1$，解得$k=9$；当$x＜1$时，函数解析式为$y=2x+b$，将$x=0,y=6$代入得$6=2×0+b$，解得$b=6$；根据函数对应关系可得$m=6$。
(2) 因为$x=-1＜1$，所以代入$x＜1$对应的解析式$y=2x+6$计算：
$y=2×(-1)+6=-2+6=4$
(3) 分两种情况讨论：
① 当$x＜1$时，令$y=12$，则$2x+6=12$，解得$x=3$，因为$3＞1$，不符合$x＜1$的取值范围，故舍去；
② 当$x≥1$时，令$y=12$，则$9x=12$，解得$x=\frac{4}{3}$，因为$\frac{4}{3}＞1$，符合$x≥1$的取值范围。
综上，输入x的值为$\frac{4}{3}$。
【答案】
(1) 9、6、6
(2) 4
(3) $\frac{4}{3}$
【知识点】
分段函数求值，一次函数解析式，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查分段函数的计算，解题的关键是明确不同自变量范围对应的函数解析式，求解未知自变量时要注意分类讨论，并对结果进行合理性检验，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的应用问题，解题思路如下：1. 先明确函数的分段规则：自变量x分$x＜1$和$x≥1$两种情况，对应不同的函数解析式；2. 求k、b、m时，将已知的对应x、y值代入对应解析式计算即可；3. 求给定x对应的y值时，先判断x属于哪个分段范围，再代入对应解析式计算；4. 求给定y对应的x值时，要分两种情况分别代入解析式求解，最后检验解是否符合对应分段的x取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 由题意可知，当$x≥1$时，函数解析式为$y=kx$，将$x=1,y=9$代入得$9=k×1$，解得$k=9$；当$x＜1$时，函数解析式为$y=2x+b$，将$x=0,y=6$代入得$6=2×0+b$，解得$b=6$；根据函数对应关系可得$m=6$。
(2) 因为$x=-1＜1$，所以代入$x＜1$对应的解析式$y=2x+6$计算：
$y=2×(-1)+6=-2+6=4$
(3) 分两种情况讨论：
① 当$x＜1$时，令$y=12$，则$2x+6=12$，解得$x=3$，因为$3＞1$，不符合$x＜1$的取值范围，故舍去；
② 当$x≥1$时，令$y=12$，则$9x=12$，解得$x=\frac{4}{3}$，因为$\frac{4}{3}＞1$，符合$x≥1$的取值范围。
综上，输入x的值为$\frac{4}{3}$。
【答案】
(1) 9、6、6
(2) 4
(3) $\frac{4}{3}$
【知识点】
分段函数求值，一次函数解析式，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查分段函数的计算，解题的关键是明确不同自变量范围对应的函数解析式，求解未知自变量时要注意分类讨论，并对结果进行合理性检验，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
11.某超市出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价48元，茶杯每只定价6元。该超市制订了两种优惠方案：①买一只茶壶送一只茶杯；②按总价的90％付款。某顾客需买茶壶3只、茶杯$ x(x＞3) $只。
(1)若该客户按方案①购买，需付款多少元？（用含$ x $的代数式表示。）
(2)若该客户按方案②购买，需付款多少元？（用含$ x $的代数式表示。）
(3)买15只茶杯时，按哪种方案购买较为合算？
(1)若该客户按方案①购买，需付款多少元？（用含$ x $的代数式表示。）
(2)若该客户按方案②购买，需付款多少元？（用含$ x $的代数式表示。）
(3)买15只茶杯时，按哪种方案购买较为合算？
答案
(1) $(6x+126)$元
(2) $(5.4x+129.6)$元
(3) 方案①需216元,方案②需210.6元,所以选择方案②购买较为合算。
(2) $(5.4x+129.6)$元
(3) 方案①需216元,方案②需210.6元,所以选择方案②购买较为合算。
解析
【分析】
(1) 先明确方案①的优惠规则：买1只茶壶送1只茶杯，买3只茶壶就会赠送3只茶杯，因此仅需要为超出赠送数量的茶杯付费，总付款=3只茶壶的总价+超出赠送数量的茶杯总价，代入定价化简即可得到代数式。
(2) 明确方案②的优惠规则：按总价的90%付款，先计算购买3只茶壶和x只茶杯的原价总和，再乘90%，化简就能得到对应代数式。
(3) 要判断哪种方案更合算，只需将x=15分别代入前两问得到的两个代数式，算出两种方案的实际付款金额，比较金额大小，付款更少的方案更合算。
【解析】
(1) 按方案①购买：
买3只茶壶赠送3只茶杯，需要付费的茶杯数量为$(x-3)$只，
总付款 = 3只茶壶的总价 + (x-3)只茶杯的总价
$= 3×48 + 6(x-3)$
$=144 + 6x - 18$
$=6x + 126$（元）
(2) 按方案②购买：
购买3只茶壶和x只茶杯的原价总和为$3×48 + 6x = 144 + 6x$（元），
打9折后的付款金额 = 原价总和$×90\%$
$=(144 + 6x)×0.9$
$=144×0.9 + 6x×0.9$
$=129.6 + 5.4x$
$=5.4x + 129.6$（元）
(3) 当购买15只茶杯，即$x=15$时：
方案①的付款金额：$6×15 + 126 = 90 + 126 = 216$（元）
方案②的付款金额：$5.4×15 + 129.6 = 81 + 129.6 = 210.6$（元）
因为$210.6 ＜ 216$，所以方案②更合算。
【答案】
(1) $(6x+126)$元
(2) $(5.4x+129.6)$元
(3) 方案①需216元，方案②需210.6元，所以选择方案②购买较为合算。
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景出题，解题核心是准确理解两种优惠方案的计费逻辑，正确列出对应代数式，再通过代入求值、比较大小即可得到结果，能很好地锻炼应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 先明确方案①的优惠规则：买1只茶壶送1只茶杯，买3只茶壶就会赠送3只茶杯，因此仅需要为超出赠送数量的茶杯付费，总付款=3只茶壶的总价+超出赠送数量的茶杯总价，代入定价化简即可得到代数式。
(2) 明确方案②的优惠规则：按总价的90%付款，先计算购买3只茶壶和x只茶杯的原价总和，再乘90%，化简就能得到对应代数式。
(3) 要判断哪种方案更合算，只需将x=15分别代入前两问得到的两个代数式，算出两种方案的实际付款金额，比较金额大小，付款更少的方案更合算。
【解析】
(1) 按方案①购买：
买3只茶壶赠送3只茶杯，需要付费的茶杯数量为$(x-3)$只，
总付款 = 3只茶壶的总价 + (x-3)只茶杯的总价
$= 3×48 + 6(x-3)$
$=144 + 6x - 18$
$=6x + 126$（元）
(2) 按方案②购买：
购买3只茶壶和x只茶杯的原价总和为$3×48 + 6x = 144 + 6x$（元），
打9折后的付款金额 = 原价总和$×90\%$
$=(144 + 6x)×0.9$
$=144×0.9 + 6x×0.9$
$=129.6 + 5.4x$
$=5.4x + 129.6$（元）
(3) 当购买15只茶杯，即$x=15$时：
方案①的付款金额：$6×15 + 126 = 90 + 126 = 216$（元）
方案②的付款金额：$5.4×15 + 129.6 = 81 + 129.6 = 210.6$（元）
因为$210.6 ＜ 216$，所以方案②更合算。
【答案】
(1) $(6x+126)$元
(2) $(5.4x+129.6)$元
(3) 方案①需216元，方案②需210.6元，所以选择方案②购买较为合算。
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景出题，解题核心是准确理解两种优惠方案的计费逻辑，正确列出对应代数式，再通过代入求值、比较大小即可得到结果，能很好地锻炼应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
