7.年底促销，某商场推出“寒冬送温暖”活动，具体活动内容如下表：

小莹和小亮均在该商场购买了商品，其中小莹实际付款218元，小亮实际付款362元。他们两人购买的商品原价之和是元。

600或622.5

【分析】
首先明确各优惠区间对应的实际付款范围：①原价≤200元时，实付≤200元；②200元＜原价≤400元时，实付金额为200元加超过200元部分的九折，对应实付范围是200元＜实付≤380元；③原价＞400元时，实付金额为400元的九折加超过400元部分的八折，对应实付＞360元。
先判断小莹的实付218元：218元＞200元且小于360元，所以小莹的原价仅属于200~400元区间，仅有一种可能。再看小亮的实付362元，既符合200~400元区间的实付范围，也符合原价＞400元的实付范围，因此需要分两种情况计算小亮的原价，最后将两人原价相加即可。
【解析】
第一步：计算小莹购买商品的原价
设小莹购买商品的原价为$x$元，根据题意$x$在200~400元区间，列方程：
$200 + 0.9(x - 200) = 218$
解得：$0.9(x - 200) = 18$
$x - 200 = 20$
$x = 220$
即小莹的商品原价为220元。
第二步：分两种情况计算小亮购买商品的原价
设小亮购买商品的原价为$y$元。
情况1：$y$在200~400元区间，列方程：
$200 + 0.9(y - 200) = 362$
解得：$0.9(y - 200) = 162$
$y - 200 = 180$
$y = 380$
此时两人原价之和为：$220 + 380 = 600$元。
情况2：$y$大于400元，列方程：
$400×0.9 + 0.8(y - 400) = 362$
化简得：$360 + 0.8(y - 400) = 362$
$0.8(y - 400) = 2$
$y - 400 = 2.5$
$y = 402.5$
此时两人原价之和为：$220 + 402.5 = 622.5$元。
【答案】
600或622.5
【知识点】
一元一次方程的应用；分段计费问题；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的分段计费实际应用题，解题的关键是先理清不同原价区间对应的实付金额范围，注意小亮的实付金额同时符合两个分段的条件，需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

8.某文具店最近购进了一批钢笔，每支进价为10元，每支售价为16元。每天的销售数量以20支为标准，每天售出超出20支的部分记为正，不足20支的部分记为负。该文具店记录了5天该钢笔的销售情况，如下表：

(1)求该文具店这5天出售这种钢笔的总利润。
(2)该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案(顾客只能选择其中一种方案)：
方案一:若购买数量不超过5支，每支16元；若超过5支，则超过部分每支降价2元。
方案二:每支均打九折销售。
在促销期间，王老师在该文具店购买 $ x $ ($ x＞5 $)支该种钢笔作为奖品，当购买多少支钢笔时，这两种方案的钱数相同？

解:(1)根据题意知:$(16-10)×[20×5+(-2+4+0-5+7)]=624$(元)。答:该文具店这5天出售这种钢笔的总利润为624元。
(2)方案一:$16×5+(16-2)(x-5)=14x+10$(元);
方案二:$16×90\%·x=14.4x$(元)。
当两种方案的钱数相同时,有$14x+10=14.4x$,解得$x=25$,答:当购买25支钢笔时,这两种方案钱数相同。

【分析】
(1) 计算总利润需先求出5天的总销量，再乘以每支钢笔的利润。首先以每天20支为标准，先计算5天的标准总销量，再加上5天销量与标准差值的总和得到实际总销量；每支利润为售价减去进价，总利润=每支利润×总销量。
(2) 要找两种方案费用相同的购买数量，首先分别根据两个促销方案的规则，用含x（x＞5）的代数式表示出两种方案的应付费用，再令两个代数式相等，建立一元一次方程求解即可得到x的值。
【解析】
(1) 首先计算5天钢笔的总销量：
5天的标准总销量为：$20×5=100$（支）
5天销量与标准的差值之和为：$-2+4+0-5+7=4$（支）
实际总销量为：$100+4=104$（支）
每支钢笔的利润为：$16-10=6$（元）
总利润为：$6×104=624$（元）
(2) 分别表示两种方案的费用：
方案一：前5支按原价16元销售，超出的$(x-5)$支每支售价为$16-2=14$元，总费用为：
$16×5 + 14(x-5) = 80 +14x -70 = 14x +10$（元）
方案二：每支打九折，每支售价为$16×90\%=14.4$元，总费用为：
$14.4x$（元）
令两种方案费用相等，得方程：
$14x + 10 = 14.4x$
移项计算：$0.4x =10$，解得$x=25$
【答案】
(1) 该文具店这5天出售这种钢笔的总利润为624元；
(2) 当购买25支钢笔时，这两种方案的钱数相同。
【知识点】
正负数的实际应用；列代数式；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的销售场景出题，既考察了正负数的实际意义、利润的基本计算，又考察了根据实际规则列代数式、建立方程求解的能力，贴近生活，能有效检验学生对知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7

9.某商场经销甲、乙两种商品,甲种商品每件的进价为80元,售价为100元;乙种商品每件的售价为60元,利润率为$50\% (利润率=\frac{售价-进价}{进价} × 100\%)$。
(1)每件甲种商品的利润率为,每件乙种商品的进价为元;
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共40件,总进价恰好为2 200元,求购进甲种商品多少件;
(3)在“元旦”期间,该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动:

在商场优惠促销活动期间,若小莹一次性购买商品实际付款1 044元,求小莹所购商品优惠前的总金额为多少元。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:

解:(1)每件甲种商品的利润率为$\frac{100-80}{80}×100\%=25\%$,每件乙种商品的进价为$\frac{60}{1+50\%}=40$(元)。故答案为25%,40。
(2)设购进甲种商品x件,则购进乙种商品(40-x)件,由题意得$80x+40(40-x)=2200$,解得$x=15$。答:购进甲种商品15件。
(3)设小莹在该商场原购物总金额为a元,
①原购物总金额超过900元,但不超过1200元时,由题意得$0.9a=1044$,解得$a=1160$。
②原购物金额超过1200元时,由题意得$1200×0.8+(a-1200)×0.7=1044$,解得$a=1320$。答:小莹所购商品优惠前的总金额为1160元或1320元。

【分析】
第(1)问可直接套用题干给出的利润率公式计算甲的利润率，再对公式变形求乙的进价；第(2)问是典型的一元一次方程应用，设甲商品的购进数量为未知数，用总数量表示乙的数量，根据总进价的等量关系列方程求解即可；第(3)问是分段优惠问题，首先通过实际付款金额判断优惠前总金额必然超过900元，再分两种情况讨论：总金额在900~1200元区间、总金额超过1200元，分别对应优惠规则列方程，最后验证解是否符合对应区间即可。
【解析】
(1) 甲种商品利润率：根据公式$\mathrm{利润率}=\frac{\mathrm{售价}-\mathrm{进价}}{\mathrm{进价}}×100\%$，代入甲的售价100元、进价80元，得：
$\frac{100-80}{80}×100\%=25\%$
乙种商品进价：已知乙售价60元，利润率50%，由利润率公式变形得$\mathrm{进价}=\frac{\mathrm{售价}}{1+\mathrm{利润率}}$，代入得：
$\frac{60}{1+50\%}=40$（元）
(2) 设购进甲种商品$x$件，则购进乙种商品$(40-x)$件，根据总进价为2200元列方程：
$80x+40(40-x)=2200$
展开得$80x+1600-40x=2200$，整理得$40x=600$，解得$x=15$。
(3) 设小莹所购商品优惠前总金额为$a$元：
若$a≤900$，则实际付款最多为900元，小于实际付款1044元，故$a＞900$，分两类讨论：
① 当$900＜a≤1200$时，总金额全部打九折，列方程：
$0.9a=1044$
解得$a=1160$，符合该区间要求；
② 当$a＞1200$时，1200元部分打八折，超出1200元的部分打七折，列方程：
$1200×0.8 + (a-1200)×0.7=1044$
计算得$960+0.7a-840=1044$，整理得$0.7a=924$，解得$a=1320$，符合该区间要求。
【答案】
(1) $25\%$，$40$；
(2) 购进甲种商品15件；
(3) 小莹所购商品优惠前的总金额为1160元或1320元。
【知识点】
利润率计算；一元一次方程的应用；分段计费问题
【点评】
本题结合生活消费场景命题，综合考察了利润公式的应用、方程建模能力以及分类讨论的数学思想，第三问需注意分段计费的区间限制，避免漏解，是实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7