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知识点1 利用顶点式求二次函数的表达式
1. 若抛物线的顶点坐标是$(-2,1)$且经过点$(1,-8)$,则该抛物线的表达式是.
2. 已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为.
.
1. 若抛物线的顶点坐标是$(-2,1)$且经过点$(1,-8)$,则该抛物线的表达式是.
2. 已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为.
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答案
1. $y=-(x+2)^2+1$
2. $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3$
2. $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3$
解析
【分析】
1. 第1题已知抛物线顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，只需代入另一个已知点求出待定系数$a$即可得到解析式。
2. 第2题先从函数图象中提取顶点坐标，同样采用顶点式设表达式，再选取图象上任意一个已知点（如y轴交点）代入求出$a$，即可得到解析式。
【解析】
1. 设抛物线的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $，已知顶点坐标为$(-2,1)$，即$h=-2$，$k=1$，代入得$ y=a(x+2)^2+1 $。
将点$(1,-8)$代入上式：
$ -8=a(1+2)^2+1 $
$ 9a=-9 $
解得$ a=-1 $
因此抛物线表达式为$ y=-(x+2)^2+1 $。
2. 由图象可得二次函数顶点坐标为$(2,3)$，设顶点式为$ y=a(x-2)^2+3 $。
选取图象上与y轴的交点$(0,1)$代入上式：
$ 1=a(0-2)^2+3 $
$ 4a=-2 $
解得$ a=-\frac{1}{2} $
因此二次函数表达式为$ y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3 $。
【答案】
1. $ y=-(x+2)^2+1 $
2. $ y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3 $
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求解析式
【点评】
两道题均为求二次函数解析式的基础题型，核心是掌握顶点式的适用场景和待定系数法的求解步骤，解题时需注意顶点式中顶点横坐标的符号，避免代入出错。
【难度系数】
0.8
1. 第1题已知抛物线顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，只需代入另一个已知点求出待定系数$a$即可得到解析式。
2. 第2题先从函数图象中提取顶点坐标，同样采用顶点式设表达式，再选取图象上任意一个已知点（如y轴交点）代入求出$a$，即可得到解析式。
【解析】
1. 设抛物线的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $，已知顶点坐标为$(-2,1)$，即$h=-2$，$k=1$，代入得$ y=a(x+2)^2+1 $。
将点$(1,-8)$代入上式：
$ -8=a(1+2)^2+1 $
$ 9a=-9 $
解得$ a=-1 $
因此抛物线表达式为$ y=-(x+2)^2+1 $。
2. 由图象可得二次函数顶点坐标为$(2,3)$，设顶点式为$ y=a(x-2)^2+3 $。
选取图象上与y轴的交点$(0,1)$代入上式：
$ 1=a(0-2)^2+3 $
$ 4a=-2 $
解得$ a=-\frac{1}{2} $
因此二次函数表达式为$ y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3 $。
【答案】
1. $ y=-(x+2)^2+1 $
2. $ y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+3 $
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求解析式
【点评】
两道题均为求二次函数解析式的基础题型，核心是掌握顶点式的适用场景和待定系数法的求解步骤，解题时需注意顶点式中顶点横坐标的符号，避免代入出错。
【难度系数】
0.8
3.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$中$x,y$的部分对应值如下表，则该二次函数的表达式为
$y=x^2-3x+1$
，$m$的值为$5$
。答案
3. $y=x^2-3x+1$，$m=5$
解析
【分析】
要确定二次函数的表达式，已知二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，其中有$a,b,c$三个未知系数，我们可以从表格中选取3组已知的$x,y$对应值代入一般式，得到关于三个系数的方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式；再将$x=-1$代入已求出的解析式，就能计算出$m$的值。
【解析】
设该二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$。
1. 代入表格中$x=0,y=1$，得：
$0+0+c=1$，解得$c=1$。
2. 再代入$x=1,y=-1$和$x=3,y=1$，结合$c=1$得到方程组：
$\begin{cases}a + b + 1 = -1\\9a + 3b + 1 = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + b = -2&①\\3a + b = 0&②\end{cases}$
用②$-$①消去$b$，得：$2a=2$，解得$a=1$。
将$a=1$代入①，得$1+b=-2$，解得$b=-3$。
因此二次函数的表达式为$y=x^2-3x+1$。
3. 求$m$的值：将$x=-1$代入$y=x^2-3x+1$，得：
$m=(-1)^2 -3×(-1)+1=1+3+1=5$。
【答案】
$y=x^2-3x+1$，$5$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查待定系数法求解析式的方法，解题时只需准确代入点的坐标求解系数，再代入计算对应函数值即可，注意计算过程中符号不要出错。
【难度系数】
0.7
要确定二次函数的表达式，已知二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，其中有$a,b,c$三个未知系数，我们可以从表格中选取3组已知的$x,y$对应值代入一般式，得到关于三个系数的方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式；再将$x=-1$代入已求出的解析式，就能计算出$m$的值。
【解析】
设该二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$。
1. 代入表格中$x=0,y=1$，得：
$0+0+c=1$，解得$c=1$。
2. 再代入$x=1,y=-1$和$x=3,y=1$，结合$c=1$得到方程组：
$\begin{cases}a + b + 1 = -1\\9a + 3b + 1 = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + b = -2&①\\3a + b = 0&②\end{cases}$
用②$-$①消去$b$，得：$2a=2$，解得$a=1$。
将$a=1$代入①，得$1+b=-2$，解得$b=-3$。
因此二次函数的表达式为$y=x^2-3x+1$。
3. 求$m$的值：将$x=-1$代入$y=x^2-3x+1$，得：
$m=(-1)^2 -3×(-1)+1=1+3+1=5$。
【答案】
$y=x^2-3x+1$，$5$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查待定系数法求解析式的方法，解题时只需准确代入点的坐标求解系数，再代入计算对应函数值即可，注意计算过程中符号不要出错。
【难度系数】
0.7
4. 已知二次函数$y=ax^2 -4x +c$的图象经过点$A(-1,-1),B(3,-9)$。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标。
答案
解:(1)将点$A(-1,-1),B(3,-9)$分别代入$y=ax^2-4x+c$,得
$\begin{cases} -1=a+4+c,\\ -9=9a-12+c, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1,\\ c=-6. \end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=x^2-4x-6$.
(2)由(1)可知,$y=x^2-4x-6=(x-2)^2-10$,
∴对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,-10)$.
$\begin{cases} -1=a+4+c,\\ -9=9a-12+c, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1,\\ c=-6. \end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=x^2-4x-6$.
(2)由(1)可知,$y=x^2-4x-6=(x-2)^2-10$,
∴对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,-10)$.
解析
【分析】
第（1）问：已知二次函数图象经过两个定点，点在函数图象上即点的坐标满足函数表达式，因此采用待定系数法，将A、B两点坐标分别代入函数式，得到关于参数a、c的二元一次方程组，解出a、c的值即可确定函数表达式。
第（2）问：得到二次函数一般式后，可通过配方法将一般式转化为顶点式，结合顶点式的结构特征，就能直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标，也可通过对称轴、顶点坐标公式直接计算求解。
【解析】
(1) 将点$A(-1,-1),B(3,-9)$分别代入$y=ax^2-4x+c$，可得：
$\begin{cases} -1=a×(-1)^2-4×(-1)+c\\ -9=a×3^2-4×3+c \end{cases}$
整理得$\begin{cases} -1=a+4+c,\\ -9=9a-12+c, \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去c，得$-8=8a-16$，解得$a=1$，将$a=1$代入第一个方程，得$-1=1+4+c$，解得$c=-6$。
∴二次函数的表达式为$y=x^2-4x-6$。
(2) 对$y=x^2-4x-6$进行配方：
$y=x^2-4x-6=x^2-4x+4-4-6=(x-2)^2-10$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，因此该抛物线对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-10)$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x-6$
(2) 对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-10)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数配方法
3. 二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数基础题型，主要考查待定系数法求解析式和二次函数基本性质的应用，解题核心是熟练掌握代入消元法解方程组、配方法操作步骤，以及顶点式和对称轴、顶点坐标的对应关系，难度较低，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
第（1）问：已知二次函数图象经过两个定点，点在函数图象上即点的坐标满足函数表达式，因此采用待定系数法，将A、B两点坐标分别代入函数式，得到关于参数a、c的二元一次方程组，解出a、c的值即可确定函数表达式。
第（2）问：得到二次函数一般式后，可通过配方法将一般式转化为顶点式，结合顶点式的结构特征，就能直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标，也可通过对称轴、顶点坐标公式直接计算求解。
【解析】
(1) 将点$A(-1,-1),B(3,-9)$分别代入$y=ax^2-4x+c$，可得：
$\begin{cases} -1=a×(-1)^2-4×(-1)+c\\ -9=a×3^2-4×3+c \end{cases}$
整理得$\begin{cases} -1=a+4+c,\\ -9=9a-12+c, \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去c，得$-8=8a-16$，解得$a=1$，将$a=1$代入第一个方程，得$-1=1+4+c$，解得$c=-6$。
∴二次函数的表达式为$y=x^2-4x-6$。
(2) 对$y=x^2-4x-6$进行配方：
$y=x^2-4x-6=x^2-4x+4-4-6=(x-2)^2-10$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，因此该抛物线对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-10)$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x-6$
(2) 对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-10)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数配方法
3. 二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数基础题型，主要考查待定系数法求解析式和二次函数基本性质的应用，解题核心是熟练掌握代入消元法解方程组、配方法操作步骤，以及顶点式和对称轴、顶点坐标的对应关系，难度较低，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
5. 已知抛物线与$x$轴交于$A(-1,0),B(5,0)$两点,与$y$轴交于点$C(0,5)$.可设该二次函数的表达式为$y=a(x+\_\_\_\_\_\_)(x-\_\_\_\_\_\_)$,将$C(0,5)$代入,得方程________,解得$a=\_\_\_\_\_\_$,故该二次函数的表达式为________.
答案
5. 1；5；$-5a=5$；$-1$；$y=-x^2+4x+5$
解析
【分析】
本题已知抛物线与x轴的两个交点坐标，适合用交点式（两点式）求解二次函数解析式。首先回忆二次函数交点式的结构：若抛物线与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，则可设解析式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$），我们先把两个交点的横坐标代入该式，确定括号内的常数；再将抛物线与y轴的交点坐标代入设好的解析式，得到关于参数$a$的一元一次方程，解方程求出$a$的值；最后将$a$代回交点式并化简为一般式，即可得到最终的二次函数表达式。
【解析】
1. 已知抛物线与x轴交于$A(-1,0)$、$B(5,0)$，根据交点式的形式，代入两个交点的横坐标，可得解析式为$y=a(x+1)(x-5)$，因此前两个空依次填1、5。
2. 将$C(0,5)$代入上述解析式，把$x=0$、$y=5$代入得：$5=a(0+1)(0-5)$，化简后得到方程$-5a=5$，即第三个空填$-5a=5$。
3. 解方程$-5a=5$，两边同时除以$-5$，解得$a=-1$，即第四个空填$-1$。
4. 将$a=-1$代入交点式，得$y=-(x+1)(x-5)$，展开化简：
$y=-(x^2-5x+x-5)=-x^2+4x+5$，因此最后一个空填$y=-x^2+4x+5$。
【答案】
1；5；$-5a=5$；$-1$；$y=-x^2+4x+5$
【知识点】
1. 二次函数交点式
2. 待定系数法求解析式
3. 整式乘法化简
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是掌握已知与x轴交点时选用交点式求解的方法，代入点坐标计算参数的过程难度较低，熟练掌握交点式的结构能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.85
本题已知抛物线与x轴的两个交点坐标，适合用交点式（两点式）求解二次函数解析式。首先回忆二次函数交点式的结构：若抛物线与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，则可设解析式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$），我们先把两个交点的横坐标代入该式，确定括号内的常数；再将抛物线与y轴的交点坐标代入设好的解析式，得到关于参数$a$的一元一次方程，解方程求出$a$的值；最后将$a$代回交点式并化简为一般式，即可得到最终的二次函数表达式。
【解析】
1. 已知抛物线与x轴交于$A(-1,0)$、$B(5,0)$，根据交点式的形式，代入两个交点的横坐标，可得解析式为$y=a(x+1)(x-5)$，因此前两个空依次填1、5。
2. 将$C(0,5)$代入上述解析式，把$x=0$、$y=5$代入得：$5=a(0+1)(0-5)$，化简后得到方程$-5a=5$，即第三个空填$-5a=5$。
3. 解方程$-5a=5$，两边同时除以$-5$，解得$a=-1$，即第四个空填$-1$。
4. 将$a=-1$代入交点式，得$y=-(x+1)(x-5)$，展开化简：
$y=-(x^2-5x+x-5)=-x^2+4x+5$，因此最后一个空填$y=-x^2+4x+5$。
【答案】
1；5；$-5a=5$；$-1$；$y=-x^2+4x+5$
【知识点】
1. 二次函数交点式
2. 待定系数法求解析式
3. 整式乘法化简
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是掌握已知与x轴交点时选用交点式求解的方法，代入点坐标计算参数的过程难度较低，熟练掌握交点式的结构能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.85
6. 如图，现要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点A处安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2 m处达到最高，高度为5 m，水柱落地处离池中心距离为6 m，建立如图所示的平面直角坐标系，则该抛物线形水柱对应的表达式为
$y=-\frac{5}{16}(x-2)^2+5$
。答案
6. $y=-\frac{5}{16}(x-2)^2+5$
解析
【分析】
本题已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数顶点式求解可简化计算。首先根据“水平距离2m处达到最高，高度为5m”确定顶点坐标为(2,5)，设出顶点式解析式，再将水柱落地的点(6,0)代入解析式求出未知系数a，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(2,5)$，因此设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2+5$（$a\ne0$）。
已知水柱落地处离池中心距离为6m，即当$x=6$时，$y=0$，将点$(6,0)$代入解析式得：
$0=a×(6-2)^2+5$
$0=16a+5$
解得$a=-\frac{5}{16}$
将$a=-\frac{5}{16}$代入所设顶点式，得抛物线的表达式为$y=-\frac{5}{16}(x-2)^2+5$。
【答案】
$y=-\frac{5}{16}(x-2)^2+5$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际场景中的应用，解题的核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，本题已知顶点坐标，选用顶点式可有效减少计算量，同时需准确提取题干和图象中的点坐标代入求解。
【难度系数】
0.8
本题已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数顶点式求解可简化计算。首先根据“水平距离2m处达到最高，高度为5m”确定顶点坐标为(2,5)，设出顶点式解析式，再将水柱落地的点(6,0)代入解析式求出未知系数a，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(2,5)$，因此设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2+5$（$a\ne0$）。
已知水柱落地处离池中心距离为6m，即当$x=6$时，$y=0$，将点$(6,0)$代入解析式得：
$0=a×(6-2)^2+5$
$0=16a+5$
解得$a=-\frac{5}{16}$
将$a=-\frac{5}{16}$代入所设顶点式，得抛物线的表达式为$y=-\frac{5}{16}(x-2)^2+5$。
【答案】
$y=-\frac{5}{16}(x-2)^2+5$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际场景中的应用，解题的核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，本题已知顶点坐标，选用顶点式可有效减少计算量，同时需准确提取题干和图象中的点坐标代入求解。
【难度系数】
0.8
7.如图,这是一位篮球运动员投篮的进球路线,球沿抛物线$y=-0.2x^2+bx+c$运动,然后准确落入篮筐内.已知篮球运动员投篮处A到地面的距离$AO=2.25$米.以点O为坐标原点,建立平面直角坐标系,篮筐的中心D的坐标为$(4,3.05)$,抛物线的对称轴与抛物线交于点B,与x轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)求点B到DH所在直线的距离.
(1)求抛物线的表达式.
(2)求点B到DH所在直线的距离.
答案
解:(1)$\because AO=2.25$米,$\therefore A(0,2.25). \therefore c=2.25$.将点$D(4,3.05)$代入$y=-0.2x^2+bx+2.25$,得$3.05=-0.2×4^2+4b+2.25$,解得$b=1$. $\therefore$抛物线的表达式为$y=-0.2x^2+x+2.25$.
(2)由(1)得,抛物线的表达式为$y=-0.2x^2+x+2.25$,$\therefore$对称轴为直线$x=-\frac{1}{2×(-0.2)}=2.5$. $\therefore$点$B$到$DH$所在直线的距离为$4-2.5=1.5$(米).
(2)由(1)得,抛物线的表达式为$y=-0.2x^2+x+2.25$,$\therefore$对称轴为直线$x=-\frac{1}{2×(-0.2)}=2.5$. $\therefore$点$B$到$DH$所在直线的距离为$4-2.5=1.5$(米).
解析
【分析】
(1)要确定抛物线的表达式，已知二次项系数为-0.2，仅需求出系数b、c即可。首先根据AO=2.25得到点A的坐标为(0,2.25)，结合已知的篮筐中心D(4,3.05)，将两个点的坐标代入抛物线解析式，即可解出b、c的值，得到解析式。(2)DH是垂直于x轴的直线x=4，点B在抛物线的对称轴上，先求出抛物线的对称轴，两条平行于y轴的直线的距离等于横坐标的差，由此可计算点B到DH所在直线的距离。
【解析】
(1)
∵AO=2.25米，点A在y轴上，
∴A点坐标为(0,2.25)，将$x=0,y=2.25$代入$y=-0.2x^2+bx+c$，得$c=2.25$。
再将$D(4,3.05)$代入$y=-0.2x^2+bx+2.25$，可得：
$3.05=-0.2×4^2 + 4b + 2.25$
计算得$3.05=-3.2 +4b +2.25$，化简解得$b=1$。
∴抛物线的表达式为$y=-0.2x^2 +x +2.25$。
(2)对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-0.2,b=1$，得：
对称轴为直线$x=-\frac{1}{2×(-0.2)}=2.5$。
DH所在直线为$x=4$，点B在对称轴$x=2.5$上，因此两点所在直线的距离为$4-2.5=1.5$（米）。
【答案】
(1)$y=-0.2x^2+x+2.25$；(2)1.5米
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数对称轴；二次函数实际应用
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查二次函数的基础应用，解题关键是从题干和图象中提取有效坐标信息，熟练运用二次函数的基本性质求解，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
(1)要确定抛物线的表达式，已知二次项系数为-0.2，仅需求出系数b、c即可。首先根据AO=2.25得到点A的坐标为(0,2.25)，结合已知的篮筐中心D(4,3.05)，将两个点的坐标代入抛物线解析式，即可解出b、c的值，得到解析式。(2)DH是垂直于x轴的直线x=4，点B在抛物线的对称轴上，先求出抛物线的对称轴，两条平行于y轴的直线的距离等于横坐标的差，由此可计算点B到DH所在直线的距离。
【解析】
(1)
∵AO=2.25米，点A在y轴上，
∴A点坐标为(0,2.25)，将$x=0,y=2.25$代入$y=-0.2x^2+bx+c$，得$c=2.25$。
再将$D(4,3.05)$代入$y=-0.2x^2+bx+2.25$，可得：
$3.05=-0.2×4^2 + 4b + 2.25$
计算得$3.05=-3.2 +4b +2.25$，化简解得$b=1$。
∴抛物线的表达式为$y=-0.2x^2 +x +2.25$。
(2)对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-0.2,b=1$，得：
对称轴为直线$x=-\frac{1}{2×(-0.2)}=2.5$。
DH所在直线为$x=4$，点B在对称轴$x=2.5$上，因此两点所在直线的距离为$4-2.5=1.5$（米）。
【答案】
(1)$y=-0.2x^2+x+2.25$；(2)1.5米
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数对称轴；二次函数实际应用
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查二次函数的基础应用，解题关键是从题干和图象中提取有效坐标信息，熟练运用二次函数的基本性质求解，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
8. NEW 新考向·开放性问题 已知二次函数 $y=-x^2+bx+c$ 的图象经过点$(c,0)$，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是
$y=-x^2+x+2(答案不唯一)$
.(写出一个即可)答案
8. $y=-x^2+x+2$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先利用“函数图象经过某点，则该点坐标满足函数解析式”的性质，将点$(c,0)$代入二次函数表达式，得到参数$b$和$c$的关系式；再结合“图象不经过原点”的条件，可知$x=0$时$y≠0$，即$c≠0$，对得到的关系式化简后，任意选取一个不为0的$c$值，即可求出对应的$b$值，进而写出符合要求的二次函数表达式。
【解析】
1. 把点$(c,0)$代入二次函数$y=-x^2+bx+c$，可得：
$0=-c^2 + b· c + c$ ①
2. 由于二次函数图象不经过原点，将$x=0$代入表达式得$y=c$，因此$c≠0$。
3. 因为$c≠0$，将①式两边同时除以$c$，得：
$0=-c + b + 1$，整理得$b = c - 1$。
4. 取一个不为0的$c$值即可得到对应的$b$，例如取$c=2$，则$b=2-1=1$，代入原表达式得$y=-x^2+x+2$，满足题意。
【答案】
$y=-x^2+x+2$(答案不唯一)
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数表达式、等式的基本性质
【点评】
本题属于开放性试题，解题的关键是结合已知条件推导出两个参数之间的数量关系，再根据限制条件合理赋值即可，既考查了二次函数的基本性质，也锻炼了灵活运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用“函数图象经过某点，则该点坐标满足函数解析式”的性质，将点$(c,0)$代入二次函数表达式，得到参数$b$和$c$的关系式；再结合“图象不经过原点”的条件，可知$x=0$时$y≠0$，即$c≠0$，对得到的关系式化简后，任意选取一个不为0的$c$值，即可求出对应的$b$值，进而写出符合要求的二次函数表达式。
【解析】
1. 把点$(c,0)$代入二次函数$y=-x^2+bx+c$，可得：
$0=-c^2 + b· c + c$ ①
2. 由于二次函数图象不经过原点，将$x=0$代入表达式得$y=c$，因此$c≠0$。
3. 因为$c≠0$，将①式两边同时除以$c$，得：
$0=-c + b + 1$，整理得$b = c - 1$。
4. 取一个不为0的$c$值即可得到对应的$b$，例如取$c=2$，则$b=2-1=1$，代入原表达式得$y=-x^2+x+2$，满足题意。
【答案】
$y=-x^2+x+2$(答案不唯一)
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数表达式、等式的基本性质
【点评】
本题属于开放性试题，解题的关键是结合已知条件推导出两个参数之间的数量关系，再根据限制条件合理赋值即可，既考查了二次函数的基本性质，也锻炼了灵活运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
