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1.已知二次函数$y=2(x-3)^2+4$，下列说法正确的是（
A.图象的开口向下
B.图象与y轴的交点坐标为(0,4)
C.图象的顶点坐标是(-3,4)
D.当$x＞3$时，y随x的增大而增大
D
）A.图象的开口向下
B.图象与y轴的交点坐标为(0,4)
C.图象的顶点坐标是(-3,4)
D.当$x＞3$时，y随x的增大而增大
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的核心性质：$a$的正负决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$；开口向上时，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，左侧$y$随$x$增大而减小；求与$y$轴交点只需令$x=0$计算$y$值即可。接下来结合本题函数逐一判断选项即可。
【解析】
已知二次函数为$y=2(x-3)^2+4$，属于顶点式，其中$a=2$，$h=3$，$k=4$：
1. 判断选项A：$\because a=2＞0$，$\therefore$图象开口向上，A错误；
2. 判断选项B：令$x=0$，代入得$y=2×(0-3)^2+4=2×9+4=22$，$\therefore$图象与$y$轴交点为$(0,22)$，B错误；
3. 判断选项C：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，即$(3,4)$，C错误；
4. 判断选项D：$\because$图象开口向上，对称轴为直线$x=3$，$\therefore$当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数交点求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是牢记顶点式中各参数对应的几何意义，熟练掌握开口方向、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的核心性质：$a$的正负决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$；开口向上时，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，左侧$y$随$x$增大而减小；求与$y$轴交点只需令$x=0$计算$y$值即可。接下来结合本题函数逐一判断选项即可。
【解析】
已知二次函数为$y=2(x-3)^2+4$，属于顶点式，其中$a=2$，$h=3$，$k=4$：
1. 判断选项A：$\because a=2＞0$，$\therefore$图象开口向上，A错误；
2. 判断选项B：令$x=0$，代入得$y=2×(0-3)^2+4=2×9+4=22$，$\therefore$图象与$y$轴交点为$(0,22)$，B错误；
3. 判断选项C：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，即$(3,4)$，C错误；
4. 判断选项D：$\because$图象开口向上，对称轴为直线$x=3$，$\therefore$当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数交点求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是牢记顶点式中各参数对应的几何意义，熟练掌握开口方向、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 对于二次函数$y=x^2+2mx+1$，当$x＜4$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的取值范围为(
A.$m＜-4$
B.$m≤ -4$
C.$m＞-4$
D.$m≥ -4$
B
)A.$m＜-4$
B.$m≤ -4$
C.$m＞-4$
D.$m≥ -4$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，所以第一步先判断抛物线的开口方向，再求出函数的对称轴；接着结合开口向上时“对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大”的规律，分析题目给出的“x＜4时y随x增大而减小”的条件，可得x＜4的区间必须全部在对称轴左侧，据此列出不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=x^2+2mx+1$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
2. 求对称轴：根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$，$b=2m$，可得对称轴为：
$x=-\frac{2m}{2×1}=-m$
3. 结合增减性列不等式：开口向上的抛物线，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小。题目要求$x＜4$时$y$随$x$的增大而减小，说明$x＜4$的区间完全在对称轴左侧，因此对称轴需满足：
$-m≥4$
4. 解不等式：两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m≤-4$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称轴；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是明确开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，易错点是容易忽略对称轴刚好等于$x=4$的情况，导致漏选边界值错选A。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，所以第一步先判断抛物线的开口方向，再求出函数的对称轴；接着结合开口向上时“对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大”的规律，分析题目给出的“x＜4时y随x增大而减小”的条件，可得x＜4的区间必须全部在对称轴左侧，据此列出不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=x^2+2mx+1$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
2. 求对称轴：根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$，$b=2m$，可得对称轴为：
$x=-\frac{2m}{2×1}=-m$
3. 结合增减性列不等式：开口向上的抛物线，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小。题目要求$x＜4$时$y$随$x$的增大而减小，说明$x＜4$的区间完全在对称轴左侧，因此对称轴需满足：
$-m≥4$
4. 解不等式：两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m≤-4$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称轴；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是明确开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，易错点是容易忽略对称轴刚好等于$x=4$的情况，导致漏选边界值错选A。
【难度系数】
0.6
3. 把二次函数$y=x^2 -4x +1$的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，平移后的图象必经过点（
A.$(1,-1)$
B.$(-1,1)$
C.$(1,2)$
D.$(7,-2)$
A
）A.$(1,-1)$
B.$(-1,1)$
C.$(1,2)$
D.$(7,-2)$
答案
3.A
解析
【分析】
解题可按3步思考：①先将原二次函数配方为顶点式，方便后续平移计算；②根据二次函数平移“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对函数整体）”的规律，求出平移后的函数解析式；③把各选项的横坐标代入平移后的解析式，计算对应纵坐标，和选项给出的纵坐标对比，一致的就是正确答案。
【解析】
1. 先将原二次函数配方为顶点式：
$y=x^2-4x+1=(x^2-4x+4)-4+1=(x-2)^2-3$
2. 根据平移规则求平移后的解析式：
向左平移2个单位长度，将x替换为$x+2$，得$y=(x+2-2)^2-3=x^2-3$；
再向上平移1个单位长度，给整体加1，得$y=x^2-3+1=x^2-2$。
3. 逐一验证选项：
A. 当$x=1$时，$y=1^2-2=-1$，点$(1,-1)$在平移后的图象上，符合要求；
B. 当$x=-1$时，$y=(-1)^2-2=-1≠1$，不符合；
C. 当$x=1$时，$y=-1≠2$，不符合；
D. 当$x=7$时，$y=7^2-2=47≠-2$，不符合。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数配方；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题核心考查二次函数的平移规律，熟记“左加右减、上加下减”的规则即可快速解题，也可通过反向平移选项中的点，验证点是否在原函数图象上，两种方法都能得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题可按3步思考：①先将原二次函数配方为顶点式，方便后续平移计算；②根据二次函数平移“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对函数整体）”的规律，求出平移后的函数解析式；③把各选项的横坐标代入平移后的解析式，计算对应纵坐标，和选项给出的纵坐标对比，一致的就是正确答案。
【解析】
1. 先将原二次函数配方为顶点式：
$y=x^2-4x+1=(x^2-4x+4)-4+1=(x-2)^2-3$
2. 根据平移规则求平移后的解析式：
向左平移2个单位长度，将x替换为$x+2$，得$y=(x+2-2)^2-3=x^2-3$；
再向上平移1个单位长度，给整体加1，得$y=x^2-3+1=x^2-2$。
3. 逐一验证选项：
A. 当$x=1$时，$y=1^2-2=-1$，点$(1,-1)$在平移后的图象上，符合要求；
B. 当$x=-1$时，$y=(-1)^2-2=-1≠1$，不符合；
C. 当$x=1$时，$y=-1≠2$，不符合；
D. 当$x=7$时，$y=7^2-2=47≠-2$，不符合。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数配方；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题核心考查二次函数的平移规律，熟记“左加右减、上加下减”的规则即可快速解题，也可通过反向平移选项中的点，验证点是否在原函数图象上，两种方法都能得到正确结果。
【难度系数】
0.8
4. 某同学在利用描点法画二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的图象时，先取自变量 $ x $ 的一些值计算出相应的函数值 $ y $，如下表所示：
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误.他计算错误的一组数据是（
A.$ \begin{cases} x=0, \\ y=-3 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x=3, \\ y=0 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x=4, \\ y=-3 \end{cases} $
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误.他计算错误的一组数据是（
B
）A.$ \begin{cases} x=0, \\ y=-3 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x=3, \\ y=0 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x=4, \\ y=-3 \end{cases} $
答案
4.B
解析
【分析】
首先观察表格中y值相等的两组数据：x=1时y=0、x=3时y=0，若这两组数据正确，可推出二次函数的对称轴为直线x=2；根据二次函数对称性，x=0和x=4关于x=2对称，对应y值应相等，表格中x=0、x=4的y值都为-3，符合对称性，因此可判断x=0、1、3、4对应的y值均正确。接下来用正确的点求出二次函数解析式，再计算x=2时的函数值，和表格对比即可找到错误数据。
【解析】
1. 确定对称轴：若x=1，y=0和x=3，y=0两组数据正确，根据二次函数对称性，对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$。
2. 验证对称点：x=0和x=4关于直线x=2对称，对应函数值应相等，表格中x=0时y=-3，x=4时y=-3，符合对称性，因此x=0、1、3、4对应的y值均正确。
3. 求二次函数解析式：已知二次函数与x轴交点为(1,0)、(3,0)，设交点式$y=a(x-1)(x-3)$，将点(0,-3)代入得：
$-3=a(0-1)(0-3)$，解得$a=-1$。
因此解析式为$y=-(x-1)(x-3)=-x^2+4x-3$。
4. 验证x=2的函数值：将x=2代入解析式，得$y=-2^2+4×2-3=-4+8-3=1$，但表格中x=2时y=-1，与计算结果不符，因此该组数据错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数的对称性快速筛选出正确的已知点，再通过待定系数法求出解析式验证异常数据，避免了逐个假设验证的繁琐过程，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先观察表格中y值相等的两组数据：x=1时y=0、x=3时y=0，若这两组数据正确，可推出二次函数的对称轴为直线x=2；根据二次函数对称性，x=0和x=4关于x=2对称，对应y值应相等，表格中x=0、x=4的y值都为-3，符合对称性，因此可判断x=0、1、3、4对应的y值均正确。接下来用正确的点求出二次函数解析式，再计算x=2时的函数值，和表格对比即可找到错误数据。
【解析】
1. 确定对称轴：若x=1，y=0和x=3，y=0两组数据正确，根据二次函数对称性，对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$。
2. 验证对称点：x=0和x=4关于直线x=2对称，对应函数值应相等，表格中x=0时y=-3，x=4时y=-3，符合对称性，因此x=0、1、3、4对应的y值均正确。
3. 求二次函数解析式：已知二次函数与x轴交点为(1,0)、(3,0)，设交点式$y=a(x-1)(x-3)$，将点(0,-3)代入得：
$-3=a(0-1)(0-3)$，解得$a=-1$。
因此解析式为$y=-(x-1)(x-3)=-x^2+4x-3$。
4. 验证x=2的函数值：将x=2代入解析式，得$y=-2^2+4×2-3=-4+8-3=1$，但表格中x=2时y=-1，与计算结果不符，因此该组数据错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数的对称性快速筛选出正确的已知点，再通过待定系数法求出解析式验证异常数据，避免了逐个假设验证的繁琐过程，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5.已知二次函数$y=ax^2+2x+c$，其中$ac＜0$，则它的图象可能是（
C
）答案
5.C
解析
【分析】
要判断二次函数的图象，需结合参数a、c的符号关系，以及对称轴、与坐标轴交点的特征逐一分析：首先根据$ac＜0$可知a与c异号，先通过判别式确认抛物线与x轴交点个数，再分$a＞0$和$a＜0$两种情况，分别判断开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，和选项对比排除错误选项即可得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+2x+c$：
1. 计算判别式：$\Delta = 2^2 - 4ac = 4 - 4ac$，已知$ac＜0$，则$-4ac＞0$，因此$\Delta = 4 - 4ac ＞ 0$，抛物线与x轴有2个交点，四个选项均满足该特征。
2. 分情况讨论：
① 若$a＞0$，抛物线开口向上，由$ac＜0$得$c＜0$，即抛物线与y轴交于负半轴；
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2a}=-\frac{1}{a}＜0$，即对称轴在y轴左侧。
观察开口向上的选项A、B：A的对称轴在y轴右侧，不符合；B与y轴交于正半轴，不符合，排除A、B。
② 若$a＜0$，抛物线开口向下，由$ac＜0$得$c＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴；
对称轴为$x=-\frac{1}{a}＞0$，即对称轴在y轴右侧。
观察开口向下的选项C、D：D与y轴交于负半轴，不符合；C满足开口向下、与y轴交于正半轴、对称轴在y轴右侧，符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，系数与图象的对应关系，判别式的应用
【点评】
本题是二次函数图象判断的典型题型，解题关键是掌握二次函数各项系数对开口方向、对称轴、与坐标轴交点的影响，通过分类讨论结合排除法可快速得出答案，能较好地考查学生对二次函数性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断二次函数的图象，需结合参数a、c的符号关系，以及对称轴、与坐标轴交点的特征逐一分析：首先根据$ac＜0$可知a与c异号，先通过判别式确认抛物线与x轴交点个数，再分$a＞0$和$a＜0$两种情况，分别判断开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，和选项对比排除错误选项即可得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+2x+c$：
1. 计算判别式：$\Delta = 2^2 - 4ac = 4 - 4ac$，已知$ac＜0$，则$-4ac＞0$，因此$\Delta = 4 - 4ac ＞ 0$，抛物线与x轴有2个交点，四个选项均满足该特征。
2. 分情况讨论：
① 若$a＞0$，抛物线开口向上，由$ac＜0$得$c＜0$，即抛物线与y轴交于负半轴；
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2a}=-\frac{1}{a}＜0$，即对称轴在y轴左侧。
观察开口向上的选项A、B：A的对称轴在y轴右侧，不符合；B与y轴交于正半轴，不符合，排除A、B。
② 若$a＜0$，抛物线开口向下，由$ac＜0$得$c＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴；
对称轴为$x=-\frac{1}{a}＞0$，即对称轴在y轴右侧。
观察开口向下的选项C、D：D与y轴交于负半轴，不符合；C满足开口向下、与y轴交于正半轴、对称轴在y轴右侧，符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，系数与图象的对应关系，判别式的应用
【点评】
本题是二次函数图象判断的典型题型，解题关键是掌握二次函数各项系数对开口方向、对称轴、与坐标轴交点的影响，通过分类讨论结合排除法可快速得出答案，能较好地考查学生对二次函数性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
6.已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是二次函数$y=x^2-bx+c$图象上的任意两点,设$x_2-x_1=t$.若当$-2＜x_1＜2$且$-1＜b＜4$时,都有$y_2＞y_1$,则$t$的取值范围是（
A.$t＜-4$或$t＞7$
B.$t＜-5$或$t＞8$
C.$t＜-5$或$t＞7$
D.$t＜-4$或$t＞8$
B
）A.$t＜-4$或$t＞7$
B.$t＜-5$或$t＞8$
C.$t＜-5$或$t＞7$
D.$t＜-4$或$t＞8$
答案
6.B
解析
【分析】
首先，二次函数$y=x^2-bx+c$开口向上，题目要求对任意$x_1\in(-2,2)$、$b\in(-1,4)$，都有$y_2＞y_1$，其中$x_2=x_1+t$。我们可以先通过作差计算$y_2-y_1$，将函数值的大小关系转化为关于$x_1$、$b$、$t$的不等式，再分$t＞0$和$t＜0$两种情况讨论不等式恒成立的条件，最终求出$t$的取值范围。
【解析】
已知$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在二次函数$y=x^2-bx+c$上，且$x_2=x_1+t$，作差计算$y_2-y_1$：
$\begin{aligned}y_2 - y_1&=(x_1+t)^2 - b(x_1+t) + c - (x_1^2 - bx_1 + c)\\&=x_1^2 + 2tx_1 + t^2 - bx_1 - bt + c - x_1^2 + bx_1 - c\\&=2tx_1 + t^2 - bt\end{aligned}$
由题意$y_2＞y_1$恒成立，即$2tx_1 + t^2 - bt ＞ 0$对任意$-2＜x_1＜2$、$-1＜b＜4$恒成立，整理得：
$t(2x_1 + t - b) ＞ 0$
分两种情况讨论：
1. 当$t＞0$时，不等式等价于$2x_1 + t - b ＞ 0$，即$t ＞ b - 2x_1$恒成立。
要使该式对所有$b＜4$、$x_1＞-2$成立，需$t$大于$b-2x_1$的最大值：
$b-2x_1$的最大值为$4 - 2×(-2)=8$，故$t＞8$。
2. 当$t＜0$时，不等式等价于$2x_1 + t - b ＜ 0$，即$t ＜ b - 2x_1$恒成立。
要使该式对所有$b＞-1$、$x_1＜2$成立，需$t$小于$b-2x_1$的最小值：
$b-2x_1$的最小值为$-1 - 2×2=-5$，故$t＜-5$。
综上，$t$的取值范围是$t＜-5$或$t＞8$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，不等式恒成立，作差法比较大小
【点评】
本题将二次函数性质与不等式恒成立问题结合考查，解题关键是通过作差将函数值的大小关系转化为参数不等式，再结合恒成立条件求参数的最值，解题时需注意分类讨论$t$的正负对不等号方向的影响。
【难度系数】
0.6
首先，二次函数$y=x^2-bx+c$开口向上，题目要求对任意$x_1\in(-2,2)$、$b\in(-1,4)$，都有$y_2＞y_1$，其中$x_2=x_1+t$。我们可以先通过作差计算$y_2-y_1$，将函数值的大小关系转化为关于$x_1$、$b$、$t$的不等式，再分$t＞0$和$t＜0$两种情况讨论不等式恒成立的条件，最终求出$t$的取值范围。
【解析】
已知$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在二次函数$y=x^2-bx+c$上，且$x_2=x_1+t$，作差计算$y_2-y_1$：
$\begin{aligned}y_2 - y_1&=(x_1+t)^2 - b(x_1+t) + c - (x_1^2 - bx_1 + c)\\&=x_1^2 + 2tx_1 + t^2 - bx_1 - bt + c - x_1^2 + bx_1 - c\\&=2tx_1 + t^2 - bt\end{aligned}$
由题意$y_2＞y_1$恒成立，即$2tx_1 + t^2 - bt ＞ 0$对任意$-2＜x_1＜2$、$-1＜b＜4$恒成立，整理得：
$t(2x_1 + t - b) ＞ 0$
分两种情况讨论：
1. 当$t＞0$时，不等式等价于$2x_1 + t - b ＞ 0$，即$t ＞ b - 2x_1$恒成立。
要使该式对所有$b＜4$、$x_1＞-2$成立，需$t$大于$b-2x_1$的最大值：
$b-2x_1$的最大值为$4 - 2×(-2)=8$，故$t＞8$。
2. 当$t＜0$时，不等式等价于$2x_1 + t - b ＜ 0$，即$t ＜ b - 2x_1$恒成立。
要使该式对所有$b＞-1$、$x_1＜2$成立，需$t$小于$b-2x_1$的最小值：
$b-2x_1$的最小值为$-1 - 2×2=-5$，故$t＜-5$。
综上，$t$的取值范围是$t＜-5$或$t＞8$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，不等式恒成立，作差法比较大小
【点评】
本题将二次函数性质与不等式恒成立问题结合考查，解题关键是通过作差将函数值的大小关系转化为参数不等式，再结合恒成立条件求参数的最值，解题时需注意分类讨论$t$的正负对不等号方向的影响。
【难度系数】
0.6
7.如图，抛物线$y=ax^2+2ax+c$经过点$A(-3,0)$，顶点为$M$，且抛物线与$y$轴的交点为$B$，则下列结论：
①当$-3≤x≤1$时，$y≤0$；
②$-a+c＜0$；
③$ax^2+2ax+c≥-4a$；
④$△ ABM$的面积为$\dfrac{3}{2}a$。
其中正确的有
（填序号）
①当$-3≤x≤1$时，$y≤0$；
②$-a+c＜0$；
③$ax^2+2ax+c≥-4a$；
④$△ ABM$的面积为$\dfrac{3}{2}a$。
其中正确的有
①②③
。（填序号）
答案
7.①②③
解析
【分析】
首先先推导抛物线的对称轴，结合已知点A的坐标利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，再将点A代入解析式得到a和c的数量关系，最后结合二次函数的图象性质、最值、面积计算方法逐一判断四个结论是否正确。
【解析】
1. 求抛物线基本特征
抛物线$y=ax^2+2ax+c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a}{2a}=-1$，由图象可知抛物线开口向上，即$a＞0$。
已知抛物线过$A(-3,0)$，根据抛物线的对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点为$(1,0)$。
2. 推导a与c的关系
将$A(-3,0)$代入抛物线解析式得：
$0=a×(-3)^2+2a×(-3)+c$，化简得$9a-6a+c=0$，即$c=-3a$。
3. 逐一判断结论
① 抛物线开口向上，与x轴交于$(-3,0)$和$(1,0)$，因此当$-3≤x≤1$时，图象在x轴下方（含x轴），$y≤0$，故①正确；
② 将$c=-3a$代入$-a+c$得：$-a+c=-a-3a=-4a$，因为$a＞0$，所以$-4a＜0$，即$-a+c＜0$，故②正确；
③ 抛物线顶点的横坐标为$x=-1$，代入解析式得顶点纵坐标为$y=a×(-1)^2+2a×(-1)+c=-a+c=-4a$。
因为抛物线开口向上，顶点是函数的最小值点，因此函数值$ax^2+2ax+c≥-4a$，故③正确；
④ 各点坐标为$A(-3,0)$、$B(0,-3a)$、$M(-1,-4a)$，用坐标法计算$△ ABM$的面积：
$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}\left| x_A(y_B-y_M)+x_B(y_M-y_A)+x_M(y_A-y_B) \right|$
代入数值计算得$S=\frac{1}{2}\left| -3×(-3a+4a)+0×(-4a-0)+(-1)×(0+3a) \right|=3a$，不等于$\frac{3}{2}a$，故④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性；坐标法求三角形面积
【点评】
本题考查二次函数的综合应用，解题的核心是先通过对称轴和已知点建立参数间的关系，再结合开口方向、最值、区间函数值特征等性质判断结论，需要熟练掌握二次函数的基础性质，会灵活使用坐标法计算平面图形面积。
【难度系数】
0.65
首先先推导抛物线的对称轴，结合已知点A的坐标利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，再将点A代入解析式得到a和c的数量关系，最后结合二次函数的图象性质、最值、面积计算方法逐一判断四个结论是否正确。
【解析】
1. 求抛物线基本特征
抛物线$y=ax^2+2ax+c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a}{2a}=-1$，由图象可知抛物线开口向上，即$a＞0$。
已知抛物线过$A(-3,0)$，根据抛物线的对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点为$(1,0)$。
2. 推导a与c的关系
将$A(-3,0)$代入抛物线解析式得：
$0=a×(-3)^2+2a×(-3)+c$，化简得$9a-6a+c=0$，即$c=-3a$。
3. 逐一判断结论
① 抛物线开口向上，与x轴交于$(-3,0)$和$(1,0)$，因此当$-3≤x≤1$时，图象在x轴下方（含x轴），$y≤0$，故①正确；
② 将$c=-3a$代入$-a+c$得：$-a+c=-a-3a=-4a$，因为$a＞0$，所以$-4a＜0$，即$-a+c＜0$，故②正确；
③ 抛物线顶点的横坐标为$x=-1$，代入解析式得顶点纵坐标为$y=a×(-1)^2+2a×(-1)+c=-a+c=-4a$。
因为抛物线开口向上，顶点是函数的最小值点，因此函数值$ax^2+2ax+c≥-4a$，故③正确；
④ 各点坐标为$A(-3,0)$、$B(0,-3a)$、$M(-1,-4a)$，用坐标法计算$△ ABM$的面积：
$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}\left| x_A(y_B-y_M)+x_B(y_M-y_A)+x_M(y_A-y_B) \right|$
代入数值计算得$S=\frac{1}{2}\left| -3×(-3a+4a)+0×(-4a-0)+(-1)×(0+3a) \right|=3a$，不等于$\frac{3}{2}a$，故④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性；坐标法求三角形面积
【点评】
本题考查二次函数的综合应用，解题的核心是先通过对称轴和已知点建立参数间的关系，再结合开口方向、最值、区间函数值特征等性质判断结论，需要熟练掌握二次函数的基础性质，会灵活使用坐标法计算平面图形面积。
【难度系数】
0.65
8.(2025·济南节选)如图,二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过$A(3,1),B(0,-2)$两点,顶点为$G$.
(1)求二次函数的表达式和顶点$G$的坐标.
(2)将二次函数$y=x^2+bx+c$的图象沿$x$轴方向平移$n(n＞0)$个单位长度得到一个新函数的图象,当$0≤x≤3$时,新函数的最大值是$8$,求$n$的值.
(1)求二次函数的表达式和顶点$G$的坐标.
(2)将二次函数$y=x^2+bx+c$的图象沿$x$轴方向平移$n(n＞0)$个单位长度得到一个新函数的图象,当$0≤x≤3$时,新函数的最大值是$8$,求$n$的值.
答案
8.解：(1)将 $A(3,1), B(0,-2)$ 代入 $y = x^2 + bx + c$，得
$\begin{cases} 9+3b+c=1, \\ c=-2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} b=-2, \\ c=-2. \end{cases}$ $\therefore y=x^2-2x-2$. $\because y=x^2-2x-2=(x-1)^2-3$，$\therefore$ 顶点 $G$ 的坐标为 $(1,-3)$.
(2)当抛物线向右平移时，新抛物线的表达式为 $y=(x-1-n)^2-3$，对称轴为直线 $x=n+1$.
$\because n＞0, \therefore n+1＞1$. 分两种情况讨论：
①当 $1＜n+1≤ \dfrac{3}{2}$，即 $0＜n≤ \dfrac{1}{2}$ 时，如图1. 直线 $x=3$ 与抛物线的交点 $M$ 的纵坐标最大，将 $x=3,y=8$ 代入表达式，得 $8=(3-1-n)^2-3$，解得 $n=2\pm\sqrt{11}$（不合题意，舍去）.
②当 $n+1＞\dfrac{3}{2}$，即 $n＞\dfrac{1}{2}$ 时，如图2. 直线 $x=0$ 与抛物线的交点 $N$ 的纵坐标最大，将 $x=0,y=8$ 代入表达式，得 $8=(0-1-n)^2-3$，解得 $n_1=-1-\sqrt{11}$（不合题意，舍去），$n_2=-1+\sqrt{11}$；当抛物线向左平移时，可得新抛物线的表达式为 $y=(x-1+n)^2-3$，对称轴为直线 $x=1-n$. $\because n＞0, \therefore 1-n＜1$. $\therefore$ 当 $x=3$ 时，$y$ 取最大值 8. 代入表达式，得 $8=(3-1+n)^2-3$，解得 $n_3=-2+\sqrt{11},n_4=-2-\sqrt{11}$（不合题意，舍去）.
综上所述，$n=-1+\sqrt{11}$ 或 $n=-2+\sqrt{11}$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象经过两个定点，可通过待定系数法，将两点坐标代入一般式得到关于参数b、c的方程组，求解后即可确定函数表达式；再将一般式配方为顶点式，就能直接得到顶点G的坐标。
(2) 二次函数沿x轴平移遵循“左加右减”的规律，由于未说明平移方向，需分向右平移、向左平移两种情况讨论：①向右平移时，先写出新函数的表达式与对称轴，结合抛物线开口向上的性质，给定区间内的最大值出现在离对称轴更远的端点，因此根据对称轴与区间中点$\frac{3}{2}$的位置关系进一步分类，代入最大值列方程求解，舍去不符合$n＞0$的解；②向左平移时，写出新函数的表达式与对称轴，可直接判断区间右端点离对称轴更远，代入最大值列方程求解，舍去不符合条件的解，最终汇总所有符合要求的n值即可。
【解析】
(1) 将$A(3,1), B(0,-2)$代入$y = x^2 + bx + c$，得：
$\begin{cases} 9+3b+c=1 \\ c=-2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=-2 \\ c=-2 \end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=x^2-2x-2$。
$\because y=x^2-2x-2=(x-1)^2-3$，
$\therefore$ 顶点$G$的坐标为$(1,-3)$。
(2) 分平移方向分类讨论：
① 抛物线向右平移$n(n＞0)$个单位，新抛物线表达式为$y=(x-1-n)^2-3$，对称轴为直线$x=n+1$。
$\because n＞0$，$\therefore n+1＞1$，再分两类讨论：
② 抛物线向左平移$n(n＞0)$个单位，新抛物线表达式为$y=(x-1+n)^2-3$，对称轴为直线$x=1-n$。
$\because n＞0$，$\therefore 1-n＜1$，$x=3$离对称轴更远，此时$x=3$处取最大值8。
将$x=3,y=8$代入得：$8=(3-1+n)^2-3$，解得$n_3=\sqrt{11}-2$（符合$n＞0$），$n_4=-2-\sqrt{11}$（不符合$n＞0$，舍去）。
综上，$n$的值为$\sqrt{11}-1$或$\sqrt{11}-2$。
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-2}$，顶点$G$的坐标为$\boldsymbol{(1,-3)}$；
(2) $n$的值为$\boldsymbol{\sqrt{11}-1}$或$\boldsymbol{\sqrt{11}-2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的平移；二次函数的最值
【点评】
本题围绕二次函数的性质设计，既考查了基础的解析式求解、顶点坐标计算，也通过平移最值问题考查了分类讨论思想，解题时要注意平移方向不确定时不要漏讨论，同时需结合对称轴与区间的位置关系判断最值点，求解后要验证结果是否符合前提条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.5
(1) 已知二次函数图象经过两个定点，可通过待定系数法，将两点坐标代入一般式得到关于参数b、c的方程组，求解后即可确定函数表达式；再将一般式配方为顶点式，就能直接得到顶点G的坐标。
(2) 二次函数沿x轴平移遵循“左加右减”的规律，由于未说明平移方向，需分向右平移、向左平移两种情况讨论：①向右平移时，先写出新函数的表达式与对称轴，结合抛物线开口向上的性质，给定区间内的最大值出现在离对称轴更远的端点，因此根据对称轴与区间中点$\frac{3}{2}$的位置关系进一步分类，代入最大值列方程求解，舍去不符合$n＞0$的解；②向左平移时，写出新函数的表达式与对称轴，可直接判断区间右端点离对称轴更远，代入最大值列方程求解，舍去不符合条件的解，最终汇总所有符合要求的n值即可。
【解析】
(1) 将$A(3,1), B(0,-2)$代入$y = x^2 + bx + c$，得：
$\begin{cases} 9+3b+c=1 \\ c=-2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=-2 \\ c=-2 \end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=x^2-2x-2$。
$\because y=x^2-2x-2=(x-1)^2-3$，
$\therefore$ 顶点$G$的坐标为$(1,-3)$。
(2) 分平移方向分类讨论：
① 抛物线向右平移$n(n＞0)$个单位，新抛物线表达式为$y=(x-1-n)^2-3$，对称轴为直线$x=n+1$。
$\because n＞0$，$\therefore n+1＞1$，再分两类讨论：
＜li＞当$1＜n+1≤ \frac{3}{2}$，即$0＜n≤ \frac{1}{2}$时，如图1，$x=3$离对称轴更远，此时$x=3$处取最大值8。
将$x=3,y=8$代入得：$8=(3-1-n)^2-3$，解得$n=2\pm\sqrt{11}$，均不符合$0＜n≤ \frac{1}{2}$，全部舍去。＜/li＞
＜li＞当$n+1＞\frac{3}{2}$，即$n＞\frac{1}{2}$时，如图2，$x=0$离对称轴更远，此时$x=0$处取最大值8。
将$x=0,y=8$代入得：$8=(0-1-n)^2-3$，解得$n_1=-1-\sqrt{11}$（不符合$n＞0$，舍去），$n_2=\sqrt{11}-1$，符合条件。＜/li＞
② 抛物线向左平移$n(n＞0)$个单位，新抛物线表达式为$y=(x-1+n)^2-3$，对称轴为直线$x=1-n$。
$\because n＞0$，$\therefore 1-n＜1$，$x=3$离对称轴更远，此时$x=3$处取最大值8。
将$x=3,y=8$代入得：$8=(3-1+n)^2-3$，解得$n_3=\sqrt{11}-2$（符合$n＞0$），$n_4=-2-\sqrt{11}$（不符合$n＞0$，舍去）。
综上，$n$的值为$\sqrt{11}-1$或$\sqrt{11}-2$。
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-2}$，顶点$G$的坐标为$\boldsymbol{(1,-3)}$；
(2) $n$的值为$\boldsymbol{\sqrt{11}-1}$或$\boldsymbol{\sqrt{11}-2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的平移；二次函数的最值
【点评】
本题围绕二次函数的性质设计，既考查了基础的解析式求解、顶点坐标计算，也通过平移最值问题考查了分类讨论思想，解题时要注意平移方向不确定时不要漏讨论，同时需结合对称轴与区间的位置关系判断最值点，求解后要验证结果是否符合前提条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.5
