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10. 学习了整式的加减运算后，张老师给同学们布置了一道课堂练习题：当$a = - 2$，$b = 2024$时，求$(3a^{2}b - 2ab^{2}+4a)-2(2a^{2}b - 3a)+2(ab^{2}+\frac {1}{2}a^{2}b)-1$的值。小红做完后对同桌说：“张老师给的条件$b = 2024$是多余的，这道题不给$b$的值，照样可以求出结果。”同桌不相信她的话。亲爱的同学们，你相信小红的说法吗？
答案
【解析】：
本题可先对原式进行化简，再分析化简后的式子是否含有$b$，若不含有$b$，则说明$b$的值是多余的。
- **步骤一：去括号**
根据去括号法则：括号前是“$+$”，把括号和它前面的“$+$”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变，对原式去括号可得：
$(3a^{2}b - 2ab^{2}+4a)-2(2a^{2}b - 3a)+2(ab^{2}+\frac {1}{2}a^{2}b)-1$
$=3a^{2}b - 2ab^{2}+4a - 4a^{2}b + 6a + 2ab^{2}+a^{2}b - 1$
- **步骤二：合并同类项**
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变，对去括号后的式子合并同类项：
$(3a^{2}b - 4a^{2}b + a^{2}b)+(- 2ab^{2}+ 2ab^{2})+(4a + 6a) - 1$
$=(3 - 4 + 1)a^{2}b + (- 2 + 2)ab^{2}+(4 + 6)a - 1$
$=0\times a^{2}b + 0\times ab^{2}+10a - 1$
$=10a - 1$
化简后的式子为$10a - 1$，不含有$b$，所以原式的值与$b$的取值无关，即张老师给的条件$b = 2024$是多余的，小红的说法是正确的。
【答案】：相信
本题可先对原式进行化简，再分析化简后的式子是否含有$b$，若不含有$b$，则说明$b$的值是多余的。
- **步骤一：去括号**
根据去括号法则：括号前是“$+$”，把括号和它前面的“$+$”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变，对原式去括号可得：
$(3a^{2}b - 2ab^{2}+4a)-2(2a^{2}b - 3a)+2(ab^{2}+\frac {1}{2}a^{2}b)-1$
$=3a^{2}b - 2ab^{2}+4a - 4a^{2}b + 6a + 2ab^{2}+a^{2}b - 1$
- **步骤二：合并同类项**
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变，对去括号后的式子合并同类项：
$(3a^{2}b - 4a^{2}b + a^{2}b)+(- 2ab^{2}+ 2ab^{2})+(4a + 6a) - 1$
$=(3 - 4 + 1)a^{2}b + (- 2 + 2)ab^{2}+(4 + 6)a - 1$
$=0\times a^{2}b + 0\times ab^{2}+10a - 1$
$=10a - 1$
化简后的式子为$10a - 1$，不含有$b$，所以原式的值与$b$的取值无关，即张老师给的条件$b = 2024$是多余的，小红的说法是正确的。
【答案】：相信
11. 某商贩去菜摊收购黄瓜，他上午收了$30$千克，价格为每千克$x$元；下午，他又收了$20$千克，价格为每千克$y$元。后来他以每千克$\frac {x + y}{2}$元的价格卖完后，结果却发现自己赔了钱。请你帮助分析商贩赔钱的原因。
答案
【解析】：本题可先分别计算出收购黄瓜的总花费和卖出黄瓜的总收入，再根据赔钱这一条件列出不等式，进而分析出赔钱的原因。
- **步骤一：计算收购黄瓜的总花费**
已知上午收了$30$千克，价格为每千克$x$元，根据“总价$=$单价$\times$数量”，可得上午收购黄瓜花费$30x$元。
同理，下午收了$20$千克，价格为每千克$y$元，则下午收购黄瓜花费$20y$元。
那么收购黄瓜的总花费为上午花费与下午花费之和，即$(30x + 20y)$元。
- **步骤二：计算卖出黄瓜的总收入**
上午收了$30$千克，下午收了$20$千克，则一共收购了$(30 + 20)$千克黄瓜。
又已知他以每千克$\frac{x + y}{2}$元的价格卖完，根据“总价$=$单价$\times$数量”，可得卖出黄瓜的总收入为$(30 + 20)\times\frac{x + y}{2}= 25(x + y)$元。
- **步骤三：根据赔钱列出不等式并分析原因**
因为商贩赔了钱，说明收购黄瓜的总花费大于卖出黄瓜的总收入，即$30x + 20y＞ 25(x + y)$。
对不等式$30x + 20y＞ 25(x + y)$进行化简：
$\begin{aligned}30x + 20y&＞ 25x + 25y\\30x - 25x&＞ 25y - 20y\\5x&＞ 5y\\x&＞ y\end{aligned}$
由此可知，赔钱的原因是$x＞ y$，即上午的收购价比下午的收购价高。
【答案】：因为$30x + 20y＞ 25(x + y)$，化简得$x＞ y$，所以赔钱的原因是上午的收购价比下午的收购价高。
- **步骤一：计算收购黄瓜的总花费**
已知上午收了$30$千克，价格为每千克$x$元，根据“总价$=$单价$\times$数量”，可得上午收购黄瓜花费$30x$元。
同理，下午收了$20$千克，价格为每千克$y$元，则下午收购黄瓜花费$20y$元。
那么收购黄瓜的总花费为上午花费与下午花费之和，即$(30x + 20y)$元。
- **步骤二：计算卖出黄瓜的总收入**
上午收了$30$千克，下午收了$20$千克，则一共收购了$(30 + 20)$千克黄瓜。
又已知他以每千克$\frac{x + y}{2}$元的价格卖完，根据“总价$=$单价$\times$数量”，可得卖出黄瓜的总收入为$(30 + 20)\times\frac{x + y}{2}= 25(x + y)$元。
- **步骤三：根据赔钱列出不等式并分析原因**
因为商贩赔了钱，说明收购黄瓜的总花费大于卖出黄瓜的总收入，即$30x + 20y＞ 25(x + y)$。
对不等式$30x + 20y＞ 25(x + y)$进行化简：
$\begin{aligned}30x + 20y&＞ 25x + 25y\\30x - 25x&＞ 25y - 20y\\5x&＞ 5y\\x&＞ y\end{aligned}$
由此可知，赔钱的原因是$x＞ y$，即上午的收购价比下午的收购价高。
【答案】：因为$30x + 20y＞ 25(x + y)$，化简得$x＞ y$，所以赔钱的原因是上午的收购价比下午的收购价高。
小敏对小红说：“我们一起来玩个游戏。你任意写一个三位数，要求两端的数字不同，并把它们的差告诉我。写好后，你再把这个数两端的数字交换位置，又得到一个数。然后，用较大的数减去较小的数，所得的差一定可以被$9$整除，我总能够说出这个差被$9$除的商是多少。现在你开始写吧！”
小红写了一个数，告诉小敏差是$3$。小敏听了，马上就说出了答案。
那么，你知道商是多少吗？
小红写了一个数，告诉小敏差是$3$。小敏听了，马上就说出了答案。
那么，你知道商是多少吗？
答案
【解析】：设这个三位数的百位数字为$a$，个位数字为$b$，且$a＞b$，十位数字为$c$，那么这个三位数为$100a + 10c + b$，交换两端数字后的三位数为$100b+10c + a$。用较大的数减去较小的数可得：$(100a + 10c + b)-(100b + 10c + a)=100a + 10c + b - 100b - 10c - a=99(a - b)$。已知$a - b = 3$，则差为$99\times3$，这个差除以$9$的商为$99\times3\div9 = 33$。
【答案】：$33$
【答案】：$33$
