1. 在等边三角形 ABC 中,$AD⊥BC$,垂足为 D,点 E 在线段 AD 上. 若$BD=ED$,则$∠ACE$的大小为()
A.$15^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$45^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

A

2. 在$△ABC$中,若$∠B=∠C=70^{\circ }$,CD 是$△ABC$的角平分线,则$∠ADC=()$
A.$95^{\circ }$
B.$105^{\circ }$
C.$110^{\circ }$
D.$125^{\circ }$

B

3. 在$△ABC$中,$AB=AC=4,BC=6$,M 为 BC 上一点,当$△ABM$为等腰三角形时,这样的点M有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

D

4. 在$△ABC$中,若$AB=AC,∠B=30^{\circ }$,则$∠C=$____°.

$30$

5. 在$△ABC$中,$∠A=30^{\circ },∠B=90^{\circ }$.若$AC=8$,则 BC 的长为____.

$4$

6. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },∠A=50^{\circ }$.若以点 B 为圆心,BC 长为半径画弧,交 AB于点 D,连接 CD,则$∠ACD=$____°.

$20$

7. 如图,在$△ABC$中,$AB=AC,BC=12$,AD 是底边上的高,$AD=8,DE⊥AC$,求 DE 的长.

【解析】：
- 因为$AB = AC$，$AD$是底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，$BD = DC=\frac{1}{2}BC$。
已知$BC = 12$，所以$DC=\frac{1}{2}\times12 = 6$。
- 在$Rt\triangle ADC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}$，已知$AD = 8$，$DC = 6$，则$AC=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10$。
- 因为$DE\perp AC$，根据三角形面积公式$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AD\times DC=\frac{1}{2}AC\times DE$。
将$AD = 8$，$DC = 6$，$AC = 10$代入$\frac{1}{2}AD\times DC=\frac{1}{2}AC\times DE$中，得到$\frac{1}{2}\times8\times6=\frac{1}{2}\times10\times DE$。
即$4\times6 = 5\times DE$，$24 = 5DE$，解得$DE=\frac{24}{5}$。
【答案】：$\frac{24}{5}$

8. 如图,点 E 在$△ABC$边 BC 的延长线上,$BC=DE,AB// ED,AB=CE$. 求证:$AC=CD.$

【解析】：因为$AB// ED$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle B=\angle DEC$。在$\triangle ABC$和$\triangle CED$中，已知$BC = DE$，$\angle B=\angle DEC$，$AB = CE$，根据全等三角形判定定理“边角边”（$SAS$），可以得出$\triangle ABC\cong\triangle CED$。由于全等三角形的对应边相等，所以$AC = CD$。
【答案】：通过证明$\triangle ABC\cong\triangle CED$（$SAS$），得出$AC = CD$。