1. 在$\triangle ABC$中，若$∠C=90^{\circ },∠A=30^{\circ },AB=6$，则$BC$的长为( )
A. 3
B. $3\sqrt {2}$
C. $3\sqrt {3}$
D. 6

A

2. 已知$AD$是等腰三角形$ABC$底边$BC$上的高，若点$D$到直线$AB$的距离为 3，则点$D$到直线$AC$的距离为( )
A. $\frac {3}{2}$
B. 2
C. 3
D. $\frac {7}{2}$

C

3. 如图，等边三角形$ABC$钢架的立柱$CD⊥AB$于点$D$，$AB$长 12 m. 现将钢架立柱缩短成$DE$，若$∠BED=60^{\circ }$，则新钢架减少用钢( )


A. $(24-12\sqrt {3})m$
B. $(24-8\sqrt {3})m$
C. $(24-6\sqrt {3})m$
D. $(24-4\sqrt {3})m$

B

4. 若等腰三角形的一个底角为$72^{\circ }$，则这个等腰三角形的顶角为____.

$36^{\circ}$

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ }$，点$D$在$AB$上，$DE⊥AC$，$E$为$AC$的中点. 若$DE=3$，$AB=10$，则$AE$的长为____.

$4$

6. 如图，在$\triangle ABC$中，已知$AB=AC,AD⊥BC$于点$D,DE=AE$.
(1)求证：$DE// AC$.
(2)若$∠C=60^{\circ },AC=6$，求$AD$的长.

【解析】：
(1) 因为$AB = AC$，$AD\perp BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，所以$\angle BAD=\angle CAD$。
又因为$DE = AE$，所以$\angle BAD=\angle ADE$（等边对等角）。
从而$\angle CAD=\angle ADE$，根据内错角相等，两直线平行，可得$DE// AC$。
(2) 因为$AB = AC$，$\angle C = 60^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
因为$AD\perp BC$，根据等边三角形三线合一，$AD$也是$BC$边上的中线，$\angle ADC = 90^{\circ}$。
已知$AC = 6$，在$Rt\triangle ADC$中，$\angle C = 60^{\circ}$，$\angle CAD=30^{\circ}$，根据$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，设$CD=x$，则$AC = 2x$，所以$x = 3$。
再根据勾股定理$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36 - 9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析，证得$DE// AC$。
(2)$AD = 3\sqrt{3}$。