1. 如图，在等边三角形 $ ABC $ 中，$ DE // BC $。若 $ AB = 7 $，$ BD = 4 $，则 $ \triangle ADE $ 的周长为（ ）


A. 3
B. 6
C. 9
D. 12

C

2. 如图，等边三角形 $ ABC $ 的边长为 6，若 $ BD $ 平分 $ \angle ABC $，$ DC \perp BC $，则 $ BD $ 的长为（ ）

A. $ 2 \sqrt { 3 } $
B. 6
C. $ 4 \sqrt { 3 } $
D. $ 6 \sqrt { 2 } $

B

3. 若 $ \triangle ABC $ 的三边长分别为 6，6，8，则该三角形的面积为（ ）
A. 7
B. 12
C. $ 6 \sqrt { 5 } $
D. $ 8 \sqrt { 5 } $

D

4. 若一个等腰三角形的两条边长分别为 3 和 6，则这个三角形的周长为______。

$15$

5. 如图，$ \triangle ABC $ 为等腰直角三角形，$ \angle B = 90 ^ { \circ } $，$ AB = 2 $，过点 $ A $ 作 $ BC $ 的平行线 $ AD $。若 $ AC = CD $，则 $ AD $ 的长为______。

$2 + 2\sqrt{3}$

6. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ AC = 6 \mathrm { cm } $，$ BC = 8 \mathrm { cm } $。若将 $ \triangle ABC $ 折叠，使点 $ B $ 与点 $ A $ 重合，折痕为 $ DE $，则 $ BD $ 的长为______。

$\frac{25}{4}\mathrm{cm}$

7. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ AD $ 是 $ BC $ 边上的中线，$ DE \perp AB $，垂足为 $ E $。求证：$ A C ^ { 2 } = A E ^ { 2 } - B E ^ { 2 } $。

【解析】：
因为$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理可得$AC^{2}=AD^{2}-CD^{2}$。
因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = CD$，则$AC^{2}=AD^{2}-BD^{2}$。
又因为$DE\perp AB$，在$Rt\triangle ADE$中，$AD^{2}=AE^{2}+DE^{2}$；在$Rt\triangle BDE$中，$BD^{2}=BE^{2}+DE^{2}$。
将$AD^{2}=AE^{2}+DE^{2}$，$BD^{2}=BE^{2}+DE^{2}$代入$AC^{2}=AD^{2}-BD^{2}$中，可得：
$AC^{2}=(AE^{2}+DE^{2})-(BE^{2}+DE^{2})$
$AC^{2}=AE^{2}+DE^{2}-BE^{2}-DE^{2}$
$AC^{2}=AE^{2}-BE^{2}$
【答案】：$AC^{2}=AE^{2}-BE^{2}$，得证。