1. 若等腰三角形 $ ABC $ 的一个外角为 $ 40^{\circ} $，则其底角为（ ）
A. $ 20^{\circ} $
B. $ 100^{\circ} $
C. $ 20^{\circ} $或 $ 140^{\circ} $
D. 无法确定

A

2. 如图，$ AB // CD $，$ AC $ 与 $ BD $ 相交于点 $ O $。若 $ OA = OC $，则下列结论错误的是（ ）


A. $ AB = CD $
B. $ \angle A = \angle C $
C. $ AC = 2AO $
D. $ AC = OB $

D

3. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，若 $ AB = AC $，$ BD = CE $，$ \angle B = 36^{\circ} $，$ \angle ADE = 72^{\circ} $，则图中等腰三角形有（ ）
A. $ 3 $ 个 B. $ 4 $ 个 C. $ 5 $ 个 D. $ 6 $ 个

D

4. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，点 $ D $，$ E $ 在边 $ BC $ 上，$ \angle BAD = \angle CAE $。若 $ BD = 5 $，$ DE = 6 $，则 $ CD $ 的长为______。

$11$

5. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB $ 的垂直平分线交 $ AB $ 于点 $ D $，交 $ BC $ 于点 $ E $。若 $ BC = 10 $，$ AC = 9 $，则 $ \triangle ACE $ 的周长为______。

$19$

6. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ D $ 为 $ BC $ 的中点，$ DE // AC $，$ DF // AB $。求证：$ BE = CF $。

【解析】：
- 因为$DE// AC$，$DF// AB$，所以四边形$AEDF$是平行四边形，所以$AE = DF$。
- 因为$D$为$BC$中点，所以$BD = CD$。
- 又因为$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$。
- 因为$DF// AB$，所以$\angle FDC=\angle B$。
- 在$\triangle BDE$和$\triangle DCF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle FDC\\BD = DC\\\angle BDE=\angle C\end{array}\right.$（$\angle BDE=\angle C$是因为$DE// AC$，同位角相等），所以$\triangle BDE\cong\triangle DCF(ASA)$，所以$BE = CF$。
【答案】：$BE = CF$

7. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，点 $ D $ 在 $ AC $ 上，且 $ BD = BC = AD $，求 $ \angle A $ 的度数。

【解析】：
设$\angle A = x$。
因为$AD = BD$，根据“等边对等角”，所以$\angle ABD=\angle A = x$。
根据三角形外角性质，$\angle BDC=\angle A+\angle ABD$，则$\angle BDC = 2x$。
又因为$BD = BC$，所以$\angle C=\angle BDC = 2x$。
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C = 2x$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$，即$x + 2x+2x=180^{\circ}$。
合并同类项得$5x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$。
【答案】：$36^{\circ}$