1. 如图所示,$∠ABC = 90^{\circ}$,$AE// BC$,$D为AC$上的一点,连接$ED并延长交BC于点F$,且$∠ABD = ∠DAE$. 问：$BD⊥AC$吗？为什么？

【解析】：
因为$AE// BC$，
根据两直线平行，内错角相等，同位角相等，
所以$\angle EAD=\angle C$，$\angle AEF=\angle CFE$，
因为$\angle ABD=\angle EAD$，
所以$\angle ABD=\angle C$，
在$\triangle ABC$中，$\angle C+\angle CAB=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-90^\circ=90^\circ$，
所以$\angle ABD+\angle CAB=90^\circ$，
所以$\angle ADB=180^\circ-90^\circ=90^\circ$，
所以$BD\perp AC$。
【答案】：$BD\perp AC$

2. 如图(a),木杆$EB与FC$平行,木杆的两端$B$,$C$用一根橡皮筋连接.

(1)在图(a)中,$∠B与∠C$有何关系？
(2)若将橡皮筋拉成图(b)的形状,则$∠A$,$∠B$,$∠C$之间有何关系？
(3)若将橡皮筋拉成图(c)的形状,则$∠A$,$∠B$,$∠C$之间有何关系？
(4)若将橡皮筋拉成图(d)的形状,则$∠A$,$∠B$,$∠C$之间有何关系？
(5)若将橡皮筋拉成图(e)的形状,则$∠A$,$∠B$,$∠C$之间有何关系？

【解析】：
(1) 因为木杆 $EB$ 与 $FC$ 平行，$\angle B$ 和 $\angle C$ 是同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，所以 $\angle B + \angle C = 180^\circ$。
(2) 过点 $A$ 作 $AD // EB$，因为 $EB // FC$，所以 $AD // FC$。则 $\angle B = \angle BAD$（两直线平行，内错角相等），$\angle C = \angle CAD$（两直线平行，内错角相等），所以 $\angle A = \angle BAD + \angle CAD = \angle B + \angle C$。
(3) 过点 $A$ 作 $AD // EB$，因为 $EB // FC$，所以 $AD // FC$。则 $\angle B + \angle BAD = 180^\circ$（两直线平行，同旁内角互补），$\angle C + \angle CAD = 180^\circ$（两直线平行，同旁内角互补），所以 $\angle B + \angle BAD + \angle C + \angle CAD = 360^\circ$，即 $\angle A + \angle B + \angle C = 360^\circ$。
(4) 过点 $A$ 作 $AD // EB$，因为 $EB // FC$，所以 $AD // FC$。则 $\angle B = \angle BAD$（两直线平行，内错角相等），$\angle C = \angle CAD$（两直线平行，内错角相等），所以 $\angle A = \angle BAD - \angle CAD = \angle B - \angle C$，即 $\angle A + \angle C = \angle B$。
(5) 过点 $A$ 作 $AD // EB$，因为 $EB // FC$，所以 $AD // FC$。则 $\angle B = \angle BAD$（两直线平行，内错角相等），$\angle C = \angle CAD$（两直线平行，内错角相等），所以 $\angle A = \angle CAD - \angle BAD = \angle C - \angle B$，即 $\angle A + \angle B = \angle C$。
【答案】：(1) $\angle B + \angle C = 180^\circ$；(2) $\angle A = \angle B + \angle C$；(3) $\angle A + \angle B + \angle C = 360^\circ$；(4) $\angle A + \angle C = \angle B$；(5) $\angle A + \angle B = \angle C$

动动脑筋
细胞分裂
有一种细胞分裂的速度非常快. 在最初一分钟,它由$1个分裂为2$个. 再过一分钟,已经分裂的$2个又各自分裂成2$个,一共就有$4$个. 照这个速度,一小时分裂的细胞就可以充满一个瓶子.
同样的细胞,假如最初是由$2$个开始分裂,想要分裂的细胞充满同样的一个瓶子,需要用多长时间呢？

解：
已知$1$个细胞分裂，$1$小时（$60$分钟）充满瓶子。
$1$个细胞第$1$分钟分裂为$2$个，从$2$个细胞开始分裂，就相当于$1$个细胞分裂$1$分钟后开始的状态。
所以从$2$个开始分裂充满瓶子需要$60 - 1=59$（分钟）。
答：需要用$59$分钟。