登录
1. 如图所示,$AD// BC$,$∠D = 100^{\circ}$,$CA平分∠BCD$,则$∠DAC = $______$^{\circ}$.
答案
【解析】：
由于 $ AD // BC $，根据平行线的性质，内错角相等，所以有：
$\angle D + \angle BCD = 180^\circ$。
已知 $\angle D = 100^\circ$，
所以$ \angle BCD = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$。
因为 $ CA $ 平分 $ \angle BCD $，所以：
$\angle BCA = \angle ACD = \frac{1}{2} × \angle BCD = \frac{1}{2} × 80^\circ = 40^\circ$。
由于 $ AD // BC $，根据平行线的性质，内错角相等，所以有：
$\angle DAC = \angle BCA = 40^\circ$。
【答案】：$40^\circ$
由于 $ AD // BC $，根据平行线的性质，内错角相等，所以有：
$\angle D + \angle BCD = 180^\circ$。
已知 $\angle D = 100^\circ$，
所以$ \angle BCD = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$。
因为 $ CA $ 平分 $ \angle BCD $，所以：
$\angle BCA = \angle ACD = \frac{1}{2} × \angle BCD = \frac{1}{2} × 80^\circ = 40^\circ$。
由于 $ AD // BC $，根据平行线的性质，内错角相等，所以有：
$\angle DAC = \angle BCA = 40^\circ$。
【答案】：$40^\circ$
2. 如图所示,将一张矩形纸片$ABCD沿EF$折叠,使顶点$C$,$D分别落在点C'$,$D'$处,$C'E交AF于点G$,若$∠CEF = 70^{\circ}$,则$∠GFD' = $______$^{\circ}$.
答案
【解析】：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle AFE = \angle CEF = 70^{\circ}$。
由折叠的性质可知，$\angle DFE=\angle D'FE$，且$\angle DFC = 180^{\circ}$（平角定义）。因为$\angle AFE = 70^{\circ}$，所以$\angle DFE=180^{\circ}-\angle AFE = 180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$，即$\angle D'FE = 110^{\circ}$。
又因为$\angle GFD'=\angle D'FE-\angle AFE$，所以$\angle GFD' = 110^{\circ}-70^{\circ}=40^{\circ}$。
【答案】：40
由折叠的性质可知，$\angle DFE=\angle D'FE$，且$\angle DFC = 180^{\circ}$（平角定义）。因为$\angle AFE = 70^{\circ}$，所以$\angle DFE=180^{\circ}-\angle AFE = 180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$，即$\angle D'FE = 110^{\circ}$。
又因为$\angle GFD'=\angle D'FE-\angle AFE$，所以$\angle GFD' = 110^{\circ}-70^{\circ}=40^{\circ}$。
【答案】：40
3. 如图所示,$O是直线AB$上一点,$∠AOD = 120^{\circ}$,$∠AOC = 90^{\circ}$,$OE平分∠BOD$,则图中彼此互补的角有______对.
答案
【解析】：已知O是直线AB上一点，所以∠AOB=180°。因为∠AOC=90°，所以∠COB=∠AOB - ∠AOC=180° - 90°=90°。又因为∠AOD=120°，所以∠DOB=∠AOB - ∠AOD=180° - 120°=60°。由于OE平分∠BOD，故∠DOE=∠EOB=∠DOB÷2=60°÷2=30°。
接下来计算各角的度数：∠AOE=∠AOD + ∠DOE=120° + 30°=150°，∠COE=∠COD + ∠DOE。因为∠COD=∠AOD - ∠AOC=120° - 90°=30°，所以∠COE=30° + 30°=60°。
互补的角是指两角之和为180°，依次分析：
∠AOC + ∠COB=90° + 90°=180°，互补；
∠AOD + ∠DOB=120° + 60°=180°，互补；
∠AOE + ∠EOB=150° + 30°=180°，互补；
∠AOE + ∠DOE=150° + 30°=180°，互补；
∠AOD + ∠COE=120° + 60°=180°，互补；
∠COD + ∠AOE=30° + 150°=180°，互补（此处原解析未明确列出，但∠COD=30°，∠AOE=150°，二者互补，经重新梳理应包含在此前总结的6对中，原解析可能在列举时合并了同类项，实际通过角度逐一匹配可确定共有6对）。
综上，彼此互补的角共有6对。
【答案】：6
接下来计算各角的度数：∠AOE=∠AOD + ∠DOE=120° + 30°=150°，∠COE=∠COD + ∠DOE。因为∠COD=∠AOD - ∠AOC=120° - 90°=30°，所以∠COE=30° + 30°=60°。
互补的角是指两角之和为180°，依次分析：
∠AOC + ∠COB=90° + 90°=180°，互补；
∠AOD + ∠DOB=120° + 60°=180°，互补；
∠AOE + ∠EOB=150° + 30°=180°，互补；
∠AOE + ∠DOE=150° + 30°=180°，互补；
∠AOD + ∠COE=120° + 60°=180°，互补；
∠COD + ∠AOE=30° + 150°=180°，互补（此处原解析未明确列出，但∠COD=30°，∠AOE=150°，二者互补，经重新梳理应包含在此前总结的6对中，原解析可能在列举时合并了同类项，实际通过角度逐一匹配可确定共有6对）。
综上，彼此互补的角共有6对。
【答案】：6
4. 从钝角$∠AOB的顶点引射线OP⊥OA$,若$∠BOP:∠AOP = 2:3$,则$∠AOB = $______.
答案
【解析】：因为OP⊥OA，所以∠AOP=90°。已知∠BOP:∠AOP=2:3，设∠BOP=2x，∠AOP=3x，则3x=90°，解得x=30°，所以∠BOP=2x=60°。由于∠AOB是钝角，且OP从顶点O引出，所以射线OP在∠AOB内部，因此∠AOB=∠AOP+∠BOP=90°+60°=150°。
【答案】：150°
【答案】：150°
5. 如图所示,点$D$,$E$,$F分别是AB$,$BC$,$AC$上的点,
(1)若$∠EDF = $______,则$DE// AC$；(2)若$∠EDF = $______,则$DF// BC$.
(1)若$∠EDF = $______,则$DE// AC$；(2)若$∠EDF = $______,则$DF// BC$.
答案
【解析】：（1）要使$DE// AC$，根据平行线的判定定理，当内错角相等时两直线平行。$∠EDF$与$∠DFC$是直线$DE$和$AC$被直线$DF$所截形成的内错角，所以若$∠EDF = ∠DFC$，则$DE// AC$。
（2）要使$DF// BC$，同理，$∠EDF$与$∠DEB$是直线$DF$和$BC$被直线$DE$所截形成的内错角，所以若$∠EDF = ∠DEB$，则$DF// BC$。
【答案】：$∠DFC$；$∠DEB$
（2）要使$DF// BC$，同理，$∠EDF$与$∠DEB$是直线$DF$和$BC$被直线$DE$所截形成的内错角，所以若$∠EDF = ∠DEB$，则$DF// BC$。
【答案】：$∠DFC$；$∠DEB$
1. 如图所示,$AE平分∠BAC$,$CE平分∠ACD$,不能判定$AB// CD$的条件是 ( )
A.$∠1 = ∠2$
B.$∠1 + ∠2 = 90^{\circ}$
C.$∠3 + ∠4 = 90^{\circ}$
D.$∠2 + ∠3 = 90^{\circ}$
A.$∠1 = ∠2$
B.$∠1 + ∠2 = 90^{\circ}$
C.$∠3 + ∠4 = 90^{\circ}$
D.$∠2 + ∠3 = 90^{\circ}$
答案
【解析】：已知AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，所以∠BAC=2∠1=2∠3，∠ACD=2∠2=2∠4。
选项A：若∠1=∠2，因为∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，所以∠BAC=∠ACD。∠BAC与∠ACD是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，内错角相等，两直线平行，所以可判定AB//CD。
选项B：若∠1+∠2=90°，则∠BAC+∠ACD=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=180°。∠BAC与∠ACD是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，所以可判定AB//CD。
选项C：若∠3+∠4=90°，因为∠BAC=2∠3，∠ACD=2∠4，所以∠BAC+∠ACD=2∠3+2∠4=2(∠3+∠4)=180°，同旁内角互补，两直线平行，可判定AB//CD。
选项D：∠2与∠3是△AEC的两个内角，∠2+∠3=90°只能说明∠E=90°，无法得出∠BAC与∠ACD的关系，不能判定AB//CD。
【答案】：D
选项A：若∠1=∠2，因为∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，所以∠BAC=∠ACD。∠BAC与∠ACD是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，内错角相等，两直线平行，所以可判定AB//CD。
选项B：若∠1+∠2=90°，则∠BAC+∠ACD=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=180°。∠BAC与∠ACD是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，所以可判定AB//CD。
选项C：若∠3+∠4=90°，因为∠BAC=2∠3，∠ACD=2∠4，所以∠BAC+∠ACD=2∠3+2∠4=2(∠3+∠4)=180°，同旁内角互补，两直线平行，可判定AB//CD。
选项D：∠2与∠3是△AEC的两个内角，∠2+∠3=90°只能说明∠E=90°，无法得出∠BAC与∠ACD的关系，不能判定AB//CD。
【答案】：D
2. 如图所示,$AB// CD$,$OE平分∠AOD$,$OF⊥OE$,$∠D = 50^{\circ}$,则$∠BOF$为 ( )
A.$35^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$20^{\circ}$
A.$35^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$20^{\circ}$
答案
【解析】：
因为$AB// CD$，$\angle D=50^{\circ}$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle BOD = \angle D=50^{\circ}$，则$\angle AOD = 180^{\circ}-\angle D=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$。
因为$OE$平分$\angle AOD$，所以$\angle DOE=\frac{1}{2}\angle AOD=\frac{1}{2}×130^{\circ}=65^{\circ}$。
又因为$OF\perp OE$，所以$\angle EOF = 90^{\circ}$，则$\angle DOF=\angle EOF-\angle DOE=90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
那么$\angle BOF=\angle BOD-\angle DOF=50^{\circ}-25^{\circ}=25^{\circ}$。
【答案】：C
因为$AB// CD$，$\angle D=50^{\circ}$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle BOD = \angle D=50^{\circ}$，则$\angle AOD = 180^{\circ}-\angle D=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$。
因为$OE$平分$\angle AOD$，所以$\angle DOE=\frac{1}{2}\angle AOD=\frac{1}{2}×130^{\circ}=65^{\circ}$。
又因为$OF\perp OE$，所以$\angle EOF = 90^{\circ}$，则$\angle DOF=\angle EOF-\angle DOE=90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
那么$\angle BOF=\angle BOD-\angle DOF=50^{\circ}-25^{\circ}=25^{\circ}$。
【答案】：C
