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1. 相似三角形的相关概念与性质
(1)把三个角对应
(2)相似三角形的对应角
(3)相似三角形的
(1)把三个角对应
相等
且三条边对应成比例
的两个三角形称为相似三角形.(2)相似三角形的对应角
相等
，对应边成比例
.(3)相似三角形的
对应边的比
叫作相似比.答案
1. (1) 相等 成比例
(2) 相等 成比例
(3) 对应边的比
(2) 相等 成比例
(3) 对应边的比
解析
【分析】
本题考查相似三角形的基础概念，属于识记类题型，解题时直接对应教材中相关概念逐一填空即可：首先回忆相似三角形的定义内容完成第(1)问，再回忆相似三角形的性质特征完成第(2)问，最后回忆相似比的定义完成第(3)问。
【解析】
(1) 根据相似三角形的定义：三个角对应相等且三条边对应成比例的两个三角形称为相似三角形，因此依次填写相等、成比例；
(2) 根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，因此依次填写相等、成比例；
(3) 根据相似比的定义：相似三角形的对应边的比叫作相似比，因此填写对应边的比。
【答案】
(1) 相等 成比例
(2) 相等 成比例
(3) 对应边的比
【知识点】
相似三角形的定义；相似三角形的性质；相似比的概念
【点评】
本题是相似三角形板块的入门基础题，侧重考查核心概念的识记掌握情况，是后续学习相似三角形判定、实际应用的基础，需牢固记忆相关概念。
【难度系数】
0.9
本题考查相似三角形的基础概念，属于识记类题型，解题时直接对应教材中相关概念逐一填空即可：首先回忆相似三角形的定义内容完成第(1)问，再回忆相似三角形的性质特征完成第(2)问，最后回忆相似比的定义完成第(3)问。
【解析】
(1) 根据相似三角形的定义：三个角对应相等且三条边对应成比例的两个三角形称为相似三角形，因此依次填写相等、成比例；
(2) 根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，因此依次填写相等、成比例；
(3) 根据相似比的定义：相似三角形的对应边的比叫作相似比，因此填写对应边的比。
【答案】
(1) 相等 成比例
(2) 相等 成比例
(3) 对应边的比
【知识点】
相似三角形的定义；相似三角形的性质；相似比的概念
【点评】
本题是相似三角形板块的入门基础题，侧重考查核心概念的识记掌握情况，是后续学习相似三角形判定、实际应用的基础，需牢固记忆相关概念。
【难度系数】
0.9
2. 相似多边形的相关概念与性质
(1)对于两个边数相同的多边形,如果它们的对应角
(2)相似多边形的
(3)相似多边形的对应角
(1)对于两个边数相同的多边形,如果它们的对应角
相等
、对应边成比例
,那么这两个多边形叫作相似多边形.(2)相似多边形的
对应边的比
是相似比.(3)相似多边形的对应角
相等
,对应边成比例
.答案
2. (1) 相等 成比例
(2) 对应边的比
(3) 相等 成比例
(2) 对应边的比
(3) 相等 成比例
解析
【分析】
本题考查相似多边形的相关概念与性质，属于基础识记类题目。解题时只需对应回忆相关知识点即可：首先明确相似多边形的判定前提是边数相同，核心判定条件为对应角相等、对应边成比例；其次相似比的定义是相似多边形对应边的比值；最后相似多边形的性质和判定核心条件对应，也是对应角相等、对应边成比例，逐一匹配填空即可。
【解析】
(1) 根据相似多边形的定义：边数相同的两个多边形，若对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形，因此依次填相等、成比例；
(2) 根据相似比的定义：相似多边形的对应边的比叫作相似比，因此填对应边的比；
(3) 根据相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，因此依次填相等、成比例。
【答案】
(1) 相等 成比例
(2) 对应边的比
(3) 相等 成比例
【知识点】
相似多边形的定义；相似比的定义；相似多边形的性质
【点评】
本题侧重考查基础概念的识记，难度较低，熟练掌握相似多边形的相关定义和性质即可准确作答，是后续学习相似图形相关内容的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查相似多边形的相关概念与性质，属于基础识记类题目。解题时只需对应回忆相关知识点即可：首先明确相似多边形的判定前提是边数相同，核心判定条件为对应角相等、对应边成比例；其次相似比的定义是相似多边形对应边的比值；最后相似多边形的性质和判定核心条件对应，也是对应角相等、对应边成比例，逐一匹配填空即可。
【解析】
(1) 根据相似多边形的定义：边数相同的两个多边形，若对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形，因此依次填相等、成比例；
(2) 根据相似比的定义：相似多边形的对应边的比叫作相似比，因此填对应边的比；
(3) 根据相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，因此依次填相等、成比例。
【答案】
(1) 相等 成比例
(2) 对应边的比
(3) 相等 成比例
【知识点】
相似多边形的定义；相似比的定义；相似多边形的性质
【点评】
本题侧重考查基础概念的识记，难度较低，熟练掌握相似多边形的相关定义和性质即可准确作答，是后续学习相似图形相关内容的基础。
【难度系数】
0.9
【例1】如图，已知$△ ABC ∽ △ ADE$，$AB = 18\ \mathrm{cm}$，$BD=12\ \mathrm{cm}$，$BC=24\ \mathrm{cm}$，$∠ BAC=75°$，$∠ ABC=40°$。
(1)求$∠ ADE$和$∠ AED$的大小；
(2)求$DE$的长。
(1)求$∠ ADE$和$∠ AED$的大小；
(2)求$DE$的长。
答案
(1) 解:$\because ∠BAC=75°,∠ABC=40°$，
$\therefore ∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=65°$。
$\because △ABC ∽ △ADE$，
$\therefore ∠ADE=∠ABC=40°,∠AED=∠ACB=65°$。
(2) 解:$\because △ABC ∽ △ADE,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
$\because AB=18\ \mathrm{cm},BD=12\ \mathrm{cm},BC=24\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{18-12}{18}=\frac{DE}{24},\therefore DE=8\ \mathrm{cm}$。
$\therefore ∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=65°$。
$\because △ABC ∽ △ADE$，
$\therefore ∠ADE=∠ABC=40°,∠AED=∠ACB=65°$。
(2) 解:$\because △ABC ∽ △ADE,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
$\because AB=18\ \mathrm{cm},BD=12\ \mathrm{cm},BC=24\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{18-12}{18}=\frac{DE}{24},\therefore DE=8\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 求解角度时，首先利用三角形内角和为180°算出△ABC中未知的∠ACB的度数，再结合相似三角形对应角相等的性质，直接找到∠ADE、∠AED对应的△ABC的内角，即可得到二者的度数。
(2) 求解DE长度时，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出AD、AB、DE、BC的比例关系，先通过AB和BD的长度差算出AD，再将已知边长代入比例式计算即可得到DE的长。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∵ ∠BAC=75°，∠ABC=40°，
∴ ∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-75°-40°=65°。
∵ △ABC ∽ △ADE，相似三角形对应角相等，
∴ ∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠ACB=65°。
(2)
∵ △ABC ∽ △ADE，相似三角形对应边成比例，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
先计算AD的长度：AD=AB-BD=18-12=6(cm)，
将AB=18cm，BC=24cm，AD=6cm代入比例式：
$\frac{6}{18}=\frac{DE}{24}$，
解得$DE=\frac{6×24}{18}=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) ∠ADE=40°，∠AED=65°；
(2) DE=8 cm
【知识点】
三角形内角和定理，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础巩固类习题，解题核心是准确找到相似三角形的对应角和对应边，结合基础的三角形内角和与比例计算即可完成求解，能够帮助学生熟练掌握相似三角形的基础性质。
【难度系数】
0.8
(1) 求解角度时，首先利用三角形内角和为180°算出△ABC中未知的∠ACB的度数，再结合相似三角形对应角相等的性质，直接找到∠ADE、∠AED对应的△ABC的内角，即可得到二者的度数。
(2) 求解DE长度时，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出AD、AB、DE、BC的比例关系，先通过AB和BD的长度差算出AD，再将已知边长代入比例式计算即可得到DE的长。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∵ ∠BAC=75°，∠ABC=40°，
∴ ∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-75°-40°=65°。
∵ △ABC ∽ △ADE，相似三角形对应角相等，
∴ ∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠ACB=65°。
(2)
∵ △ABC ∽ △ADE，相似三角形对应边成比例，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
先计算AD的长度：AD=AB-BD=18-12=6(cm)，
将AB=18cm，BC=24cm，AD=6cm代入比例式：
$\frac{6}{18}=\frac{DE}{24}$，
解得$DE=\frac{6×24}{18}=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) ∠ADE=40°，∠AED=65°；
(2) DE=8 cm
【知识点】
三角形内角和定理，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础巩固类习题，解题核心是准确找到相似三角形的对应角和对应边，结合基础的三角形内角和与比例计算即可完成求解，能够帮助学生熟练掌握相似三角形的基础性质。
【难度系数】
0.8
【变式】(2025成都期末)如图，$△ ABC ∽ △ DEF$，它们的相似比是$4:5$，已知$AB=6$，则$DE$的长是（
A.4
B.$\frac{10}{3}$
C.5
D.$\frac{15}{2}$
D
）A.4
B.$\frac{10}{3}$
C.5
D.$\frac{15}{2}$
答案
D
解析
【分析】
解决本题的核心是运用相似三角形的性质，思考路径如下：首先看到题目给出两个三角形相似且给出相似比，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形对应边的比值等于相似比；再根据相似三角形的顶点对应关系，确定AB的对应边是DE，由此得到AB与DE的比例等式，最后代入已知的AB长度，解比例即可求出DE的长，解题时要注意相似比的前后项要和两个三角形的顺序对应，避免写反比例。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △DEF，相似比为$4:5$，
∴相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{DE}=\frac{4}{5}$，
把$AB=6$代入比例式得：$\frac{6}{DE}=\frac{4}{5}$，
交叉相乘计算得：$4DE=6×5$，
解得$DE=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质、比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题关键是找准对应边、明确相似比的对应关系，只要掌握相似三角形对应边成比例的性质，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是运用相似三角形的性质，思考路径如下：首先看到题目给出两个三角形相似且给出相似比，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形对应边的比值等于相似比；再根据相似三角形的顶点对应关系，确定AB的对应边是DE，由此得到AB与DE的比例等式，最后代入已知的AB长度，解比例即可求出DE的长，解题时要注意相似比的前后项要和两个三角形的顺序对应，避免写反比例。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △DEF，相似比为$4:5$，
∴相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{DE}=\frac{4}{5}$，
把$AB=6$代入比例式得：$\frac{6}{DE}=\frac{4}{5}$，
交叉相乘计算得：$4DE=6×5$，
解得$DE=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质、比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题关键是找准对应边、明确相似比的对应关系，只要掌握相似三角形对应边成比例的性质，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【例2】如图，四边形$ABCD ∽$四边形$EFGH$. 若$AB=18$，$EF=4$，$FG=6$，$∠ B=77°$，$∠ C=83°$，$∠ E=117°$，求线段$BC$的长和$∠ H$的大小.
答案
解:$\because$ 四边形$ABCD ∽$四边形$EFGH$，
$\therefore ∠F=∠B=77°,∠G=∠C=83°$，
$\frac{EF}{AB}=\frac{FG}{BC}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$，
$\therefore ∠H=360°-(∠E+∠F+∠G)=83°$，
$BC=FG÷\frac{2}{9}=6×\frac{9}{2}=27$。
$\therefore ∠F=∠B=77°,∠G=∠C=83°$，
$\frac{EF}{AB}=\frac{FG}{BC}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$，
$\therefore ∠H=360°-(∠E+∠F+∠G)=83°$，
$BC=FG÷\frac{2}{9}=6×\frac{9}{2}=27$。
解析
【分析】
本题已知两个四边形相似，要求未知边长度和未知角度数，解题思路如下：首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形对应角相等、对应边成比例。①求BC的长：先确定对应边，AB与EF是对应边，BC与FG是对应边，根据对应边成比例列等式，代入已知数值即可计算BC；②求∠H的度数：先根据对应角相等得到∠F、∠G的度数，再结合四边形内角和为360°，用内角和减去三个已知角的度数即可求出∠H。
【解析】
$\because$ 四边形$ABCD ∽$四边形$EFGH$，
$\therefore$ 相似多边形对应角相等、对应边成比例，可得：
$∠F=∠B=77°$，$∠G=∠C=83°$，$\frac{EF}{AB}=\frac{FG}{BC}$，
将$AB=18$，$EF=4$，$FG=6$代入比例式得：$\frac{4}{18}=\frac{6}{BC}$，
化简得$\frac{2}{9}=\frac{6}{BC}$，解得$BC=\frac{6×9}{2}=27$。
又$\because$ 四边形内角和为$360°$，
$\therefore ∠H=360°-∠E-∠F-∠G=360°-117°-77°-83°=83°$。
【答案】
BC的长为27，$\boldsymbol{∠H=83°}$。
【知识点】
相似多边形的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题属于相似多边形的基础应用题，解题的关键是准确识别相似图形的对应边和对应角，结合多边形内角和公式计算即可，注意不要混淆相似图形的对应关系。
【难度系数】
0.8
本题已知两个四边形相似，要求未知边长度和未知角度数，解题思路如下：首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形对应角相等、对应边成比例。①求BC的长：先确定对应边，AB与EF是对应边，BC与FG是对应边，根据对应边成比例列等式，代入已知数值即可计算BC；②求∠H的度数：先根据对应角相等得到∠F、∠G的度数，再结合四边形内角和为360°，用内角和减去三个已知角的度数即可求出∠H。
【解析】
$\because$ 四边形$ABCD ∽$四边形$EFGH$，
$\therefore$ 相似多边形对应角相等、对应边成比例，可得：
$∠F=∠B=77°$，$∠G=∠C=83°$，$\frac{EF}{AB}=\frac{FG}{BC}$，
将$AB=18$，$EF=4$，$FG=6$代入比例式得：$\frac{4}{18}=\frac{6}{BC}$，
化简得$\frac{2}{9}=\frac{6}{BC}$，解得$BC=\frac{6×9}{2}=27$。
又$\because$ 四边形内角和为$360°$，
$\therefore ∠H=360°-∠E-∠F-∠G=360°-117°-77°-83°=83°$。
【答案】
BC的长为27，$\boldsymbol{∠H=83°}$。
【知识点】
相似多边形的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题属于相似多边形的基础应用题，解题的关键是准确识别相似图形的对应边和对应角，结合多边形内角和公式计算即可，注意不要混淆相似图形的对应关系。
【难度系数】
0.8
【变式】如图所示的三个矩形中，其中相似的是（
A.甲和乙
B.乙和丙
C.甲和丙
D.以上都不对
B
）A.甲和乙
B.乙和丙
C.甲和丙
D.以上都不对
答案
B
解析
【分析】
要判断矩形是否相似，首先回忆相似多边形的判定条件：①对应角相等；②对应边成比例，两个条件缺一不可。因为矩形的四个内角都是90°，天然满足对应角相等的条件，因此只需要分别计算三个矩形邻边的比值，哪两个矩形的邻边比值相等，就说明它们的对应边成比例，即为相似矩形。
【解析】
∵矩形的所有内角均为直角，
∴甲、乙、丙三个矩形的对应角都相等，只需判断邻边是否对应成比例即可。
计算各矩形邻边的比值：
甲矩形：长:宽 = 4:3 = $\frac{4}{3}$；
乙矩形：长:宽 = 2:1 = 2；
丙矩形：长:宽 = 4:2 = 2。
可见乙和丙的邻边比值相等，即对应边成比例，因此乙和丙相似。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的判定、矩形的性质
【点评】
本题解题的关键是明确相似多边形的两个判定条件，结合矩形的性质简化判定过程，只需验证边的比例关系即可，注意不要混淆对应边的比的顺序。
【难度系数】
0.8
要判断矩形是否相似，首先回忆相似多边形的判定条件：①对应角相等；②对应边成比例，两个条件缺一不可。因为矩形的四个内角都是90°，天然满足对应角相等的条件，因此只需要分别计算三个矩形邻边的比值，哪两个矩形的邻边比值相等，就说明它们的对应边成比例，即为相似矩形。
【解析】
∵矩形的所有内角均为直角，
∴甲、乙、丙三个矩形的对应角都相等，只需判断邻边是否对应成比例即可。
计算各矩形邻边的比值：
甲矩形：长:宽 = 4:3 = $\frac{4}{3}$；
乙矩形：长:宽 = 2:1 = 2；
丙矩形：长:宽 = 4:2 = 2。
可见乙和丙的邻边比值相等，即对应边成比例，因此乙和丙相似。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的判定、矩形的性质
【点评】
本题解题的关键是明确相似多边形的两个判定条件，结合矩形的性质简化判定过程，只需验证边的比例关系即可，注意不要混淆对应边的比的顺序。
【难度系数】
0.8
1. 下列图形一定相似的是 （
A.两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.两个矩形
D.两个平行四边形
B
）A.两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.两个矩形
D.两个平行四边形
答案
1. B
解析
【分析】
要判断两个图形是否相似，需紧扣相似多边形的判定条件：①对应角相等；②对应边成比例，两个条件必须同时满足，缺一不可。解题时我们结合各选项中特殊图形的性质，逐一验证两个条件是否一定成立即可。
【解析】
相似多边形需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，我们逐个分析选项：
A. 两个等腰三角形的顶角不一定相等，对应底角也随之不同，无法保证对应角相等，且对应边也不一定成比例，因此不一定相似，排除；
B. 等边三角形的三个内角均为60°，任意两个等边三角形的对应角都相等；同时等边三角形三边长度相等，因此对应边的比值一定相等，两个相似条件均满足，一定相似；
C. 两个矩形的四个角都是直角，对应角相等，但矩形的长与宽的比值不一定相等，无法保证对应边成比例，因此不一定相似，排除；
D. 两个平行四边形的内角大小、边长比例都没有固定限制，无法保证对应角相等、对应边成比例，因此不一定相似，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似多边形的判定
2. 等边三角形的性质
3. 特殊四边形的性质
【点评】
本题是相似图形判定的基础题型，核心考查对相似判定条件的理解，需要注意不能仅通过对应角相等或仅通过对应边成比例就判定图形相似，需结合各类特殊图形的性质逐一验证两个条件是否同时成立。
【难度系数】
0.9
要判断两个图形是否相似，需紧扣相似多边形的判定条件：①对应角相等；②对应边成比例，两个条件必须同时满足，缺一不可。解题时我们结合各选项中特殊图形的性质，逐一验证两个条件是否一定成立即可。
【解析】
相似多边形需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，我们逐个分析选项：
A. 两个等腰三角形的顶角不一定相等，对应底角也随之不同，无法保证对应角相等，且对应边也不一定成比例，因此不一定相似，排除；
B. 等边三角形的三个内角均为60°，任意两个等边三角形的对应角都相等；同时等边三角形三边长度相等，因此对应边的比值一定相等，两个相似条件均满足，一定相似；
C. 两个矩形的四个角都是直角，对应角相等，但矩形的长与宽的比值不一定相等，无法保证对应边成比例，因此不一定相似，排除；
D. 两个平行四边形的内角大小、边长比例都没有固定限制，无法保证对应角相等、对应边成比例，因此不一定相似，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似多边形的判定
2. 等边三角形的性质
3. 特殊四边形的性质
【点评】
本题是相似图形判定的基础题型，核心考查对相似判定条件的理解，需要注意不能仅通过对应角相等或仅通过对应边成比例就判定图形相似，需结合各类特殊图形的性质逐一验证两个条件是否同时成立。
【难度系数】
0.9
