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【例2】在一次有12个队参加的足球循环赛（每两个队之间只赛一场）中，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.某队在这次循环赛中，胜场数比负场数多2场，共积18分，问：该队胜了多少场？
解：
【规律方法】
比赛积分问题中的等量关系
（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数.
（2）比赛总积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分.
解：
【规律方法】
比赛积分问题中的等量关系
（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数.
（2）比赛总积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分.
答案
该队胜了 5 场.
解析
【分析】
解题时首先明确单循环赛制的规则：12个队参赛，每队需和除自己外的其余11个队各赛1场，因此该队总参赛场数为11场。题目给出胜场与负场的数量关系、总积分，可通过列一元一次方程求解：先设负场数为未知数，用未知数表示出胜场数和平场数，再根据“总积分=胜场积分+平场积分+负场积分”的等量关系列方程，解方程后即可求出胜场数。
【解析】
解：12个队进行单循环赛，每个队的比赛总场数为 $12-1=11$ 场。
设该队负了 $x$ 场，则胜了 $(x+2)$ 场，平的场数为 $11 - x - (x+2) = 9-2x$ 场。
根据总积分是18分列方程：
$3(x+2) + 1×(9-2x) + 0× x = 18$
展开化简得：
$3x + 6 + 9 - 2x = 18$
$x + 15 = 18$
解得 $x=3$
所以胜场数为 $x+2=3+2=5$ 场。
【答案】
该队胜了5场。
【知识点】
一元一次方程的应用；比赛积分问题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题的核心是先准确计算单循环赛制下单个队伍的总参赛场数，再结合积分规则找准等量关系列方程，整体计算量小，主要考查审题能力和找等量关系列方程的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确单循环赛制的规则：12个队参赛，每队需和除自己外的其余11个队各赛1场，因此该队总参赛场数为11场。题目给出胜场与负场的数量关系、总积分，可通过列一元一次方程求解：先设负场数为未知数，用未知数表示出胜场数和平场数，再根据“总积分=胜场积分+平场积分+负场积分”的等量关系列方程，解方程后即可求出胜场数。
【解析】
解：12个队进行单循环赛，每个队的比赛总场数为 $12-1=11$ 场。
设该队负了 $x$ 场，则胜了 $(x+2)$ 场，平的场数为 $11 - x - (x+2) = 9-2x$ 场。
根据总积分是18分列方程：
$3(x+2) + 1×(9-2x) + 0× x = 18$
展开化简得：
$3x + 6 + 9 - 2x = 18$
$x + 15 = 18$
解得 $x=3$
所以胜场数为 $x+2=3+2=5$ 场。
【答案】
该队胜了5场。
【知识点】
一元一次方程的应用；比赛积分问题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题的核心是先准确计算单循环赛制下单个队伍的总参赛场数，再结合积分规则找准等量关系列方程，整体计算量小，主要考查审题能力和找等量关系列方程的能力。
【难度系数】
0.7
|变式训练|
2.某中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.已知七(1)班在8场比赛中共得到13分，则七(1)班胜、负场数分别是多少？
2.某中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.已知七(1)班在8场比赛中共得到13分，则七(1)班胜、负场数分别是多少？
答案
2. 七(1)班胜了5场，负了3场.
解析
【分析】
这是一道比赛积分类的一元一次方程应用题，解题时首先要梳理题中的等量关系：①胜场数+负场数=总场数8场；②胜场总得分+负场总得分=总得分13分。我们可以先设胜场数为x，再用含x的式子表示出负场数，最后根据得分的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设七(1)班胜了$ x $场，则负了$ (8-x) $场。
根据总得分列方程：
$ 2x + 1×(8-x) = 13 $
去括号得：$ 2x + 8 - x = 13 $
合并同类项得：$ x + 8 = 13 $
移项解得：$ x = 5 $
则负场数为：$ 8 - 5 = 3 $（场）
经检验，胜5场、负3场时总得分$ 5×2 + 3×1 = 13 $分，符合题意。
【答案】
七(1)班胜了5场，负了3场。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础的积分类应用题，解题核心是找准题目中的等量关系，合理设未知数后列出方程求解即可，掌握一元一次方程解应用题的基本步骤就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
这是一道比赛积分类的一元一次方程应用题，解题时首先要梳理题中的等量关系：①胜场数+负场数=总场数8场；②胜场总得分+负场总得分=总得分13分。我们可以先设胜场数为x，再用含x的式子表示出负场数，最后根据得分的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设七(1)班胜了$ x $场，则负了$ (8-x) $场。
根据总得分列方程：
$ 2x + 1×(8-x) = 13 $
去括号得：$ 2x + 8 - x = 13 $
合并同类项得：$ x + 8 = 13 $
移项解得：$ x = 5 $
则负场数为：$ 8 - 5 = 3 $（场）
经检验，胜5场、负3场时总得分$ 5×2 + 3×1 = 13 $分，符合题意。
【答案】
七(1)班胜了5场，负了3场。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础的积分类应用题，解题核心是找准题目中的等量关系，合理设未知数后列出方程求解即可，掌握一元一次方程解应用题的基本步骤就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
【例3】某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1 000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4 500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7 500元.当地一家公司收获这种蔬菜140 t.该公司加工厂的生产能力：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 t；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6 t，但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制，该公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此，该公司有三种方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工.
方案二：将部分蔬菜进行精加工，其余粗加工，并恰好用15天完成.
方案三：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行精加工的蔬菜，在市场上直接出售.
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
解：
【规律方法】
解决方案决策问题的常用策略
(1)先确定方案的个数.
(2)根据题目中的不同方案列出方程并求解，再进行比较.
方案一：将蔬菜全部进行粗加工.
方案二：将部分蔬菜进行精加工，其余粗加工，并恰好用15天完成.
方案三：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行精加工的蔬菜，在市场上直接出售.
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
解：
【规律方法】
解决方案决策问题的常用策略
(1)先确定方案的个数.
(2)根据题目中的不同方案列出方程并求解，再进行比较.
答案
选择第二种方案获利最多.理由如下：
设总利润为W.
方案一:因为每天粗加工16 t,140 t可以在15天内加工完，
所以总利润W₁=4 500×140=630 000(元).
方案二:设15天中粗加工蔬菜x天,则精加工蔬菜(15−x)天.
由题意,得16x+6(15−x)=140.
解得x=5.
所以粗加工5天,精加工15−5=10(天).
所以总利润W₂=6×10×7 500+16×5×4 500=810 000(元).
方案三:由题意,得每天精加工6 t,15天一共可以精加工6×15=90(t),则直接销售的蔬菜有140−90=50(t),
所以总利润W₃=90×7 500+50×1 000=725 000(元).
因为W₁＜W₃＜W₂,所以选择第二种方案获利最多.
设总利润为W.
方案一:因为每天粗加工16 t,140 t可以在15天内加工完，
所以总利润W₁=4 500×140=630 000(元).
方案二:设15天中粗加工蔬菜x天,则精加工蔬菜(15−x)天.
由题意,得16x+6(15−x)=140.
解得x=5.
所以粗加工5天,精加工15−5=10(天).
所以总利润W₂=6×10×7 500+16×5×4 500=810 000(元).
方案三:由题意,得每天精加工6 t,15天一共可以精加工6×15=90(t),则直接销售的蔬菜有140−90=50(t),
所以总利润W₃=90×7 500+50×1 000=725 000(元).
因为W₁＜W₃＜W₂,所以选择第二种方案获利最多.
解析
【分析】
这是一道方案最优选择类应用题，解题核心是分别计算三种方案的总利润，再比较大小选出获利最高的方案。思考步骤如下：第一步，计算方案一的利润：先验证15天能否完成全部粗加工，若可以，直接用粗加工每吨利润乘总吨数即可；第二步，计算方案二的利润：两种加工方式总时长为15天，总加工量为140t，设粗加工天数为未知数，根据“粗加工总吨数+精加工总吨数=140t”的等量关系列一元一次方程，求解得到两种加工的天数后，分别计算对应利润求和；第三步，计算方案三的利润：15天尽可能多精加工，即全部时间用于精加工，算出精加工总吨数，剩余未加工的蔬菜直接售卖，分别计算两部分利润求和；最后对比三个方案的利润值，最大的对应最优方案。
【解析】
设总利润为W，分别计算三种方案的总利润：
1. 方案一：已知粗加工每天可加工16t，15天可加工吨数为$16×15=240\mathrm{t}$，$240\mathrm{t}＞140\mathrm{t}$，15天可完成全部粗加工。
总利润$W_1=4500×140=630000$（元）
2. 方案二：设15天中粗加工蔬菜$x$天，则精加工蔬菜$(15-x)$天。
根据总加工量为140t，列方程：$16x + 6(15 - x) = 140$
解方程：$16x + 90 - 6x = 140$
$10x = 50$
解得$x=5$
即粗加工5天，精加工天数为$15-5=10$天。
总利润$W_2=6×10×7500 + 16×5×4500=810000$（元）
3. 方案三：15天全部进行精加工，可加工吨数为$6×15=90\mathrm{t}$，剩余直接销售的吨数为$140-90=50\mathrm{t}$。
总利润$W_3=90×7500 + 50×1000=725000$（元）
对比三个利润可得$W_1＜W_3＜W_2$。
【答案】
选择第二种方案获利最多。
【知识点】
一元一次方程应用；利润计算；方案最优选择
【点评】
本题是典型的方案决策类应用题，解题关键是结合题目给出的时间、加工能力等限制条件，准确计算每个方案对应的利润，列方程时要找准总加工量的等量关系，计算过程中要注意数值运算的准确性，避免因计算失误判断错误。
【难度系数】
0.6
这是一道方案最优选择类应用题，解题核心是分别计算三种方案的总利润，再比较大小选出获利最高的方案。思考步骤如下：第一步，计算方案一的利润：先验证15天能否完成全部粗加工，若可以，直接用粗加工每吨利润乘总吨数即可；第二步，计算方案二的利润：两种加工方式总时长为15天，总加工量为140t，设粗加工天数为未知数，根据“粗加工总吨数+精加工总吨数=140t”的等量关系列一元一次方程，求解得到两种加工的天数后，分别计算对应利润求和；第三步，计算方案三的利润：15天尽可能多精加工，即全部时间用于精加工，算出精加工总吨数，剩余未加工的蔬菜直接售卖，分别计算两部分利润求和；最后对比三个方案的利润值，最大的对应最优方案。
【解析】
设总利润为W，分别计算三种方案的总利润：
1. 方案一：已知粗加工每天可加工16t，15天可加工吨数为$16×15=240\mathrm{t}$，$240\mathrm{t}＞140\mathrm{t}$，15天可完成全部粗加工。
总利润$W_1=4500×140=630000$（元）
2. 方案二：设15天中粗加工蔬菜$x$天，则精加工蔬菜$(15-x)$天。
根据总加工量为140t，列方程：$16x + 6(15 - x) = 140$
解方程：$16x + 90 - 6x = 140$
$10x = 50$
解得$x=5$
即粗加工5天，精加工天数为$15-5=10$天。
总利润$W_2=6×10×7500 + 16×5×4500=810000$（元）
3. 方案三：15天全部进行精加工，可加工吨数为$6×15=90\mathrm{t}$，剩余直接销售的吨数为$140-90=50\mathrm{t}$。
总利润$W_3=90×7500 + 50×1000=725000$（元）
对比三个利润可得$W_1＜W_3＜W_2$。
【答案】
选择第二种方案获利最多。
【知识点】
一元一次方程应用；利润计算；方案最优选择
【点评】
本题是典型的方案决策类应用题，解题关键是结合题目给出的时间、加工能力等限制条件，准确计算每个方案对应的利润，列方程时要找准总加工量的等量关系，计算过程中要注意数值运算的准确性，避免因计算失误判断错误。
【难度系数】
0.6
3.小明用的数学练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是2元/本，元旦期间两家商店均打折促销.甲商店全部按标价的80％出售，乙商店的优惠方案是购买12本以上，从第13本开始按标价的70％出售.设小明要购买$ x(x＞12) $本练习本.
(1)当小明到甲商店购买时，需付款多少元（用含$ x $的代数式表示）？
(2)购买多少本练习本时，两家商店的收费
相同？
(3)小明准备买50本练习本，为了节约开支，在哪家商店购买更划算？
(1)当小明到甲商店购买时，需付款多少元（用含$ x $的代数式表示）？
(2)购买多少本练习本时，两家商店的收费
相同？
(3)小明准备买50本练习本，为了节约开支，在哪家商店购买更划算？
答案
(1) 依题意,得小明到甲商店购买需付款2×80%x=1.6x(元).
(2) 小明到乙商店购买需付款2×12+2×70%(x-12)=(1.4x+7.2)元.
由题意,得1.4x+7.2=1.6x,
解得x=36.
答:购买36本练习本时,两家商店的收费相同.
(3) 当x=50时,1.6x=1.6×50=80,
1.4x+7.2=1.4×50+7.2=77.2.
因为80＞77.2,
所以在乙商店购买更划算.
(2) 小明到乙商店购买需付款2×12+2×70%(x-12)=(1.4x+7.2)元.
由题意,得1.4x+7.2=1.6x,
解得x=36.
答:购买36本练习本时,两家商店的收费相同.
(3) 当x=50时,1.6x=1.6×50=80,
1.4x+7.2=1.4×50+7.2=77.2.
因为80＞77.2,
所以在乙商店购买更划算.
解析
【分析】
(1) 甲商店所有练习本均按标价的80%出售，不受购买数量限制，先算出甲店打折后的实际单价，再乘购买数量x，就能得到甲店的付款金额。
(2) 要找两家收费相同的购买数量，首先需明确乙店的分段计费规则：x＞12时，前12本按原价收费，超出12本的部分按标价70%收费，先列出乙店总费用的代数式，再令甲、乙两店总费用相等，列一元一次方程求解即可。
(3) 要判断买50本在哪家更划算，只需将x=50分别代入甲、乙两店的费用代数式，计算出具体费用后比较大小，费用更低的商店更划算。
【解析】
(1) 甲店打折后的单价为$2×80\%=1.6$元/本，购买x本的总费用为：$1.6× x=1.6x$元。
(2) 乙店购买x（x＞12）本的总费用：前12本费用为$2×12=24$元，超出12本的部分费用为$2×70\%(x-12)=1.4(x-12)$元，因此总费用为$24+1.4(x-12)=1.4x+7.2$元。
令两店费用相等，列方程：
$1.4x+7.2=1.6x$
移项得：$1.6x-1.4x=7.2$
合并同类项得：$0.2x=7.2$
解得：$x=36$
(3) 当$x=50$时，
甲店费用：$1.6×50=80$元
乙店费用：$1.4×50+7.2=77.2$元
因为$80＞77.2$，所以乙商店费用更低。
【答案】
(1) 需付款$\boxed{1.6x}$元；
(2) 购买$\boxed{36}$本练习本时，两家商店收费相同；
(3) 在$\boxed{乙商店}$购买更划算。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；方案择优选择
【点评】
本题结合生活中常见的购物优惠场景出题，核心考查分段计费规则的理解和一元一次方程的实际应用，解题关键是准确梳理不同优惠方案的计算逻辑，正确列出费用表达式，再根据题意求解或比较即可，贴近生活实际，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 甲商店所有练习本均按标价的80%出售，不受购买数量限制，先算出甲店打折后的实际单价，再乘购买数量x，就能得到甲店的付款金额。
(2) 要找两家收费相同的购买数量，首先需明确乙店的分段计费规则：x＞12时，前12本按原价收费，超出12本的部分按标价70%收费，先列出乙店总费用的代数式，再令甲、乙两店总费用相等，列一元一次方程求解即可。
(3) 要判断买50本在哪家更划算，只需将x=50分别代入甲、乙两店的费用代数式，计算出具体费用后比较大小，费用更低的商店更划算。
【解析】
(1) 甲店打折后的单价为$2×80\%=1.6$元/本，购买x本的总费用为：$1.6× x=1.6x$元。
(2) 乙店购买x（x＞12）本的总费用：前12本费用为$2×12=24$元，超出12本的部分费用为$2×70\%(x-12)=1.4(x-12)$元，因此总费用为$24+1.4(x-12)=1.4x+7.2$元。
令两店费用相等，列方程：
$1.4x+7.2=1.6x$
移项得：$1.6x-1.4x=7.2$
合并同类项得：$0.2x=7.2$
解得：$x=36$
(3) 当$x=50$时，
甲店费用：$1.6×50=80$元
乙店费用：$1.4×50+7.2=77.2$元
因为$80＞77.2$，所以乙商店费用更低。
【答案】
(1) 需付款$\boxed{1.6x}$元；
(2) 购买$\boxed{36}$本练习本时，两家商店收费相同；
(3) 在$\boxed{乙商店}$购买更划算。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；方案择优选择
【点评】
本题结合生活中常见的购物优惠场景出题，核心考查分段计费规则的理解和一元一次方程的实际应用，解题关键是准确梳理不同优惠方案的计算逻辑，正确列出费用表达式，再根据题意求解或比较即可，贴近生活实际，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
