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3.对代数式 $a - b^2$ 的意义表述正确的是（）
A.a 减去b 的平方的差
B.a 与b 差的平方
C.a ,b 平方的差
D.a 的平方与b 的平方的差
3.对代数式 $a - b^2$ 的意义表述正确的是（）
A.a 减去b 的平方的差
B.a 与b 差的平方
C.a ,b 平方的差
D.a 的平方与b 的平方的差
答案
A
解析
【分析】
解决这类代数式意义的题目，首先要明确原代数式的运算顺序：代数式里先算乘方，再算减法，也就是先求$b$的平方，再用$a$减去$b$的平方得到差值，接下来逐一匹配每个选项对应的代数式，和原式对比即可选出正确答案。
【解析】
先明确代数式$a - b^2$的运算规则：先计算$b$的平方，再计算$a$与$b^2$的差。
逐一分析选项：
A. “a减去b的平方的差”，对应的代数式为$a - b^2$，和原式一致，符合要求；
B. “a与b差的平方”，对应的代数式为$(a-b)^2$，和原式不符，排除；
C. “a，b平方的差”，对应的代数式为$a^2 - b^2$，和原式不符，排除；
D. “a的平方与b的平方的差”，对应的代数式为$a^2 - b^2$，和原式不符，排除。
【答案】
A
【知识点】
代数式的意义，运算优先级
【点评】
本题重点考查代数式和文字表述的对应转换，解题的核心是理清运算先后顺序，注意区分“差的平方”“平方的差”这类容易混淆的表述即可。
【难度系数】
0.9
解决这类代数式意义的题目，首先要明确原代数式的运算顺序：代数式里先算乘方，再算减法，也就是先求$b$的平方，再用$a$减去$b$的平方得到差值，接下来逐一匹配每个选项对应的代数式，和原式对比即可选出正确答案。
【解析】
先明确代数式$a - b^2$的运算规则：先计算$b$的平方，再计算$a$与$b^2$的差。
逐一分析选项：
A. “a减去b的平方的差”，对应的代数式为$a - b^2$，和原式一致，符合要求；
B. “a与b差的平方”，对应的代数式为$(a-b)^2$，和原式不符，排除；
C. “a，b平方的差”，对应的代数式为$a^2 - b^2$，和原式不符，排除；
D. “a的平方与b的平方的差”，对应的代数式为$a^2 - b^2$，和原式不符，排除。
【答案】
A
【知识点】
代数式的意义，运算优先级
【点评】
本题重点考查代数式和文字表述的对应转换，解题的核心是理清运算先后顺序，注意区分“差的平方”“平方的差”这类容易混淆的表述即可。
【难度系数】
0.9
【例3】用代数式表示：
(1)比a与b的积的2倍小5的数.
(2)x，y两数的平方和减去它们积的2倍.
(3)某商店新进一批商品，每件商品的进价为a元，若要获利20%，则每件商品的零售价应为多少元？
解：
(1)比a与b的积的2倍小5的数.
(2)x，y两数的平方和减去它们积的2倍.
(3)某商店新进一批商品，每件商品的进价为a元，若要获利20%，则每件商品的零售价应为多少元？
解：
答案
解：
(1) $2ab - 5$
(2) $x^2 + y^2 - 2xy$
(3) $(1+20\%)a = 1.2a$
答：每件商品的零售价应为$1.2a$元。
(1) $2ab - 5$
(2) $x^2 + y^2 - 2xy$
(3) $(1+20\%)a = 1.2a$
答：每件商品的零售价应为$1.2a$元。
解析
【分析】
(1) 解题时先理清运算顺序：第一步先求a与b的积，第二步求积的2倍，第三步用所得的结果减去5，即可得到所求的数。
(2) 首先要明确“平方和”是指两个数先各自平方再相加，不要和“和的平方”混淆；再计算两数积的2倍，最后用平方和减去这个结果即可。
(3) 销售问题中，获利20%是指利润占进价的20%，因此零售价是进价的(1+20%)倍，用进价乘这个倍数就能得到零售价。
【解析】
(1) 先计算a与b的积为$ab$，积的2倍为$2ab$，比$2ab$小5的数为：$2ab - 5$。
(2) x、y的平方分别为$x^2$、$y^2$，两数平方和为$x^2 + y^2$；两数积的2倍为$2xy$，因此所求代数式为：$x^2 + y^2 - 2xy$。
(3) 每件商品进价为a元，获利20%即利润为$20\%a$，因此零售价=进价+利润，即：
$a + 20\%a = (1+20\%)a = 1.2a$（元）
【答案】
(1) $2ab - 5$
(2) $x^2 + y^2 - 2xy$
(3) $1.2a$元
【知识点】
列代数式、销售利润计算、平方和概念
【点评】
本题是列代数式的基础题，核心是准确理解文字描述的数量关系，厘清运算先后顺序，尤其要注意区分“平方和”与“和的平方”的差异，销售问题中利润率的计算基准是进价，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先理清运算顺序：第一步先求a与b的积，第二步求积的2倍，第三步用所得的结果减去5，即可得到所求的数。
(2) 首先要明确“平方和”是指两个数先各自平方再相加，不要和“和的平方”混淆；再计算两数积的2倍，最后用平方和减去这个结果即可。
(3) 销售问题中，获利20%是指利润占进价的20%，因此零售价是进价的(1+20%)倍，用进价乘这个倍数就能得到零售价。
【解析】
(1) 先计算a与b的积为$ab$，积的2倍为$2ab$，比$2ab$小5的数为：$2ab - 5$。
(2) x、y的平方分别为$x^2$、$y^2$，两数平方和为$x^2 + y^2$；两数积的2倍为$2xy$，因此所求代数式为：$x^2 + y^2 - 2xy$。
(3) 每件商品进价为a元，获利20%即利润为$20\%a$，因此零售价=进价+利润，即：
$a + 20\%a = (1+20\%)a = 1.2a$（元）
【答案】
(1) $2ab - 5$
(2) $x^2 + y^2 - 2xy$
(3) $1.2a$元
【知识点】
列代数式、销售利润计算、平方和概念
【点评】
本题是列代数式的基础题，核心是准确理解文字描述的数量关系，厘清运算先后顺序，尤其要注意区分“平方和”与“和的平方”的差异，销售问题中利润率的计算基准是进价，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
4.用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是 （
A.$2(a-b)^2$
B.$2a - b^2$
C.$(2a - b)^2$
D.$(a - 2b)^2$
C
）A.$2(a-b)^2$
B.$2a - b^2$
C.$(2a - b)^2$
D.$(a - 2b)^2$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时需按照文字描述的先后顺序拆解运算：首先明确运算优先级，带“的”的表述优先计算。第一步先算“a的2倍”，得到2a；第二步算“2a与b的差”，得到2a - b；第三步是对上述的“差”整体求平方，因此需要给差加括号再平方。同时可排除错误选项：A是先求a与b的差再乘2再平方，不符合描述；B是2a减b的平方，仅对b单独平方，不是对差平方，错误；D是a减2b的平方，把2倍错算到b上，不符合题意，最终锁定正确选项。
【解析】
1. 先表示“a的2倍”：根据倍数关系，可写为$2a$；
2. 再表示“a的2倍与b的差”：用2a减去b，可写为$2a - b$；
3. 最后表示“差的平方”：需对$2a - b$这个整体求平方，添加括号保证运算顺序，即$(2a - b)^2$。
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；运算顺序判断
【点评】
本题是文字转代数式的基础题型，解题核心是理清运算的先后顺序，当需要对某个组合式做后续运算时，要正确使用括号明确运算优先级，避免因顺序错误失分。
【难度系数】
0.9
解题时需按照文字描述的先后顺序拆解运算：首先明确运算优先级，带“的”的表述优先计算。第一步先算“a的2倍”，得到2a；第二步算“2a与b的差”，得到2a - b；第三步是对上述的“差”整体求平方，因此需要给差加括号再平方。同时可排除错误选项：A是先求a与b的差再乘2再平方，不符合描述；B是2a减b的平方，仅对b单独平方，不是对差平方，错误；D是a减2b的平方，把2倍错算到b上，不符合题意，最终锁定正确选项。
【解析】
1. 先表示“a的2倍”：根据倍数关系，可写为$2a$；
2. 再表示“a的2倍与b的差”：用2a减去b，可写为$2a - b$；
3. 最后表示“差的平方”：需对$2a - b$这个整体求平方，添加括号保证运算顺序，即$(2a - b)^2$。
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；运算顺序判断
【点评】
本题是文字转代数式的基础题型，解题核心是理清运算的先后顺序，当需要对某个组合式做后续运算时，要正确使用括号明确运算优先级，避免因顺序错误失分。
【难度系数】
0.9
5.某同学参加了7.5 km健康跑项目，他从起点开始以平均x km/h的速度跑了10 min，此时他离健康跑终点的路程为
（用含x的代数式表示）
$(7.5-\dfrac{1}{6}x)$
km.（用含x的代数式表示）
答案
5. $(7.5-\dfrac{1}{6}x)$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确剩余路程=总路程-已跑路程。解题时第一步要统一单位，因为给出的速度单位是km/h，跑步时间单位是分钟，需先将时间换算为以小时为单位，再根据“路程=速度×时间”计算已跑的路程，最后用总路程减去已跑路程即可得到离终点的路程。
【解析】
1. 单位换算：因为1小时=60分钟，所以10分钟换算为小时是$10÷60=\dfrac{1}{6}\ \mathrm{h}$。
2. 计算已跑路程：根据行程问题路程公式$s=vt$，已知速度为$x\ \mathrm{km/h}$，跑步时间为$\dfrac{1}{6}\ \mathrm{h}$，因此已跑的路程为$x×\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}x\ \mathrm{km}$。
3. 计算剩余路程：已知总路程为7.5km，所以离终点的路程为总路程减去已跑路程，即$(7.5-\dfrac{1}{6}x)\ \mathrm{km}$。
【答案】
$(7.5-\dfrac{1}{6}x)$
【知识点】
列代数式；行程问题基本公式；时间单位换算
【点评】
本题是代数式在实际问题中的基础应用，解题的核心是注意单位的统一，避免因单位不匹配导致计算错误，熟练掌握行程问题的基本数量关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先明确剩余路程=总路程-已跑路程。解题时第一步要统一单位，因为给出的速度单位是km/h，跑步时间单位是分钟，需先将时间换算为以小时为单位，再根据“路程=速度×时间”计算已跑的路程，最后用总路程减去已跑路程即可得到离终点的路程。
【解析】
1. 单位换算：因为1小时=60分钟，所以10分钟换算为小时是$10÷60=\dfrac{1}{6}\ \mathrm{h}$。
2. 计算已跑路程：根据行程问题路程公式$s=vt$，已知速度为$x\ \mathrm{km/h}$，跑步时间为$\dfrac{1}{6}\ \mathrm{h}$，因此已跑的路程为$x×\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}x\ \mathrm{km}$。
3. 计算剩余路程：已知总路程为7.5km，所以离终点的路程为总路程减去已跑路程，即$(7.5-\dfrac{1}{6}x)\ \mathrm{km}$。
【答案】
$(7.5-\dfrac{1}{6}x)$
【知识点】
列代数式；行程问题基本公式；时间单位换算
【点评】
本题是代数式在实际问题中的基础应用，解题的核心是注意单位的统一，避免因单位不匹配导致计算错误，熟练掌握行程问题的基本数量关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【例4】观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是
2.图形的“规律探究”
从“形”和“数”两个角度入手，通过逐一看图，观察、分析、归纳图形与“编号”或“序号”之间的变化规律，从而推出一般性的结论，再验证所总结规律的正确性。
$\dfrac{2^n - 1}{2^n}$
。2.图形的“规律探究”
从“形”和“数”两个角度入手，通过逐一看图，观察、分析、归纳图形与“编号”或“序号”之间的变化规律，从而推出一般性的结论，再验证所总结规律的正确性。
答案
$\dfrac{2^n - 1}{2^n}$
解析
【分析】
解决这类分数规律探究题，我们可以把分子和分母拆分，分别对应序号找规律：①先看分母序列：2、4、8、16、32，都是2的正整数次幂，第1个对应2的1次方，第2个对应2的2次方，以此类推，第n个的分母就是2的n次方；②再看分子序列：1、3、7、15、31，每个数都比对应序号的分母小1，单独看也符合“2的n次方减1”的规律；最后把分子分母的规律组合，再代入前几个数验证规律是否正确即可。
【解析】
我们分别观察分子、分母和序号n的对应关系：
1. 找分母的规律：
第1个数的分母：$2=2^1$
第2个数的分母：$4=2^2$
第3个数的分母：$8=2^3$
第4个数的分母：$16=2^4$
……
以此类推，第n个数的分母为$2^n$。
2. 找分子的规律：
第1个数的分子：$1=2^1-1$
第2个数的分子：$3=2^2-1$
第3个数的分子：$7=2^3-1$
第4个数的分子：$15=2^4-1$
……
以此类推，第n个数的分子为$2^n-1$。
3. 组合得到第n个数：$\frac{2^n-1}{2^n}$，代入n=1、2、3验证，均符合给出的数列，规律成立。
【答案】
$\dfrac{2^n - 1}{2^n}$
【知识点】
数字规律探究；乘方的应用
【点评】
本题是常见的数列规律探究题，核心解题方法是将复杂的分数规律拆解为分子、分母两部分分别对应序号寻找变化规律，得出结论后可代入前几项验证，能有效提高规律的准确性。
【难度系数】
0.7
解决这类分数规律探究题，我们可以把分子和分母拆分，分别对应序号找规律：①先看分母序列：2、4、8、16、32，都是2的正整数次幂，第1个对应2的1次方，第2个对应2的2次方，以此类推，第n个的分母就是2的n次方；②再看分子序列：1、3、7、15、31，每个数都比对应序号的分母小1，单独看也符合“2的n次方减1”的规律；最后把分子分母的规律组合，再代入前几个数验证规律是否正确即可。
【解析】
我们分别观察分子、分母和序号n的对应关系：
1. 找分母的规律：
第1个数的分母：$2=2^1$
第2个数的分母：$4=2^2$
第3个数的分母：$8=2^3$
第4个数的分母：$16=2^4$
……
以此类推，第n个数的分母为$2^n$。
2. 找分子的规律：
第1个数的分子：$1=2^1-1$
第2个数的分子：$3=2^2-1$
第3个数的分子：$7=2^3-1$
第4个数的分子：$15=2^4-1$
……
以此类推，第n个数的分子为$2^n-1$。
3. 组合得到第n个数：$\frac{2^n-1}{2^n}$，代入n=1、2、3验证，均符合给出的数列，规律成立。
【答案】
$\dfrac{2^n - 1}{2^n}$
【知识点】
数字规律探究；乘方的应用
【点评】
本题是常见的数列规律探究题，核心解题方法是将复杂的分数规律拆解为分子、分母两部分分别对应序号寻找变化规律，得出结论后可代入前几项验证，能有效提高规律的准确性。
【难度系数】
0.7
【例5】由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的一组图形如图所示，按此规律排列下去，第n个图形中有
$(2n+2)$
个实心圆。答案
$(2n+2)$
解析
【分析】
解决这类图形规律题，我们可以按以下步骤思考：第一步先分别数出前几个图形中实心圆的个数，第二步将个数和对应的图形序号n进行比对，寻找数量变化和序号的关系，第三步验证得到的关系是否符合所有已知图形，最终归纳出第n个图形的表达式。首先我们数得：第1个图形有4个实心圆，第2个有6个，第3个有8个，观察发现每增加1个小正方形，实心圆就增加2个，以此特征即可推导通用表达式。
【解析】
我们先统计前3个图形的实心圆数量：
当n=1（第1个图形）时，实心圆个数为4，可写成$2×1 + 2$；
当n=2（第2个图形）时，实心圆个数为6，可写成$2×2 + 2$；
当n=3（第3个图形）时，实心圆个数为8，可写成$2×3 + 2$；
以此类推，第n个图形中，实心圆的个数为$2n+2$。
【答案】
$(2n+2)$
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题核心是通过观察前几组图形的数量变化特征，归纳出通用的数量规律，能够有效培养观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
解决这类图形规律题，我们可以按以下步骤思考：第一步先分别数出前几个图形中实心圆的个数，第二步将个数和对应的图形序号n进行比对，寻找数量变化和序号的关系，第三步验证得到的关系是否符合所有已知图形，最终归纳出第n个图形的表达式。首先我们数得：第1个图形有4个实心圆，第2个有6个，第3个有8个，观察发现每增加1个小正方形，实心圆就增加2个，以此特征即可推导通用表达式。
【解析】
我们先统计前3个图形的实心圆数量：
当n=1（第1个图形）时，实心圆个数为4，可写成$2×1 + 2$；
当n=2（第2个图形）时，实心圆个数为6，可写成$2×2 + 2$；
当n=3（第3个图形）时，实心圆个数为8，可写成$2×3 + 2$；
以此类推，第n个图形中，实心圆的个数为$2n+2$。
【答案】
$(2n+2)$
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题核心是通过观察前几组图形的数量变化特征，归纳出通用的数量规律，能够有效培养观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
6.观察下列一组数：$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{9}$，$\frac{5}{16}$，$\frac{7}{25}$，$\frac{9}{36}$，…。它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是
$\frac{2n-1}{(n+1)^2}$
。答案
6. $\frac{2n-1}{(n+1)^2}$
解析
【分析】
解决分数数列找规律的问题，通常将分子、分母拆分后分别寻找规律：第一步先观察分子的变化特征，给出的分子是连续奇数，结合奇数的代数式表示方法推导第n项的分子；第二步观察分母的变化特征，给出的分母都是比项数大1的数的平方，推导第n项的分母；第三步将推导得到的分子、分母组合，即可得到第n个数的表达式。
【解析】
1. 推导第n个数的分子：
已知数列的分子依次为1、3、5、7、9，是从1开始的连续奇数：
第1项分子：$2×1-1=1$
第2项分子：$2×2-1=3$
第3项分子：$2×3-1=5$
……
因此第n个数的分子为$2n-1$。
2. 推导第n个数的分母：
已知数列的分母依次为4、9、16、25、36，均为正整数的平方：
第1项分母：$4=(1+1)^2$
第2项分母：$9=(2+1)^2$
第3项分母：$16=(3+1)^2$
……
因此第n个数的分母为$(n+1)^2$。
3. 组合分子和分母，可得第n个数为$\frac{2n-1}{(n+1)^2}$。
【答案】
$\frac{2n-1}{(n+1)^2}$
【知识点】
数列规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，解题核心是将复杂的分数数列拆分为分子、分母两个独立序列分别分析，再整合得到通用表达式，能有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解决分数数列找规律的问题，通常将分子、分母拆分后分别寻找规律：第一步先观察分子的变化特征，给出的分子是连续奇数，结合奇数的代数式表示方法推导第n项的分子；第二步观察分母的变化特征，给出的分母都是比项数大1的数的平方，推导第n项的分母；第三步将推导得到的分子、分母组合，即可得到第n个数的表达式。
【解析】
1. 推导第n个数的分子：
已知数列的分子依次为1、3、5、7、9，是从1开始的连续奇数：
第1项分子：$2×1-1=1$
第2项分子：$2×2-1=3$
第3项分子：$2×3-1=5$
……
因此第n个数的分子为$2n-1$。
2. 推导第n个数的分母：
已知数列的分母依次为4、9、16、25、36，均为正整数的平方：
第1项分母：$4=(1+1)^2$
第2项分母：$9=(2+1)^2$
第3项分母：$16=(3+1)^2$
……
因此第n个数的分母为$(n+1)^2$。
3. 组合分子和分母，可得第n个数为$\frac{2n-1}{(n+1)^2}$。
【答案】
$\frac{2n-1}{(n+1)^2}$
【知识点】
数列规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，解题核心是将复杂的分数数列拆分为分子、分母两个独立序列分别分析，再整合得到通用表达式，能有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
