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10 整理与复习
知识梳理
一元一次方程
一元一次方程的定义
等式的基本性质
一元一次方程的解法
去分母
①
②
③
④
一元一次图1程的应用
方法步骤：寻找 ⑤ →列方程→解方程→验证
常见情况
形积变化
“盈不足”问题
行程问题
⑥ 问题
追及问题
专题探究
知识梳理
一元一次方程
一元一次方程的定义
等式的基本性质
一元一次方程的解法
去分母
①
②
③
④
一元一次图1程的应用
方法步骤：寻找 ⑤ →列方程→解方程→验证
常见情况
形积变化
“盈不足”问题
行程问题
⑥ 问题
追及问题
专题探究
答案
①去括号 ②移项 ③合并同类项 ④未知数的系数化为1 ⑤等量关系 ⑥相遇
解析
【分析】
本题考查一元一次方程相关基础知识点的识记，解题时可结合所学内容逐一推导：首先回忆一元一次方程的标准求解步骤，去分母之后的操作依次为去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为1；再回忆一元一次方程实际应用的解题步骤，第一步需要先梳理题目中的等量关系，才能以此为依据列方程；最后回忆行程问题的常见分类，除追及问题外，最基础的类型就是相遇问题，对应填入即可。
【解析】
根据一元一次方程的相关知识点：
1. 一元一次方程的解法按顺序为：去分母→①去括号→②移项→③合并同类项→④未知数的系数化为1；
2. 一元一次方程应用的常规步骤为：先寻找⑤等量关系，再依次完成列方程、解方程、验证的操作；
3. 行程问题的常见基础类型包含⑥相遇问题和追及问题。
【答案】
①去括号 ②移项 ③合并同类项 ④未知数的系数化为1 ⑤等量关系 ⑥相遇
【知识点】
一元一次方程的解法；一元一次方程的应用；行程问题分类
【点评】
本题属于基础概念类填空题，主要考察对一元一次方程核心基础内容的记忆掌握情况，熟练掌握这些基础知识点是顺利求解一元一次方程、用方程解决实际应用问题的重要前提。
【难度系数】
0.9
本题考查一元一次方程相关基础知识点的识记，解题时可结合所学内容逐一推导：首先回忆一元一次方程的标准求解步骤，去分母之后的操作依次为去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为1；再回忆一元一次方程实际应用的解题步骤，第一步需要先梳理题目中的等量关系，才能以此为依据列方程；最后回忆行程问题的常见分类，除追及问题外，最基础的类型就是相遇问题，对应填入即可。
【解析】
根据一元一次方程的相关知识点：
1. 一元一次方程的解法按顺序为：去分母→①去括号→②移项→③合并同类项→④未知数的系数化为1；
2. 一元一次方程应用的常规步骤为：先寻找⑤等量关系，再依次完成列方程、解方程、验证的操作；
3. 行程问题的常见基础类型包含⑥相遇问题和追及问题。
【答案】
①去括号 ②移项 ③合并同类项 ④未知数的系数化为1 ⑤等量关系 ⑥相遇
【知识点】
一元一次方程的解法；一元一次方程的应用；行程问题分类
【点评】
本题属于基础概念类填空题，主要考察对一元一次方程核心基础内容的记忆掌握情况，熟练掌握这些基础知识点是顺利求解一元一次方程、用方程解决实际应用问题的重要前提。
【难度系数】
0.9
1. 解方程：$\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{1}{6}(2x - 1) = -\frac{1}{3}(2x - 1) + 9$。
答案
$x=5$
解析
【分析】观察方程可以发现各项均含有$(2x-1)$，解题时可以将$(2x-1)$看作一个整体，先移项合并含$(2x-1)$的项，再求解$x$，能简化计算过程；也可以按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）逐步求解。
【解析】
解：将$(2x-1)$看作一个整体，移项得：
$\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{1}{6}(2x - 1) + \frac{1}{3}(2x - 1) = 9$
合并同类项，左边系数相加：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1$，因此得：
$2x - 1 = 9$
移项得：$2x = 9 + 1$
合并同类项得：$2x = 10$
系数化为1得：$x = 5$
【答案】
$x=5$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 整体思想解方程
【点评】本题考查一元一次方程的求解，既可以用常规步骤解题，也可以通过观察式子结构采用整体法简化运算，平时解题时要注意观察式子特征，灵活选择简便方法，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：将$(2x-1)$看作一个整体，移项得：
$\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{1}{6}(2x - 1) + \frac{1}{3}(2x - 1) = 9$
合并同类项，左边系数相加：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1$，因此得：
$2x - 1 = 9$
移项得：$2x = 9 + 1$
合并同类项得：$2x = 10$
系数化为1得：$x = 5$
【答案】
$x=5$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 整体思想解方程
【点评】本题考查一元一次方程的求解，既可以用常规步骤解题，也可以通过观察式子结构采用整体法简化运算，平时解题时要注意观察式子特征，灵活选择简便方法，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
2. 解方程:$2(x+1)-\frac{1}{2}(x-1)=2(x-1)+\frac{1}{2}(x+1)$。
答案
$x=4$
解析
【分析】
这是一道一元一次方程求解的题目，可按照一元一次方程的常规解题步骤计算：首先利用等式的性质去分母消去分数，降低计算难度；再根据去括号法则去掉括号，注意不要漏乘括号内的项且符号要正确；随后将含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧，移项要记得变号；再合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。也可以观察方程结构，把$(x+1)$和$(x-1)$看作整体先移项合并，进一步简化计算。
【解析】
解：方程两边同时乘以2，去分母得：
$4(x+1)-(x-1)=4(x-1)+(x+1)$
去括号得：
$4x + 4 - x + 1 = 4x - 4 + x + 1$
移项得：
$4x - x - 4x - x = -4 + 1 - 4 - 1$
合并同类项得：
$-2x = -8$
系数化为1，两边同时除以$-2$得：
$x = 4$
【答案】
$x=4$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、等式的性质
【点评】
本题属于一元一次方程的基础计算题，既可以按常规步骤求解，也可以通过观察整体项的特征简化计算，解题时需注意去括号不要漏乘括号内的项，移项时要记得改变符号，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程求解的题目，可按照一元一次方程的常规解题步骤计算：首先利用等式的性质去分母消去分数，降低计算难度；再根据去括号法则去掉括号，注意不要漏乘括号内的项且符号要正确；随后将含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧，移项要记得变号；再合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。也可以观察方程结构，把$(x+1)$和$(x-1)$看作整体先移项合并，进一步简化计算。
【解析】
解：方程两边同时乘以2，去分母得：
$4(x+1)-(x-1)=4(x-1)+(x+1)$
去括号得：
$4x + 4 - x + 1 = 4x - 4 + x + 1$
移项得：
$4x - x - 4x - x = -4 + 1 - 4 - 1$
合并同类项得：
$-2x = -8$
系数化为1，两边同时除以$-2$得：
$x = 4$
【答案】
$x=4$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、等式的性质
【点评】
本题属于一元一次方程的基础计算题，既可以按常规步骤求解，也可以通过观察整体项的特征简化计算，解题时需注意去括号不要漏乘括号内的项，移项时要记得改变符号，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
3.如图所示的是由6个正方形拼成的长方形，若中间最小的正方形的边长为1，则拼成的长方形的面积是
143
。答案
143
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用数形结合的思路：首先观察图形，发现右下角的两个正方形边长相等，其余正方形的边长依次比相邻的更小的正方形大1，已知最小正方形边长为1，我们可以设右下角正方形的边长为x，把其余正方形的边长都用含x的代数式表示，再根据长方形对边长度相等的性质列方程求解x，最后计算长方形的长和宽，相乘即可得到面积。
【解析】
解：设右下角的正方形边长为$ x $。
根据图形中各正方形的边长关系可得：
左下角正方形边长为$ x+1 $，
左上角正方形边长为$ (x+1)+1 = x+2 $，
右上角正方形的边长有两种表示方式：
① 比左上角正方形边长多1，即$ (x+2)+1 = x+3 $；
② 等于两个右下角正方形边长之和减去最小正方形的边长1，即$ 2x - 1 $。
因为同一个正方形边长相等，可列方程：
$ x+3 = 2x - 1 $
解得$ x=4 $。
接下来计算长方形的长和宽：
长方形的长：$ (x+2)+(x+1) = 2x+3 = 2×4+3 = 11 $
长方形的宽：$ (x+2)+(x+3) = 2x+5 = 2×4+5 = 13 $
长方形的面积：$ 11×13 = 143 $
【答案】
143
【知识点】
一元一次方程的应用；正方形的性质；长方形面积计算
【点评】
本题是几何与方程结合的典型题型，解题核心是通过观察图形梳理各正方形边长的数量关系，利用长方形对边相等的性质建立方程，考查了数形结合的思想和方程建模的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以利用数形结合的思路：首先观察图形，发现右下角的两个正方形边长相等，其余正方形的边长依次比相邻的更小的正方形大1，已知最小正方形边长为1，我们可以设右下角正方形的边长为x，把其余正方形的边长都用含x的代数式表示，再根据长方形对边长度相等的性质列方程求解x，最后计算长方形的长和宽，相乘即可得到面积。
【解析】
解：设右下角的正方形边长为$ x $。
根据图形中各正方形的边长关系可得：
左下角正方形边长为$ x+1 $，
左上角正方形边长为$ (x+1)+1 = x+2 $，
右上角正方形的边长有两种表示方式：
① 比左上角正方形边长多1，即$ (x+2)+1 = x+3 $；
② 等于两个右下角正方形边长之和减去最小正方形的边长1，即$ 2x - 1 $。
因为同一个正方形边长相等，可列方程：
$ x+3 = 2x - 1 $
解得$ x=4 $。
接下来计算长方形的长和宽：
长方形的长：$ (x+2)+(x+1) = 2x+3 = 2×4+3 = 11 $
长方形的宽：$ (x+2)+(x+3) = 2x+5 = 2×4+5 = 13 $
长方形的面积：$ 11×13 = 143 $
【答案】
143
【知识点】
一元一次方程的应用；正方形的性质；长方形面积计算
【点评】
本题是几何与方程结合的典型题型，解题核心是通过观察图形梳理各正方形边长的数量关系，利用长方形对边相等的性质建立方程，考查了数形结合的思想和方程建模的能力。
【难度系数】
0.6
4.如图,在长方形ABCD中,AD=BC=12 cm,AB=DC=8 cm。动点P从点A出发沿AD向点D运动,速度是1 cm/s,动点Q从点C出发沿CB向点B运动,当到达点B后继续沿BA向点A运动,速度是3 cm/s。P,Q两点同时出发,并开始计时,设运动的时间是t s。
(1)当点Q在线段CB上运动,t为何值时,PD=CQ?
(2)当点Q在线段BA上运动,t为何值时,AP=AQ?
(3)当点Q在线段CB上运动,t为何值时,四边形PQCD的面积是长方形ABCD面积的$\frac{2}{3}$?
(1)当点Q在线段CB上运动,t为何值时,PD=CQ?
(2)当点Q在线段BA上运动,t为何值时,AP=AQ?
(3)当点Q在线段CB上运动,t为何值时,四边形PQCD的面积是长方形ABCD面积的$\frac{2}{3}$?
答案
解:(1)由 $PD=CQ$,
得 $12-t=3t$,
即 $4t=12$,
解得 $t=3$。
(2)由 $AP=AQ$,
得 $t=12+8-3t$,
即 $4t=20$,
解得 $t=5$。
(3)由 $S_{四边形PQCD}=\frac{2}{3}S_{长方形ABCD}$,
得 $\frac{1}{2}×(12-t+3t)×8=\frac{2}{3}×12×8$,
即 $6+t=8$,
解得 $t=2$。
得 $12-t=3t$,
即 $4t=12$,
解得 $t=3$。
(2)由 $AP=AQ$,
得 $t=12+8-3t$,
即 $4t=20$,
解得 $t=5$。
(3)由 $S_{四边形PQCD}=\frac{2}{3}S_{长方形ABCD}$,
得 $\frac{1}{2}×(12-t+3t)×8=\frac{2}{3}×12×8$,
即 $6+t=8$,
解得 $t=2$。
解析
【分析】
(1) 先分别用含t的代数式表示PD和CQ的长度：动点P的速度是1 cm/s，t秒的路程AP=t cm，因此PD=AD-AP=(12-t) cm；点Q在线段CB上运动时，t秒的路程CQ=3t cm，根据PD=CQ的等量关系列一元一次方程求解即可，此时t的取值范围为0＜t≤4。
(2) 点Q在线段BA上时，Q已经走完长度为12 cm的CB段，耗时12÷3=4 s，此时Q的总路程为3t cm，因此BQ=(3t-12) cm，AQ=AB-BQ=8-(3t-12)=(20-3t) cm，AP=t cm，根据AP=AQ的等量关系列方程求解，此时t的取值范围为4＜t≤$\frac{20}{3}$。
(3) 点Q在线段CB上时，PD//CQ，因此四边形PQCD是梯形，上底PD=(12-t) cm，下底CQ=3t cm，高为CD=8 cm，先计算长方形ABCD的面积，再根据“四边形PQCD的面积是长方形面积的$\frac{2}{3}$”结合梯形面积公式列方程求解即可。
【解析】
(1) 由题意得PD=12-t，CQ=3t，当PD=CQ时：
$12-t=3t$
移项得$4t=12$
解得$t=3$，符合0＜t≤4的范围。
(2) 当点Q在线段BA上时，AQ=8+12-3t=20-3t，AP=t，当AP=AQ时：
$t=20-3t$
移项得$4t=20$
解得$t=5$，符合4＜t≤$\frac{20}{3}$的范围。
(3) 长方形ABCD的面积为$12×8=96\ \mathrm{cm}^2$，其$\frac{2}{3}$的面积为$96×\frac{2}{3}=64\ \mathrm{cm}^2$。
四边形PQCD为梯形，面积为$\frac{1}{2}×(PD+CQ)×CD$，代入得：
$\frac{1}{2}×(12-t+3t)×8=64$
化简得$4×(12+2t)=64$
两边同除以4得$12+2t=16$
解得$t=2$，符合0＜t≤4的范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=3}$；(2) $\boldsymbol{t=5}$；(3) $\boldsymbol{t=2}$
【知识点】
一元一次方程应用，动点问题，梯形面积计算
【点评】
本题是矩形背景下的双动点基础题，解题核心是根据动点的运动阶段准确表示对应线段的长度，结合题目给出的等量关系列方程求解，求解后要验证解是否符合对应运动阶段的时间范围，避免得到不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
(1) 先分别用含t的代数式表示PD和CQ的长度：动点P的速度是1 cm/s，t秒的路程AP=t cm，因此PD=AD-AP=(12-t) cm；点Q在线段CB上运动时，t秒的路程CQ=3t cm，根据PD=CQ的等量关系列一元一次方程求解即可，此时t的取值范围为0＜t≤4。
(2) 点Q在线段BA上时，Q已经走完长度为12 cm的CB段，耗时12÷3=4 s，此时Q的总路程为3t cm，因此BQ=(3t-12) cm，AQ=AB-BQ=8-(3t-12)=(20-3t) cm，AP=t cm，根据AP=AQ的等量关系列方程求解，此时t的取值范围为4＜t≤$\frac{20}{3}$。
(3) 点Q在线段CB上时，PD//CQ，因此四边形PQCD是梯形，上底PD=(12-t) cm，下底CQ=3t cm，高为CD=8 cm，先计算长方形ABCD的面积，再根据“四边形PQCD的面积是长方形面积的$\frac{2}{3}$”结合梯形面积公式列方程求解即可。
【解析】
(1) 由题意得PD=12-t，CQ=3t，当PD=CQ时：
$12-t=3t$
移项得$4t=12$
解得$t=3$，符合0＜t≤4的范围。
(2) 当点Q在线段BA上时，AQ=8+12-3t=20-3t，AP=t，当AP=AQ时：
$t=20-3t$
移项得$4t=20$
解得$t=5$，符合4＜t≤$\frac{20}{3}$的范围。
(3) 长方形ABCD的面积为$12×8=96\ \mathrm{cm}^2$，其$\frac{2}{3}$的面积为$96×\frac{2}{3}=64\ \mathrm{cm}^2$。
四边形PQCD为梯形，面积为$\frac{1}{2}×(PD+CQ)×CD$，代入得：
$\frac{1}{2}×(12-t+3t)×8=64$
化简得$4×(12+2t)=64$
两边同除以4得$12+2t=16$
解得$t=2$，符合0＜t≤4的范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=3}$；(2) $\boldsymbol{t=5}$；(3) $\boldsymbol{t=2}$
【知识点】
一元一次方程应用，动点问题，梯形面积计算
【点评】
本题是矩形背景下的双动点基础题，解题核心是根据动点的运动阶段准确表示对应线段的长度，结合题目给出的等量关系列方程求解，求解后要验证解是否符合对应运动阶段的时间范围，避免得到不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
