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25.某种水果的成本价为10元/kg，销售价不低于成本价，且按物价部门规定不高于18元/kg.市场调查发现，该水果每天的销售量y(kg)与销售价x(元/kg)之间的函数关系如图6-2-1所示.
（1）求y与x之间的函数关系式.
（2）若经销商某天获得150元的销售利润，则该天水果的销售价应定为多少？（销售利润=销售价×销售量－成本价×销售量）
（1）求y与x之间的函数关系式.
（2）若经销商某天获得150元的销售利润，则该天水果的销售价应定为多少？（销售利润=销售价×销售量－成本价×销售量）
答案
25. 提示:(1)设y与x之间的函数关系式为$y = kx + b(k ≠ 0)$.把点的坐标代入,得
$\begin{cases} 10k + b = 40, \\ 18k + b = 24. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = -2, \\ b = 60. \end{cases}$
(2)依题意得$(x - 10)(-2x + 60) = 150$.
解得$x_1 = 15, x_2 = 25$(不合题意,舍去).
$\begin{cases} 10k + b = 40, \\ 18k + b = 24. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = -2, \\ b = 60. \end{cases}$
(2)依题意得$(x - 10)(-2x + 60) = 150$.
解得$x_1 = 15, x_2 = 25$(不合题意,舍去).
解析
【分析】
（1）观察图象可知y是x的一次函数，因此用待定系数法求解：先设一次函数的一般式$y=kx+b(k≠0)$，再将图象上的两个已知点$(10,40)$和$(18,24)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求得系数后，结合题目规定的销售价范围确定自变量x的取值范围即可。
（2）销售利润=每千克利润×销售量，每千克利润为$(x-10)$元，销售量为第一问求得的y，根据总利润为150元列方程，求解后结合x的取值范围舍去不符合题意的解，即可得到最终销售价。
【解析】
（1）设y与x之间的函数关系式为$y = kx + b(k ≠ 0)$，
将点$(10,40)$、$(18,24)$代入解析式，得：
$\begin{cases} 10k + b = 40 \\ 18k + b = 24 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$8k=-16$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$10k + b = 40$，得$-20 + b = 40$，解得$b=60$，
结合题意销售价范围为$10≤x≤18$，因此函数关系式为$y=-2x+60(10≤x≤18)$。
（2）根据题意列方程：
$(x - 10)(-2x + 60) = 150$
整理得$x^2 -40x +375=0$，
因式分解得$(x-15)(x-25)=0$，解得$x_1=15$，$x_2=25$，
∵销售价不高于18元/kg，
∴$x=25$不符合题意，舍去。
【答案】
（1）$y=-2x+60(10≤x≤18)$
（2）15元/kg
【知识点】
待定系数法求一次函数；一元二次方程的实际应用；销售利润计算
【点评】
本题属于函数与方程结合的常规实际应用题，解题核心是先求出函数解析式，再结合等量关系列方程求解，注意要根据实际限制条件对方程的解进行取舍，避免出现不合题意的结果。
【难度系数】
0.7
（1）观察图象可知y是x的一次函数，因此用待定系数法求解：先设一次函数的一般式$y=kx+b(k≠0)$，再将图象上的两个已知点$(10,40)$和$(18,24)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求得系数后，结合题目规定的销售价范围确定自变量x的取值范围即可。
（2）销售利润=每千克利润×销售量，每千克利润为$(x-10)$元，销售量为第一问求得的y，根据总利润为150元列方程，求解后结合x的取值范围舍去不符合题意的解，即可得到最终销售价。
【解析】
（1）设y与x之间的函数关系式为$y = kx + b(k ≠ 0)$，
将点$(10,40)$、$(18,24)$代入解析式，得：
$\begin{cases} 10k + b = 40 \\ 18k + b = 24 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$8k=-16$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$10k + b = 40$，得$-20 + b = 40$，解得$b=60$，
结合题意销售价范围为$10≤x≤18$，因此函数关系式为$y=-2x+60(10≤x≤18)$。
（2）根据题意列方程：
$(x - 10)(-2x + 60) = 150$
整理得$x^2 -40x +375=0$，
因式分解得$(x-15)(x-25)=0$，解得$x_1=15$，$x_2=25$，
∵销售价不高于18元/kg，
∴$x=25$不符合题意，舍去。
【答案】
（1）$y=-2x+60(10≤x≤18)$
（2）15元/kg
【知识点】
待定系数法求一次函数；一元二次方程的实际应用；销售利润计算
【点评】
本题属于函数与方程结合的常规实际应用题，解题核心是先求出函数解析式，再结合等量关系列方程求解，注意要根据实际限制条件对方程的解进行取舍，避免出现不合题意的结果。
【难度系数】
0.7
26.已知代数式$x^2 + 3x + 9$.
（1）写出两个$x$的值，使代数式的值相等.
（2）当$x$为何值时，代数式的值最小？（用配方法说明）
（1）写出两个$x$的值，使代数式的值相等.
（2）当$x$为何值时，代数式的值最小？（用配方法说明）
答案
26. 提示:(1)先设代数式等于一个值得一个方程,并保证方程有根,再求出方程的两个根；或取一个x的值,如x=0,求出代数式的值为9,再由代数式的值求出x的另一个值,为-3.
(2)$x^2 + 3x + 9 = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{4}$,
当$x = -\frac{3}{2}$时,代数式的值最小.
(2)$x^2 + 3x + 9 = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{4}$,
当$x = -\frac{3}{2}$时,代数式的值最小.
解析
【分析】
（1）要找到两个使代数式值相等的x，可先任选一个x代入算出代数式的结果，再令代数式等于该结果，解所得的一元二次方程即可得到另一个满足条件的x；也可通过等式推导得出：只要两个x的和为-3，就能使代数式值相等。
（2）用配方法求最小值时，先把含x的项配成完全平方式，再根据完全平方的非负性，当完全平方式为0时，代数式取得最小值，据此求出对应的x即可。
【解析】
（1）示例：取$x=0$，代入代数式得$0^2+3×0+9=9$。
令$x^2+3x+9=9$，整理得$x^2+3x=0$，因式分解得$x(x+3)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-3$，即$x=0$和$x=-3$是满足条件的两个值（答案不唯一）。
（2）对代数式配方变形：
$\begin{aligned}x^2+3x+9&=x^2+3x+(\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 +9\\&=(x+\frac{3}{2})^2 -\frac{9}{4}+9\\&=(x+\frac{3}{2})^2 +\frac{27}{4}\end{aligned}$
因为$(x+\frac{3}{2})^2≥0$，所以当$(x+\frac{3}{2})^2=0$时，代数式的值最小，此时$x+\frac{3}{2}=0$，解得$x=-\frac{3}{2}$。
【答案】
（1）示例：$x=0$，$x=-3$（答案不唯一）；（2）$x=-\frac{3}{2}$
【知识点】
代数式求值、配方法、非负数的性质
【点评】
本题第一问开放度较高，核心是借助一元二次方程的求解得到符合要求的取值；第二问重点考查配方法的操作步骤和完全平方非负性的应用，属于基础综合题，熟练掌握配方法和解一元二次方程即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）要找到两个使代数式值相等的x，可先任选一个x代入算出代数式的结果，再令代数式等于该结果，解所得的一元二次方程即可得到另一个满足条件的x；也可通过等式推导得出：只要两个x的和为-3，就能使代数式值相等。
（2）用配方法求最小值时，先把含x的项配成完全平方式，再根据完全平方的非负性，当完全平方式为0时，代数式取得最小值，据此求出对应的x即可。
【解析】
（1）示例：取$x=0$，代入代数式得$0^2+3×0+9=9$。
令$x^2+3x+9=9$，整理得$x^2+3x=0$，因式分解得$x(x+3)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-3$，即$x=0$和$x=-3$是满足条件的两个值（答案不唯一）。
（2）对代数式配方变形：
$\begin{aligned}x^2+3x+9&=x^2+3x+(\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 +9\\&=(x+\frac{3}{2})^2 -\frac{9}{4}+9\\&=(x+\frac{3}{2})^2 +\frac{27}{4}\end{aligned}$
因为$(x+\frac{3}{2})^2≥0$，所以当$(x+\frac{3}{2})^2=0$时，代数式的值最小，此时$x+\frac{3}{2}=0$，解得$x=-\frac{3}{2}$。
【答案】
（1）示例：$x=0$，$x=-3$（答案不唯一）；（2）$x=-\frac{3}{2}$
【知识点】
代数式求值、配方法、非负数的性质
【点评】
本题第一问开放度较高，核心是借助一元二次方程的求解得到符合要求的取值；第二问重点考查配方法的操作步骤和完全平方非负性的应用，属于基础综合题，熟练掌握配方法和解一元二次方程即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
27.如图6-2-2，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19 m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成。
（1）如果围成的自行车车棚的面积为180 m²，试求出它的长和宽。
（2）围成的自行车车棚的面积能为200 m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
图6-2-2
（1）如果围成的自行车车棚的面积为180 m²，试求出它的长和宽。
（2）围成的自行车车棚的面积能为200 m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
图6-2-2
答案
27. 提示:(1)设$AB = x$.依题意得
$(38 - 2x)x = 180$,解得$x_1 = 10, x_2 = 9$.
则$BC = 18$,或$BC = 20$(不合题意舍去).
(2)由$(38 - 2x)x = 200$,得$x^2 - 19x + 100 = 0$.
$\Delta = b^2 - 4ac = -39 ＜ 0$,方程没有实数根.
这说明自行车车棚的面积不能为200 m².
$(38 - 2x)x = 180$,解得$x_1 = 10, x_2 = 9$.
则$BC = 18$,或$BC = 20$(不合题意舍去).
(2)由$(38 - 2x)x = 200$,得$x^2 - 19x + 100 = 0$.
$\Delta = b^2 - 4ac = -39 ＜ 0$,方程没有实数根.
这说明自行车车棚的面积不能为200 m².
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：①先明确数量关系：铁栏围矩形的三边，平行于墙的边长=铁栏总长-2×垂直于墙的边长，且平行于墙的边长不能超过可利用墙长19m；②解决第一问时，设垂直于墙的边长为x，用含x的式子表示平行于墙的边长，再根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后结合墙长的限制对根进行取舍即可得到长和宽；③解决第二问时，先假设面积能达到200m²，按同样的方法列方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，即可得出结论。
【解析】
(1) 设垂直于墙的边AB的长度为x m，则平行于墙的边BC的长度为(38-2x)m，根据题意得：
$x(38-2x)=180$
整理得：$x^2-19x+90=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=9$
当$x=10$时，$BC=38-2×10=18\ \mathrm{m}$，$18＜19$，符合墙长限制；
当$x=9$时，$BC=38-2×9=20\ \mathrm{m}$，$20＞19$，不符合墙长限制，舍去。
(2) 假设围成的车棚面积能为200 m²，列方程得：
$x(38-2x)=200$
整理得：$x^2-19x+100=0$
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-19)^2 - 4×1×100 = 361-400=-39＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，不存在满足条件的边长。
【答案】
(1) 自行车车棚的长为18 m，宽为10 m；
(2) 不能，围成的自行车车棚的面积无法达到200 m²。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；根的判别式的应用
【点评】
本题属于典型的几何类方程应用题，解题时要注意结合实际场景的限制条件对方程的根进行取舍，同时可通过根的判别式快速判断实际方案是否可行，能有效考查学生的建模能力和问题分析能力。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：①先明确数量关系：铁栏围矩形的三边，平行于墙的边长=铁栏总长-2×垂直于墙的边长，且平行于墙的边长不能超过可利用墙长19m；②解决第一问时，设垂直于墙的边长为x，用含x的式子表示平行于墙的边长，再根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后结合墙长的限制对根进行取舍即可得到长和宽；③解决第二问时，先假设面积能达到200m²，按同样的方法列方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，即可得出结论。
【解析】
(1) 设垂直于墙的边AB的长度为x m，则平行于墙的边BC的长度为(38-2x)m，根据题意得：
$x(38-2x)=180$
整理得：$x^2-19x+90=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=9$
当$x=10$时，$BC=38-2×10=18\ \mathrm{m}$，$18＜19$，符合墙长限制；
当$x=9$时，$BC=38-2×9=20\ \mathrm{m}$，$20＞19$，不符合墙长限制，舍去。
(2) 假设围成的车棚面积能为200 m²，列方程得：
$x(38-2x)=200$
整理得：$x^2-19x+100=0$
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-19)^2 - 4×1×100 = 361-400=-39＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，不存在满足条件的边长。
【答案】
(1) 自行车车棚的长为18 m，宽为10 m；
(2) 不能，围成的自行车车棚的面积无法达到200 m²。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；根的判别式的应用
【点评】
本题属于典型的几何类方程应用题，解题时要注意结合实际场景的限制条件对方程的根进行取舍，同时可通过根的判别式快速判断实际方案是否可行，能有效考查学生的建模能力和问题分析能力。
【难度系数】
0.7
