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2.已知$a,b,c$是三角形的三条边长,且关于$x$的方程$(c - b)x^2 + 2(b - a)x + (a - b) = 0$有两个相等的实数根,试判断这个三角形的形状。
答案
∵Δ=4(b−a)²−4(c−b)(a−b)=4(a−b)(a−c)=0,
∴a=b或a=c。
∵c−b≠0,
∴c≠b。
∴这个三角形是等腰三角形(不包括等边三角形)
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需先根据方程根的情况推导三边的数量关系：①首先方程有两个相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，可得c≠b；②再根据一元二次方程有两个相等实根时判别式Δ=0的性质，计算并化简判别式，得到a、b、c的等量关系，最后结合三角形分类的知识判断形状即可。
【解析】
∵ 关于x的方程$(c - b)x^2 + 2(b - a)x + (a - b) = 0$有两个相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，判别式$\Delta = 0$，且二次项系数$c - b ≠ 0$即$c ≠ b$。
计算判别式：
$\Delta = [2(b-a)]^2 - 4(c-b)(a-b) = 4(b-a)^2 - 4(c-b)(a-b)$
对式子因式分解：
$\Delta = 4(a-b)[(a-b) - (c-b)] = 4(a-b)(a-c)$
令$\Delta = 0$，得$4(a-b)(a-c) = 0$，
∴ $a - b = 0$或$a - c = 0$，即$a = b$或$a = c$。
结合$c ≠ b$的条件，可知三角形有两条边相等，但三条边不全相等。
【答案】
这个三角形是等腰三角形(不包括等边三角形)
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程的定义
3.等腰三角形的判定
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致误判三角形为等边三角形。
【难度系数】
0.6
要判断三角形的形状，需先根据方程根的情况推导三边的数量关系：①首先方程有两个相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，可得c≠b；②再根据一元二次方程有两个相等实根时判别式Δ=0的性质，计算并化简判别式，得到a、b、c的等量关系，最后结合三角形分类的知识判断形状即可。
【解析】
∵ 关于x的方程$(c - b)x^2 + 2(b - a)x + (a - b) = 0$有两个相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，判别式$\Delta = 0$，且二次项系数$c - b ≠ 0$即$c ≠ b$。
计算判别式：
$\Delta = [2(b-a)]^2 - 4(c-b)(a-b) = 4(b-a)^2 - 4(c-b)(a-b)$
对式子因式分解：
$\Delta = 4(a-b)[(a-b) - (c-b)] = 4(a-b)(a-c)$
令$\Delta = 0$，得$4(a-b)(a-c) = 0$，
∴ $a - b = 0$或$a - c = 0$，即$a = b$或$a = c$。
结合$c ≠ b$的条件，可知三角形有两条边相等，但三条边不全相等。
【答案】
这个三角形是等腰三角形(不包括等边三角形)
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程的定义
3.等腰三角形的判定
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致误判三角形为等边三角形。
【难度系数】
0.6
3. 已知关于x的一元二次方程$x^2 + 2x = m$（m为常数）。
(1)当$m=5$时，求这个方程的解。
(2)当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？
(1)当$m=5$时，求这个方程的解。
(2)当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？
答案
(1) 当m=5时,方程为$x^2 + 2x = 5$。解得$x_1 = \sqrt{6} - 1,x_2 = -\sqrt{6} - 1$
(2) Δ=$b^2 - 4ac = 4 + 4m$。当$4 + 4m = 0$,即$m = -1$时,此方程有两个相等的实数根;当$4m + 4 ＜ 0$,即$m ＜ -1$时,此方程没有实数根
(2) Δ=$b^2 - 4ac = 4 + 4m$。当$4 + 4m = 0$,即$m = -1$时,此方程有两个相等的实数根;当$4m + 4 ＜ 0$,即$m ＜ -1$时,此方程没有实数根
解析
【分析】
（1）第一问解答思路：先将$m=5$代入原方程得到标准一元二次方程，再选择配方法或公式法求解方程的根即可。
（2）第二问解答思路：首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，确定对应系数$a、b、c$的值，代入根的判别式$\Delta=b^2-4ac$；再根据一元二次方程根的个数与判别式的对应规则：$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根，分别列等式、不等式求解$m$的取值即可。
【解析】
(1) 当$m=5$时，原方程为$x^2 + 2x = 5$，
移项得$x^2 + 2x - 5 = 0$，
配方得$x^2 + 2x + 1 = 5 + 1$，即$(x+1)^2=6$，
开平方得$x+1=\pm\sqrt{6}$，
解得$x_1 = \sqrt{6} - 1$，$x_2 = -\sqrt{6} - 1$。
(2) 将原方程整理为一般形式：$x^2 + 2x - m = 0$，
其中$a=1$，$b=2$，$c=-m$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-m) = 4 + 4m$。
当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$，即$4 + 4m = 0$，解得$m=-1$；
当方程没有实数根时，$\Delta＜0$，即$4 + 4m ＜ 0$，解得$m ＜ -1$。
【答案】
(1) $x_1 = \sqrt{6} - 1$，$x_2 = -\sqrt{6} - 1$
(2) 当$m=-1$时，此方程有两个相等的实数根；当$m ＜ -1$时，此方程没有实数根
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题属于一元二次方程基础题型，重点考查一元二次方程的求解方法，以及根的判别式和方程根的个数的对应关系，熟练掌握相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）第一问解答思路：先将$m=5$代入原方程得到标准一元二次方程，再选择配方法或公式法求解方程的根即可。
（2）第二问解答思路：首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，确定对应系数$a、b、c$的值，代入根的判别式$\Delta=b^2-4ac$；再根据一元二次方程根的个数与判别式的对应规则：$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根，分别列等式、不等式求解$m$的取值即可。
【解析】
(1) 当$m=5$时，原方程为$x^2 + 2x = 5$，
移项得$x^2 + 2x - 5 = 0$，
配方得$x^2 + 2x + 1 = 5 + 1$，即$(x+1)^2=6$，
开平方得$x+1=\pm\sqrt{6}$，
解得$x_1 = \sqrt{6} - 1$，$x_2 = -\sqrt{6} - 1$。
(2) 将原方程整理为一般形式：$x^2 + 2x - m = 0$，
其中$a=1$，$b=2$，$c=-m$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-m) = 4 + 4m$。
当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$，即$4 + 4m = 0$，解得$m=-1$；
当方程没有实数根时，$\Delta＜0$，即$4 + 4m ＜ 0$，解得$m ＜ -1$。
【答案】
(1) $x_1 = \sqrt{6} - 1$，$x_2 = -\sqrt{6} - 1$
(2) 当$m=-1$时，此方程有两个相等的实数根；当$m ＜ -1$时，此方程没有实数根
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题属于一元二次方程基础题型，重点考查一元二次方程的求解方法，以及根的判别式和方程根的个数的对应关系，熟练掌握相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2}) = 0$。
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一条边长为4，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长。
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一条边长为4，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长。
答案
1.
∵ Δ = b² - 4ac = (2k + 1)² - 4 × 4(k - 1/2) = 4k² - 12k + 9 = (2k - 3)² ≥ 0,
∴ 这个一元二次方程有两个实数根
2. ①当腰长为4时,则必有x = 4,代入原方程,得k = 2.5。
∴ 原方程为x² - 6x + 8 = 0,解得x₁ = 2,x₂ = 4。
∴ 这个等腰三角形的周长为4 + 4 + 2 = 10。
②当底边长为4时,方程有两个相等的实数根,即b² - 4ac = (2k - 3)² = 0。
∴ k = 1.5。此时原方程为x² - 4x + 4 = 0。解得x₁ = x₂ = 2。但2,2,4不能组成三角形,故舍去。
∴ 等腰三角形的周长为10
∵ Δ = b² - 4ac = (2k + 1)² - 4 × 4(k - 1/2) = 4k² - 12k + 9 = (2k - 3)² ≥ 0,
∴ 这个一元二次方程有两个实数根
2. ①当腰长为4时,则必有x = 4,代入原方程,得k = 2.5。
∴ 原方程为x² - 6x + 8 = 0,解得x₁ = 2,x₂ = 4。
∴ 这个等腰三角形的周长为4 + 4 + 2 = 10。
②当底边长为4时,方程有两个相等的实数根,即b² - 4ac = (2k - 3)² = 0。
∴ k = 1.5。此时原方程为x² - 4x + 4 = 0。解得x₁ = x₂ = 2。但2,2,4不能组成三角形,故舍去。
∴ 等腰三角形的周长为10
解析
【分析】
（1）判断一元二次方程根的情况，核心方法是计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，先确定方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta$化简后根据结果的符号即可判断根的情况；
（2）涉及等腰三角形的边长问题，需分已知边长为腰、为底边两种情况讨论：①若4为腰长，则4是方程的一个根，代入方程求出$k$的值，再解方程得到另一根，最后结合三角形三边关系验证并计算周长；②若4为底边长，则方程的两个根相等（即两腰长相等），令$\Delta=0$求出$k$的值，解方程得到两根后，同样用三边关系验证是否能构成三角形，最终确定符合条件的周长。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2}) = 0$，其中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=4(k-\frac{1}{2})$，
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (2k+1)^2 - 4×1×4(k-\frac{1}{2})$
$=4k^2+4k+1 -16k +8$
$=4k^2-12k+9$
$=(2k-3)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(2k-3)^2≥0$，
∴ 该一元二次方程有两个实数根。
（2）分两种情况讨论：
① 当边长为4的边是等腰三角形的腰长时，可知$x=4$是方程的一个根，将$x=4$代入原方程：
$4^2 - (2k+1)×4 + 4(k-\frac{1}{2})=0$
解得$k=2.5$，
将$k=2.5$代入原方程得：$x^2 -6x +8=0$，
解方程得$x_1=2$，$x_2=4$，
此时三角形三边长为4、4、2，满足三角形三边关系，周长为$4+4+2=10$；
② 当边长为4的边是等腰三角形的底边长时，可知方程的两个根为两腰长，即两根相等，因此$\Delta=0$，
即$(2k-3)^2=0$，解得$k=1.5$，
将$k=1.5$代入原方程得：$x^2 -4x +4=0$，
解方程得$x_1=x_2=2$，
此时三角形三边长为2、2、4，
∵$2+2=4$，不满足三角形三边关系，故该情况舍去。
【答案】
（1）方程有两个实数根；（2）10
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，解题的关键是第二问要结合等腰三角形的特点分类讨论，同时不要忽略用三角形三边关系对解得的边长进行验证，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
（1）判断一元二次方程根的情况，核心方法是计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，先确定方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta$化简后根据结果的符号即可判断根的情况；
（2）涉及等腰三角形的边长问题，需分已知边长为腰、为底边两种情况讨论：①若4为腰长，则4是方程的一个根，代入方程求出$k$的值，再解方程得到另一根，最后结合三角形三边关系验证并计算周长；②若4为底边长，则方程的两个根相等（即两腰长相等），令$\Delta=0$求出$k$的值，解方程得到两根后，同样用三边关系验证是否能构成三角形，最终确定符合条件的周长。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2}) = 0$，其中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=4(k-\frac{1}{2})$，
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (2k+1)^2 - 4×1×4(k-\frac{1}{2})$
$=4k^2+4k+1 -16k +8$
$=4k^2-12k+9$
$=(2k-3)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(2k-3)^2≥0$，
∴ 该一元二次方程有两个实数根。
（2）分两种情况讨论：
① 当边长为4的边是等腰三角形的腰长时，可知$x=4$是方程的一个根，将$x=4$代入原方程：
$4^2 - (2k+1)×4 + 4(k-\frac{1}{2})=0$
解得$k=2.5$，
将$k=2.5$代入原方程得：$x^2 -6x +8=0$，
解方程得$x_1=2$，$x_2=4$，
此时三角形三边长为4、4、2，满足三角形三边关系，周长为$4+4+2=10$；
② 当边长为4的边是等腰三角形的底边长时，可知方程的两个根为两腰长，即两根相等，因此$\Delta=0$，
即$(2k-3)^2=0$，解得$k=1.5$，
将$k=1.5$代入原方程得：$x^2 -4x +4=0$，
解方程得$x_1=x_2=2$，
此时三角形三边长为2、2、4，
∵$2+2=4$，不满足三角形三边关系，故该情况舍去。
【答案】
（1）方程有两个实数根；（2）10
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，解题的关键是第二问要结合等腰三角形的特点分类讨论，同时不要忽略用三角形三边关系对解得的边长进行验证，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
