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4. 小明在解方程$x^2 -5x=1$时出现了错误，其解答过程如下。
解:∵$a=1,b=-5,c=1$，……………………………………第一步
∴$b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×1=21$。……………………第二步
∴$x=\frac{5±\sqrt{21}}{2}$。…………………………………………第三步
∴$x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$。…………………………第四步
(1)小明的解答过程是从第
(2)写出此题正确的解答过程。
解:∵$a=1,b=-5,c=1$，……………………………………第一步
∴$b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×1=21$。……………………第二步
∴$x=\frac{5±\sqrt{21}}{2}$。…………………………………………第三步
∴$x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$。…………………………第四步
(1)小明的解答过程是从第
一
步开始出错的，其错误原因是原方程没有化成一般形式
。(2)写出此题正确的解答过程。
答案
4. (1) 一 原方程没有化成一般形式
(2) 正确的解答过程如下:$x^2 - 5x = 1$,化为一般形式,得 $x^2 - 5x - 1 = 0$。$\because a = 1,b = -5,c = -1$, $\therefore \Delta = (-5)^2 - 4 × 1 × (-1) = 25 + 4 = 29 ＞ 0$。$\therefore x = \dfrac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$。$\therefore x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{29}}{2},x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{29}}{2}$
(2) 正确的解答过程如下:$x^2 - 5x = 1$,化为一般形式,得 $x^2 - 5x - 1 = 0$。$\because a = 1,b = -5,c = -1$, $\therefore \Delta = (-5)^2 - 4 × 1 × (-1) = 25 + 4 = 29 ＞ 0$。$\therefore x = \dfrac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$。$\therefore x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{29}}{2},x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{29}}{2}$
解析
【分析】
(1) 要判断小明的错误步骤，首先回忆公式法解一元二次方程的要求：使用求根公式前必须先将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再确定系数$a、b、c$的值。观察原方程$x^2-5x=1$，未移项整理时右边不为0，小明直接取$c=1$，不符合一般形式的要求，因此第一步就出错了，错误原因是未将方程化为一般形式。
(2) 正确解题思路：先将原方程移项化为一般形式，再准确确定$a、b、c$的值，代入根的判别式计算$\Delta$，验证$\Delta≥0$后再代入求根公式计算方程的解即可。
【解析】
(1) 小明第一步直接根据未整理的原方程确定$a=1,b=-5,c=1$，此时方程还不是一般形式，常数项应为移项后的$-1$，因此从第一步开始出错，错误原因是原方程没有化成一般形式。
(2) 正确解答过程：
首先将原方程移项化为一般形式，再确定各项系数，计算根的判别式后代入求根公式求解即可。
【答案】
(1) 一；原方程没有化成一般形式
(2) 解：$x^2 - 5x = 1$，化为一般形式，得 $x^2 - 5x - 1 = 0$。
$\because a = 1,b = -5,c = -1$，
$\therefore \Delta = (-5)^2 - 4 × 1 × (-1) = 25 + 4 = 29 ＞ 0$。
$\therefore x = \dfrac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$。
$\therefore x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{29}}{2},x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{29}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，易错点是使用求根公式前忽略将方程化为一般形式，导致系数取值错误。解题时要严格遵循公式法解方程的步骤，先整理方程为一般形式，再准确确定各项系数后计算。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断小明的错误步骤，首先回忆公式法解一元二次方程的要求：使用求根公式前必须先将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再确定系数$a、b、c$的值。观察原方程$x^2-5x=1$，未移项整理时右边不为0，小明直接取$c=1$，不符合一般形式的要求，因此第一步就出错了，错误原因是未将方程化为一般形式。
(2) 正确解题思路：先将原方程移项化为一般形式，再准确确定$a、b、c$的值，代入根的判别式计算$\Delta$，验证$\Delta≥0$后再代入求根公式计算方程的解即可。
【解析】
(1) 小明第一步直接根据未整理的原方程确定$a=1,b=-5,c=1$，此时方程还不是一般形式，常数项应为移项后的$-1$，因此从第一步开始出错，错误原因是原方程没有化成一般形式。
(2) 正确解答过程：
首先将原方程移项化为一般形式，再确定各项系数，计算根的判别式后代入求根公式求解即可。
【答案】
(1) 一；原方程没有化成一般形式
(2) 解：$x^2 - 5x = 1$，化为一般形式，得 $x^2 - 5x - 1 = 0$。
$\because a = 1,b = -5,c = -1$，
$\therefore \Delta = (-5)^2 - 4 × 1 × (-1) = 25 + 4 = 29 ＞ 0$。
$\therefore x = \dfrac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$。
$\therefore x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{29}}{2},x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{29}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，易错点是使用求根公式前忽略将方程化为一般形式，导致系数取值错误。解题时要严格遵循公式法解方程的步骤，先整理方程为一般形式，再准确确定各项系数后计算。
【难度系数】
0.8
5. 能保证方程$ax^2 + bx + c = 0$是一元二次方程且至少有一个根是0的条件是(
A.$a≠0$且$c=0$
B.$b=0$
C.$b=0$且$c=0$
D.$c=0$
A
)。A.$a≠0$且$c=0$
B.$b=0$
C.$b=0$且$c=0$
D.$c=0$
答案
5. A
解析
【分析】
解题需要同时满足两个要求，我们拆分条件逐一推导：第一步先确定方程为一元二次方程的必要条件，一元二次方程的核心是最高次项为二次，因此二次项系数不能为0；第二步推导方程有一个根为0的条件，根据方程根的定义，把x=0代入原方程，等式必须成立，即可求出c的取值，最后合并两个条件就能得到正确选项。
【解析】
1. 先确定“$ax^2 + bx + c = 0$是一元二次方程”的条件：
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此得$a≠0$，可直接排除不含$a≠0$要求的B、C、D选项。
2. 再确定“方程至少有一个根是0”的条件：
若x=0是方程的根，将$x=0$代入原方程得：$a×0^2 + b×0 + c = 0$，化简得$c=0$。
综上，同时满足两个要求的条件是$a≠0$且$c=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，需要同时满足两个限定条件，特别注意不要遗漏一元二次方程中二次项系数不为0的隐含要求，避免误选只满足根为0条件的D选项。
【难度系数】
0.8
解题需要同时满足两个要求，我们拆分条件逐一推导：第一步先确定方程为一元二次方程的必要条件，一元二次方程的核心是最高次项为二次，因此二次项系数不能为0；第二步推导方程有一个根为0的条件，根据方程根的定义，把x=0代入原方程，等式必须成立，即可求出c的取值，最后合并两个条件就能得到正确选项。
【解析】
1. 先确定“$ax^2 + bx + c = 0$是一元二次方程”的条件：
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此得$a≠0$，可直接排除不含$a≠0$要求的B、C、D选项。
2. 再确定“方程至少有一个根是0”的条件：
若x=0是方程的根，将$x=0$代入原方程得：$a×0^2 + b×0 + c = 0$，化简得$c=0$。
综上，同时满足两个要求的条件是$a≠0$且$c=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，需要同时满足两个限定条件，特别注意不要遗漏一元二次方程中二次项系数不为0的隐含要求，避免误选只满足根为0条件的D选项。
【难度系数】
0.8
6.若直线$y = x + a$不经过第二象限，则关于$x$的方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$的实数根的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.1或2
D
)。A.0
B.1
C.2
D.1或2
答案
6. D
解析
【分析】
解题首先从一次函数的图象性质入手，先确定参数$a$的取值范围：直线$y=x+a$斜率为正，不经过第二象限说明它和$y$轴的交点在原点或$y$轴负半轴，可得$a≤0$。再对参数$a$分类讨论：当$a=0$时，原方程为一元一次方程，直接判断根的个数；当$a＜0$时，原方程为一元二次方程，通过计算判别式的正负判断根的个数，最后综合两种情况得到最终结论。
【解析】
1. 确定$a$的取值范围
直线$y=x+a$的斜率$k=1＞0$，若直线不经过第二象限，则其与$y$轴的截距$a≤0$。
2. 分情况讨论方程根的个数
① 当$a=0$时，原方程化为$2x+1=0$，是一元一次方程，有且仅有1个实数根；
② 当$a＜0$时，原方程$ax^2+2x+1=0$是一元二次方程，判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4× a×1=4-4a$。
因为$a＜0$，所以$-4a＞0$，因此$\Delta=4-4a＞4＞0$，此时一元二次方程有2个不相等的实数根。
综上，方程的实数根个数为1或2。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题属于基础综合题，易错点是容易忽略$a=0$的情况，直接将原方程判定为一元二次方程求解，解题时遇到最高次项含参数的方程，要优先对最高次项系数是否为0分类讨论。
【难度系数】
0.7
解题首先从一次函数的图象性质入手，先确定参数$a$的取值范围：直线$y=x+a$斜率为正，不经过第二象限说明它和$y$轴的交点在原点或$y$轴负半轴，可得$a≤0$。再对参数$a$分类讨论：当$a=0$时，原方程为一元一次方程，直接判断根的个数；当$a＜0$时，原方程为一元二次方程，通过计算判别式的正负判断根的个数，最后综合两种情况得到最终结论。
【解析】
1. 确定$a$的取值范围
直线$y=x+a$的斜率$k=1＞0$，若直线不经过第二象限，则其与$y$轴的截距$a≤0$。
2. 分情况讨论方程根的个数
① 当$a=0$时，原方程化为$2x+1=0$，是一元一次方程，有且仅有1个实数根；
② 当$a＜0$时，原方程$ax^2+2x+1=0$是一元二次方程，判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4× a×1=4-4a$。
因为$a＜0$，所以$-4a＞0$，因此$\Delta=4-4a＞4＞0$，此时一元二次方程有2个不相等的实数根。
综上，方程的实数根个数为1或2。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题属于基础综合题，易错点是容易忽略$a=0$的情况，直接将原方程判定为一元二次方程求解，解题时遇到最高次项含参数的方程，要优先对最高次项系数是否为0分类讨论。
【难度系数】
0.7
7. 若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 + x + 1 = 0$有两个实数根，则$k$的取值范围是(
A.$k ≤ \dfrac{5}{4}$
B.$k ≥ \dfrac{5}{4}$
C.$k ≥ -\dfrac{5}{4}$且$k ≠ 1$
D.$k ≤ \dfrac{5}{4}$且$k ≠ 1$
D
)。A.$k ≤ \dfrac{5}{4}$
B.$k ≥ \dfrac{5}{4}$
C.$k ≥ -\dfrac{5}{4}$且$k ≠ 1$
D.$k ≤ \dfrac{5}{4}$且$k ≠ 1$
答案
7. D
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需结合题干的两个限定条件分析：第一，该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是隐含的必要前提；第二，方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于0。分别求解两个条件对应的k的范围，再取公共部分即可得到最终结果。
【解析】
① 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，即：
$k - 1 ≠ 0$，解得 $k ≠ 1$；
② 方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式规则，$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，本题中$a = k-1$，$b=1$，$c=1$，代入得：
$\Delta = 1^2 - 4 × (k-1) × 1 ≥ 0$
化简不等式：
$1 - 4k + 4 ≥ 0$
$5 - 4k ≥ 0$
解得 $k ≤ \frac{5}{4}$；
③ 综合两个条件，k的取值范围为$k ≤ \frac{5}{4}$且$k ≠ 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式计算误选A，解题时要注意完整提取题干的所有限定要求。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值范围，需结合题干的两个限定条件分析：第一，该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是隐含的必要前提；第二，方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于0。分别求解两个条件对应的k的范围，再取公共部分即可得到最终结果。
【解析】
① 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，即：
$k - 1 ≠ 0$，解得 $k ≠ 1$；
② 方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式规则，$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，本题中$a = k-1$，$b=1$，$c=1$，代入得：
$\Delta = 1^2 - 4 × (k-1) × 1 ≥ 0$
化简不等式：
$1 - 4k + 4 ≥ 0$
$5 - 4k ≥ 0$
解得 $k ≤ \frac{5}{4}$；
③ 综合两个条件，k的取值范围为$k ≤ \frac{5}{4}$且$k ≠ 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式计算误选A，解题时要注意完整提取题干的所有限定要求。
【难度系数】
0.7
8. 对于实数$a,b$定义运算“☆”：$a☆b=ab^2 - ab$，例如$3☆2=3×2^2 - 3×2=6$，则方程$1☆x=2$的根的情况为(
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
D
)。A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
答案
8. D
解析
【分析】
解题首先需要正确理解新定义的“☆”运算规则，将方程中的1☆x转化为常规的代数表达式，进而整理为一元二次方程的一般形式，再通过计算根的判别式Δ的值判断根的情况：Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。
【解析】
根据新定义运算$a☆b=ab^2 - ab$，将$a=1,b=x$代入得：
$1☆x=1· x^2 - 1· x = x^2 - x$
已知$1☆x=2$，因此可列方程：
$x^2 - x = 2$
移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - x - 2 = 0$
其中$a=1,b=-1,c=-2$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9 ＞ 0$
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是准确将新定义运算转化为常规代数方程，再结合判别式的性质判断根的情况，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题首先需要正确理解新定义的“☆”运算规则，将方程中的1☆x转化为常规的代数表达式，进而整理为一元二次方程的一般形式，再通过计算根的判别式Δ的值判断根的情况：Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。
【解析】
根据新定义运算$a☆b=ab^2 - ab$，将$a=1,b=x$代入得：
$1☆x=1· x^2 - 1· x = x^2 - x$
已知$1☆x=2$，因此可列方程：
$x^2 - x = 2$
移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - x - 2 = 0$
其中$a=1,b=-1,c=-2$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9 ＞ 0$
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是准确将新定义运算转化为常规代数方程，再结合判别式的性质判断根的情况，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
1. 小文在解关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$时，只抄对了$a=1,b=4$，解出其中一个根是$x=-1$，他检查时发现所抄的$c$的值比原方程的$c$值小2。则原方程的根的情况是(
A.不存在实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是$x=-1$
D.有两个相等的实数根
A
)。A.不存在实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是$x=-1$
D.有两个相等的实数根
答案
1. A
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，先利用小文抄对的a、b值和他解出的根，代入他所用的错误方程，求出他抄错的c值；第二步，根据“抄的c比原方程c小2”的条件，计算出原方程的正确c值；第三步，写出原方程，计算根的判别式Δ的正负，即可判断原方程根的情况。
【解析】
第一步：求小文抄错的c值
已知小文抄对了$a=1$，$b=4$，解得一个根为$x=-1$，将其代入小文所用的方程$x^2+4x+c_{错}=0$，得：
$(-1)^2 + 4×(-1) + c_{错}=0$
$1 - 4 + c_{错}=0$
解得$c_{错}=3$
第二步：求原方程的c值
因为所抄的c比原方程的c值小2，所以原方程的$c=c_{错}+2=3+2=5$
第三步：判断原方程根的情况
原方程为$x^2+4x+5=0$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×1×5 = 16 - 20 = -4 ＜ 0$
所以原方程不存在实数根。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用类题型，解题核心是通过错误的求解结果反向推导正确的参数，再结合判别式判断根的情况，注意不要搞反原c值和错误c值的大小关系。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：第一步，先利用小文抄对的a、b值和他解出的根，代入他所用的错误方程，求出他抄错的c值；第二步，根据“抄的c比原方程c小2”的条件，计算出原方程的正确c值；第三步，写出原方程，计算根的判别式Δ的正负，即可判断原方程根的情况。
【解析】
第一步：求小文抄错的c值
已知小文抄对了$a=1$，$b=4$，解得一个根为$x=-1$，将其代入小文所用的方程$x^2+4x+c_{错}=0$，得：
$(-1)^2 + 4×(-1) + c_{错}=0$
$1 - 4 + c_{错}=0$
解得$c_{错}=3$
第二步：求原方程的c值
因为所抄的c比原方程的c值小2，所以原方程的$c=c_{错}+2=3+2=5$
第三步：判断原方程根的情况
原方程为$x^2+4x+5=0$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×1×5 = 16 - 20 = -4 ＜ 0$
所以原方程不存在实数根。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用类题型，解题核心是通过错误的求解结果反向推导正确的参数，再结合判别式判断根的情况，注意不要搞反原c值和错误c值的大小关系。
【难度系数】
0.7
