4. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。
(1)求证:四边形AECF是平行四边形；
(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积。

4. (1) 由折叠的性质可知, AM = AB, CN = CD, ∠FNC = ∠D = 90°, ∠AME = ∠B = 90°,
∴ ∠ANF = 90°, ∠CME = 90°。
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ AB = CD,AD//BC。
∴ AM = CN, ∠DAN = ∠BCA。
∴ AM - MN = CN - MN, 即 AN = CM。在△ANF 和 △CME 中,
∵ ∠FAN = ∠MCE, AN = CM, ∠ANF = ∠CME,
∴ △ANF≌△CME( ASA)。
∴ AF = CE。又
∵ AF // CE,
∴ 四边形AECF是平行四边形
(2)
∵ AB = 6,AC = 10,
∴ BC = 8。设 CE = x,则 EM = 8 - x,CM = 10 - 6 = 4。在Rt△CEM 中, (8 - x)² + 4² = x²,解得 x = 5。
∴ 四边形AECF的面积为 EC · AB = 5 × 6 = 30

【分析】
（1）要证明四边形AECF是平行四边形，已知矩形ABCD中AD//BC，即AF//CE，只需证明AF=CE即可。首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合矩形对边相等的性质，推出AN=CM，再通过ASA证明△ANF≌△CME，即可得到AF=CE，结合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理即可得证。
（2）求平行四边形AECF的面积，可选择EC为底，AB为高，因此只需计算EC的长度。先在矩形ABCD中用勾股定理算出BC的长，设CE=x，根据折叠性质可得EM=BE=8-x，CM=AC-AM=10-6=4，再在Rt△CEM中利用勾股定理列方程求解x，最后用底乘高计算面积即可。
【解析】
(1) 证明：由折叠的性质可知，$AM = AB$，$CN = CD$，$∠ FNC = ∠ D = 90°$，$∠ AME = ∠ B = 90°$，
∴ $∠ ANF = 180°-∠ FNC = 90°$，$∠ CME = 180°-∠ AME = 90°$。
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ $AB = CD$，$AD// BC$，
∴ $AM = CN$，$∠ FAN = ∠ MCE$，
∴ $AM - MN = CN - MN$，即 $AN = CM$。
在$△ ANF$ 和 $△ CME$ 中，
$\begin{cases}∠ FAN=∠ MCE\\ AN=CM\\ ∠ ANF=∠ CME\end{cases}$
∴ $△ ANF≌△ CME(\mathrm{ASA})$，
∴ $AF = CE$，
又
∵ $AF // CE$，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB = 6$，$AC = 10$，
由勾股定理得 $BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设 $CE = x$，由折叠的性质得$EM = BE = BC - CE = 8 - x$，$CM = AC - AM = AC - AB = 10 - 6 = 4$，
在$\mathrm{Rt}△ CEM$ 中，由勾股定理得 $EM^2 + CM^2 = CE^2$，
即 $(8 - x)^2 + 4^2 = x^2$，
展开化简得$80-16x=0$，解得 $x = 5$。
∵ 平行四边形AECF的高为AB的长度，
∴ 四边形AECF的面积为 $EC · AB = 5 × 6 = 30$。
【答案】
(1) 四边形AECF是平行四边形，证明成立；
(2) $\boxed{30}$
【知识点】
折叠的性质；平行四边形的判定；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何综合题，将矩形性质、折叠变换与平行四边形判定、勾股定理相结合，解题时要注意折叠前后对应边、对应角相等的隐含条件，求线段长度时合理运用方程思想可以简化计算。
【难度系数】
0.7

阅读下列材料,并完成相应的任务。
三等分角是古希腊三大几何问题之一。如图①,任意锐角∠ABC可看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角,以点B为端点的射线BF交CA于点E,交DA的延长线于点F。若$EF=2AB$,则射线BF是∠ABC的一条三等分线。
证明:如图②,取EF的中点G,连接AG……

任务:
(1)完成材料中的证明过程;
(2)如图③,在矩形ABCD中,对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线相交于点F。若$BF=\frac{1}{2}AC$,则∠F的度数为。

1.
∵ 四边形 BCAD 是矩形,
∴ AD // BC , ∠DAC = 90°。
∴ ∠F = ∠CBF, ∠EAF = 90°。
∵ G 是 EF 的中点,
∴ $AG=\frac{1}{2}EF=FG$。
∴ ∠F = ∠GAF。
∵ EF = 2AB,
∴ AG = AB。
∴ ∠ABG = ∠AGB = ∠F + ∠GAF = 2∠F = 2∠CBF。
∴ ∠ABC = 3∠CBF。
∴ 射线 BF 是∠ABC 的一条三等分线
2. 30°

【分析】
(1) 要证明BF是∠ABC的三等分线，只需证明∠ABC=3∠CBF即可。首先利用矩形对边平行、内角为直角的性质，得到∠F=∠CBF且△EAF为直角三角形；再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，结合已知EF=2AB推出AG=AB，得到等腰△ABG；最后利用三角形外角的性质推导角的倍数关系，即可完成证明。
(2) 要求∠F的度数，先构造Rt△ABC斜边AC的中线，利用直角三角形斜边中线性质结合已知BF=½AC得到等腰三角形，再结合角平分线定义和三角形外角的性质，建立关于∠F的等量关系求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形 BCAD 是矩形，
∴ AD // BC ，∠DAC = 90°，
∴ ∠F = ∠CBF，∠EAF = 180°-∠DAC = 90°。
∵ G 是 EF 的中点，
∴ 在Rt△EAF中，$AG=\frac{1}{2}EF=FG$，
∴ ∠F = ∠GAF。
∵ EF = 2AB，
∴ $AG=\frac{1}{2}EF=AB$，
∴ ∠ABG = ∠AGB。
∵ ∠AGB是△AFG的外角，
∴ ∠AGB = ∠F + ∠GAF = 2∠F = 2∠CBF，
∴ ∠ABG = 2∠CBF，
∴ ∠ABC = ∠ABG + ∠CBF = 3∠CBF，
∴ 射线 BF 是∠ABC 的一条三等分线。
(2) 解：
取AC的中点O，连接BO。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=90°，
∴ 在Rt△ABC中，$BO=\frac{1}{2}AC=OA$，
∴ ∠OAB = ∠OBA。
∵ $BF=\frac{1}{2}AC$，
∴ BO = BF，
∴ ∠F = ∠BOF。
∵ BF平分外角∠CBE，∠CBE=180°-∠ABC=90°，
∴ $∠ FBE=\frac{1}{2}∠ CBE=45°$。
∵ ∠BOF是△ABO的外角，
∴ ∠BOF = ∠OAB + ∠OBA = 2∠OAB，即$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ F$。
∵ ∠FBE是△ABF的外角，
∴ ∠FBE = ∠F + ∠OAB，
代入得：$45°=∠ F+\frac{1}{2}∠ F=\frac{3}{2}∠ F$，
解得$∠ F=30°$。
【答案】
(1) 证明过程见上述解析；(2) $\boldsymbol{30°}$
【知识点】
矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题以古希腊三等分角的经典问题为背景，综合考查了特殊四边形、直角三角形、等腰三角形的相关性质，解题的关键是合理构造辅助线，利用角的和差、倍分关系建立等量求解，能够有效考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6