7. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ABC = 90°$, $∠ C = 60°$, $D$ 为边 $AC$ 的中点, $BD = 2$, 则 $BC$ 的长为 ()。

A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2$
D.$4$

7. C

【分析】
解题时首先观察图形特征，题干给出直角三角形及斜边中点，首先回忆直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此可推出CD=BD=2；再结合已知∠C=60°，可得△BCD是有一个内角为60°的等腰三角形，即等边三角形，即可直接得到BC的长度；也可以先求出斜边AC的长度，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质计算BC。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，得CD=BD=2，
又
∵ ∠C=60°，
∴ △BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ BC=BD=2。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是灵活运用直角三角形和等边三角形的相关性质，解题突破口是结合斜边中点的条件得到BD与CD相等的关系，再结合60°角快速判定等边三角形即可得出结果，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

8. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ BCA = 90°$,D 为 AB 的中点。
(1)若 $AB = 16$,则 $CD = $。(2)若$∠ ACD = 20°$,则$∠ B = $。

8. (1) 8
8. (2) 70°

【分析】
本题可根据直角三角形斜边中线的性质逐步求解：
1. 对于第一小问，看到直角三角形斜边的中点，直接联想到“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一性质，代入AB的长度即可求出CD的长；
2. 对于第二小问，先由斜边中线的性质得到CD=AD，利用等边对等角求出∠A的度数，再根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，D为AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB$
已知$AB=16$，代入得$CD=\frac{1}{2}×16=8$。
(2) 由直角三角形斜边中线的性质可知$CD=AD$，因此$△ ACD$为等腰三角形，根据等边对等角可得：
$∠ A=∠ ACD=20°$
在$Rt△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ B=90°-∠ A=90°-20°=70°$
【答案】
(1) 8；(2) $70°$
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 等腰三角形等边对等角
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查直角三角形的核心性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的定理，这类题目是几何基础部分的常考题型。
【难度系数】
0.9

1. 如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为()。

A.$\frac{48}{5}$
B.$\frac{32}{5}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{12}{5}$

1. C

【分析】
要计算OE+EF的值，我们可以按以下思路思考：首先利用矩形性质求出对角线长度及△AOD的面积；再观察到OE、EF分别是△AOE、△DOE的高，△AOD的面积可拆分为这两个小三角形的面积和，代入已知线段长度即可求出两条垂线段的和，无需分别计算OE和EF的长度，简化计算。
【解析】
1. 计算矩形面积与对角线长度：
矩形ABCD中，AB=6，BC=8，因此矩形面积$S_{ABCD}=AB× BC=6×8=48$。
由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
2. 利用矩形对角线性质：
矩形对角线相等且互相平分，因此$AO=OD=\frac{1}{2}AC=5$，且$△ AOD$的面积为矩形面积的$\frac{1}{4}$，即$S_{△ AOD}=\frac{48}{4}=12$。
3. 用面积法列等式：
因为$OE⊥ AC$，$EF⊥ BD$，所以$S_{△ AOD}=S_{△ AOE}+S_{△ DOE}$，代入面积公式得：
$12=\frac{1}{2}× AO× OE+\frac{1}{2}× OD× EF$
将$AO=OD=5$代入，提取公因式得：
$12=\frac{1}{2}×5×(OE+EF)$
解得$OE+EF=\frac{12×2}{5}=\frac{24}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，面积法计算
【点评】
本题考查了矩形相关的线段和计算，核心技巧是运用面积法将两条垂线段的和与三角形面积关联，省略了分别求解单条线段的繁琐步骤，是解决同类型垂线段求和问题的常用思路。
【难度系数】
0.6

2. 如图,折叠矩形ABCD,使顶点D与BC边上的点F重合。已知矩形的长为10,宽为8,则DE=。

2. 5

【分析】
本题属于矩形折叠问题，解题核心是利用折叠的性质得到相等的线段，再结合矩形的性质和勾股定理列方程求解。首先，折叠后AD对应AF，DE对应EF，因此先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF的长度，进而得到FC的长度；再设DE为未知数，用含未知数的式子表示出EC的长度，最后在Rt△EFC中利用勾股定理列方程即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，长为10，宽为8，
∴AB=8，AD=BC=10，∠B=∠C=90°，
由折叠的性质可知：AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴$FC=BC - BF=10 - 6=4$，
设$DE=x$，则$EF=x$，$EC=CD - DE=8 - x$，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$EC^2 + FC^2 = EF^2$，
即$(8 - x)^2 + 4^2 = x^2$，
展开得：$64 - 16x + x^2 + 16 = x^2$，
整理得：$80 - 16x = 0$，
解得：$x=5$，
即$DE=5$。
【答案】
5
【知识点】
折叠的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类的典型题型，解题的关键是抓住折叠前后对应边相等的性质，将未知线段和已知线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是CB延长线上的一点,CF⊥AE,垂足为F,求证:DF⊥BF。

连接FO。在Rt△AFC中,FO为斜边AC的中线，
∴FO=AO=CO。又
∵AO=CO=BO=DO,
∴FO=BO=DO,
∴DF⊥BF

【分析】要证明DF⊥BF，可通过证明△BDF为直角三角形实现。我们学过“若三角形一边上的中线等于该边长度的一半，则这个三角形是直角三角形”，因此考虑连接辅助线FO。首先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，可得AO=CO=BO=DO；再由CF⊥AE得到Rt△AFC，根据直角三角形斜边中线的性质可得FO等于AC的一半，即FO=AO=CO，进而推出FO=BO=DO，即可证明△BDF是直角三角形，得到DF⊥BF的结论。
【解析】证明：连接FO。
∵ CF⊥AE，
∴ △AFC是直角三角形，
∵ O是矩形ABCD对角线AC与BD的交点，
∴ O是AC的中点，
∴ FO是Rt△AFC斜边AC的中线，
∴ FO=AO=CO。
又
∵ 矩形的对角线相等且互相平分，
∴ AO=CO=BO=DO，
∴ FO=BO=DO，
∴ △BDF中，BD边上的中线FO等于BD长度的一半，
∴ ∠BFD=90°，即DF⊥BF。
【答案】DF⊥BF得证
【知识点】矩形的性质；直角三角形斜边中线定理；直角三角形判定
【点评】本题属于几何综合证明题，解题的关键是构造辅助线FO，将矩形的对角线性质与直角三角形的相关性质结合起来推导结论，能有效考察学生对几何基础性质的掌握程度和综合运用能力。
【难度系数】0.6