5. 函数$y=\frac{1}{2}(x+3)^2 +2$的图象可以通过把函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象先向平移个单位长度，再向平移个单位长度而得到。

5. 左 3 上 2(或上 2 左 3)

【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律，可通过对比两个函数的顶点坐标变化分析平移方式：首先确定两个二次函数的顶点坐标，再根据顶点的平移方向和距离，对应得到图象的平移方式，同时二次函数的平移顺序不影响最终结果。
【解析】
二次函数的平移可通过顶点坐标的变化判断：
1. 函数$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
2. 函数$y=\frac{1}{2}(x+3)^2 +2$是顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的形式，其顶点坐标为$(-3,2)$；
3. 对比顶点坐标变化：横坐标从$0$变为$-3$，说明图象向左平移了$3$个单位长度；纵坐标从$0$变为$2$，说明图象向上平移了$2$个单位长度。
由于平移的先后顺序不影响最终平移结果，因此也可先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度。
【答案】
左 3 上 2(或上 2 左 3)
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查二次函数图象的平移，解题时既可以直接运用“左加右减、上加下减”的平移法则判断，也可以通过对比顶点坐标的变化得出结论，两种方法结合使用可降低出错率。
【难度系数】
0.9

6. 将抛物线 $ y = -3x^2 $ 先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是。

6. $y = -3(x - 2)^2 + 2$

【分析】
解决本题需要用到二次函数图象的平移规律，解题思路如下：首先明确抛物线平移时二次项系数a保持不变，平移规律为“左加右减，上加下减”：左右平移是对自变量x进行操作，向左平移m个单位就把x换成x+m，向右平移m个单位就把x换成x-m（注意要给x加减后加括号）；上下平移是对整个函数值进行操作，向上平移n个单位就在表达式末尾加n，向下平移n个单位就在表达式末尾减n。我们只需要按照题目给出的平移顺序，逐步对原抛物线表达式进行变换即可。
【解析】
已知原抛物线表达式为$y = -3x^2$，平移时二次项系数$-3$保持不变：
1. 先向右平移2个单位长度，根据“左加右减”的规律，将自变量$x$替换为$x-2$，得到平移后的表达式：$y=-3(x-2)^2$；
2. 再向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的规律，在表达式末尾加2，最终得到平移后的抛物线表达式：$y=-3(x-2)^2 + 2$。
【答案】
$y = -3(x - 2)^2 + 2$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数表达式确定
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，主要考查对平移规律的掌握和应用，易错点是容易混淆左右平移的加减方向，或是忽略给自变量x加括号导致计算错误，熟练掌握“左加右减、上加下减”的规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8

7. 如图,一座拱桥,当水面宽AB为12 m时,桥洞顶部离水面4 m,已知桥洞的拱形是抛物线。以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,当选取点A为坐标原点时,抛物线的表达式是$y = -\dfrac{1}{9}(x - 6)^2 + 4$。若选取点B为坐标原点,则抛物线的表达式是。 (第7题)

7. $y = -\dfrac{1}{9}(x + 6)^2 + 4$

【分析】
要解决坐标系变换后的抛物线解析式问题，首先明确抛物线本身的形状、开口方向、大小均不发生改变，因此二次项系数a不变。我们可以先确定原坐标系下抛物线的顶点坐标，再根据坐标系的平移规则，计算出以B为原点的新坐标系下的顶点坐标，最后代入顶点式即可得到新的抛物线表达式。
【解析】
步骤1：确定原坐标系（A为原点）下抛物线的基本参数：
已知原抛物线表达式为$y = -\dfrac{1}{9}(x - 6)^2 + 4$，属于顶点式，可得其顶点坐标为$(6,4)$，二次项系数$a=-\dfrac{1}{9}$。
步骤2：计算新坐标系（B为原点）下的顶点坐标：
AB的长度为12m，因此原坐标系中点B的坐标为$(12,0)$。当原点移至B点时，所有点的横坐标等于原横坐标减去12，纵坐标不变。
原顶点横坐标为6，因此新坐标系下顶点横坐标为$6-12=-6$，纵坐标仍为4，即新顶点坐标为$(-6,4)$。
步骤3：代入顶点式求新解析式：
抛物线的$a$值不变，将新顶点坐标代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），得：
$y = -\dfrac{1}{9}[x - (-6)]^2 + 4 = -\dfrac{1}{9}(x + 6)^2 + 4$
【答案】
$y = -\dfrac{1}{9}(x + 6)^2 + 4$
【知识点】
二次函数顶点式，坐标平移，二次函数图象性质
【点评】
本题核心是抓住坐标系平移时抛物线本身的参数不变，仅顶点坐标发生对应变化，结合顶点式就能快速求解，是二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7

8.若$A(-4,y_1)$,$B(-3,y_2)$,$C(1,y_3)$为二次函数$y=x^2+4x-5$图象上的三点,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是()。

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_1＜y_3＜y_2$

8. B

【分析】
要比较二次函数图象上三点的纵坐标大小，有两种常用思路：思路一，直接将三点的横坐标分别代入函数解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的值，再比较大小即可，这种方法直观不易出错；思路二，先求出二次函数的对称轴和开口方向，根据“开口向上的抛物线，点离对称轴水平距离越远，对应的函数值越大”的性质，比较三点到对称轴的距离，进而判断函数值大小，这种方法计算量更小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$A(-4,y_1)$的横坐标代入解析式：
$y_1=(-4)^2 + 4×(-4) - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$
将$B(-3,y_2)$的横坐标代入解析式：
$y_2=(-3)^2 + 4×(-3) - 5 = 9 - 12 - 5 = -8$
将$C(1,y_3)$的横坐标代入解析式：
$y_3=1^2 + 4×1 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$
比较三个值的大小：$-8 ＜ -5 ＜ 0$，即$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
方法二：性质判断法
二次函数$y=x^2+4x-5$中，$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，
对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2×1} = -2$，
开口向上时，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大：
A点到对称轴的距离：$|-4 - (-2)| = 2$
B点到对称轴的距离：$|-3 - (-2)| = 1$
C点到对称轴的距离：$|1 - (-2)| = 3$
距离大小为$1 ＜ 2 ＜ 3$，所以对应的函数值大小为$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的图象与性质
2.二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，两种解题方法都需要掌握，代入法适用范围广，不易出错；利用抛物线对称性和开口方向判断的方法更高效，熟练后可快速解题。
【难度系数】
0.8

9. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的 $ x,y $ 的部分对应值如下表：
则该二次函数的图象的对称轴为()。

A.$ y $ 轴
B.直线 $ x = \frac{5}{2} $
C.直线 $ x = 2 $
D.直线 $ x = \frac{3}{2} $

9. D

【分析】
解题时首先回忆二次函数的图象性质：二次函数的图象是抛物线，属于轴对称图形，若抛物线上两个点的纵坐标相等，则这两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标之和的一半。因此我们只需从表格中找到纵坐标相同的两组x值，计算其平均值即可得到对称轴。
【解析】
解：
∵二次函数图象为抛物线，抛物线上纵坐标相等的点关于对称轴对称，
观察表格可得：当x=1时y=-1，当x=2时y=-1，两点纵坐标相等，
∴该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，
验证：选取x=0和x=3，二者y值均为1，计算得对称轴$x=\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$，结果一致。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性，抛物线对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，无需列方程组求解函数解析式，利用二次函数的对称性即可快速得到答案，能很好地考查对二次函数基本性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7

二次函数$y=x^2 -4x +5$的图象的顶点坐标是，对称轴是。

10. (2,1) 直线$x=2$

【分析】
要求二次函数的顶点坐标和对称轴，有两种符合学段要求的常用思路：一是配方法，将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，可直接读出顶点为$(h,k)$、对称轴为直线$x=h$；二是顶点坐标公式法，对一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，对称轴为过顶点且平行于$y$轴的直线，任选一种方法即可求解。
【解析】
方法一：配方法
对$y=x^2-4x+5$配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-4x+4-4+5\\&=(x-2)^2+1\end{aligned}$
根据顶点式的性质，可得顶点坐标为$(2,1)$，对称轴是直线$x=2$。
方法二：公式法
在$y=x^2-4x+5$中，$a=1$，$b=-4$，$c=5$，
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$，
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×5-(-4)^2}{4×1}=\frac{20-16}{4}=1$，
因此顶点坐标为$(2,1)$，对称轴是直线$x=2$。
【答案】
$(2,1)$；直线$x=2$
【知识点】
二次函数的性质；配方法；顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查从一般式求解顶点坐标与对称轴的方法，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速解题，是二次函数相关题型的必备基础。
【难度系数】
0.8

11.如果抛物线$y=(a+2)x^2 +3x -a$的开口向下，那么$a$的取值范围是

11. $a ＜ -2$

【分析】
要解决这个问题，首先回忆二次函数的相关性质：抛物线对应的函数是二次函数，二次项系数不为0，且二次项系数的符号决定抛物线的开口方向：二次项系数大于0时抛物线开口向上，二次项系数小于0时抛物线开口向下。本题已知抛物线开口向下，因此只需令该函数的二次项系数小于0，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=(a+2)x^2 +3x -a$的开口向下，
∴ 该二次函数的二次项系数满足$a+2 ＜ 0$，
移项解得：$a ＜ -2$。
【答案】
$a ＜ -2$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数开口方向和二次项系数的对应关系，解题时需注意抛物线隐含了二次项系数不为0的条件，本题解出的$a＜-2$已经满足该要求，无需额外添加限制条件。
【难度系数】
0.9

12.已知抛物线$y=x^2+bx+3$的对称轴为直线$x=1$,则实数$b$的值为。

12. -2

【分析】
解题时首先回忆二次函数一般式的对称轴公式，对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。本题已经给出抛物线的一般式和对称轴的具体值，我们只需要确定公式中$a$的取值，将已知条件代入公式，得到关于$b$的一元一次方程，解方程即可求出$b$的值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其对称轴公式为：
$x=-\frac{b}{2a}$
已知抛物线$y=x^2+bx+3$的对称轴为直线$x=1$，其中$a=1$，代入公式可得：
$1=-\frac{b}{2×1}$
解上述方程：
两边同乘2得：$2=-b$
解得：$b=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数对称轴公式；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数对称轴公式的应用，计算量小，只要熟练掌握公式，代入计算时注意符号不要出错即可顺利得分。
【难度系数】
0.9

1. 如图所示的是二次函数$y=a(x+1)^2 +2$的图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是。

1. (1,0)

【分析】
解题时先从给出的二次函数顶点式入手，先确定抛物线的对称轴，再结合二次函数图象关于对称轴对称的性质，已知抛物线与x轴的一个交点坐标，就能通过对称性计算出另一个交点的坐标，也就是y轴右侧与x轴的交点。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=a(x+1)^2 +2$，属于顶点式，可得该抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为$(-3,0)$，根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设右侧交点坐标为$(x,0)$，则两个交点横坐标的中点为对称轴的横坐标，即：
$\frac{-3 + x}{2} = -1$
解得：$x=1$
因此该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是$(1,0)$。
【答案】
$(1,0)$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题侧重考查二次函数性质的应用，利用抛物线的对称性求交点坐标是简便的解题方法，掌握顶点式中对称轴的求法是解决本题的基础。
【难度系数】
0.8