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10. 无理数$a-\sqrt{2}$（$a＞1$且为正整数）的整数部分是$b$，小数部分是$c$，则下列关系式一定成立的是（）
A.$c-b＜0$
B.$a-b＞0$
C.$a=b+c$
D.$a-c=2$
A.$c-b＜0$
B.$a-b＞0$
C.$a=b+c$
D.$a-c=2$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确无理数整数部分和小数部分的定义：不大于这个数的最大整数是它的整数部分，这个数减去整数部分的差就是小数部分（小数部分满足0≤小数部分＜1）。解题思路为：先估算√2的取值范围，再推导$a-\sqrt{2}$的取值范围，进而得到整数部分$b$和小数部分$c$的表达式，最后代入各选项验证是否恒成立即可。
【解析】
首先由$1＜\sqrt{2}＜2$，$a$是大于1的正整数，对不等式变形可得：
$a-2 ＜ a-\sqrt{2} ＜ a-1$
因为$a-2$是整数，所以$a-\sqrt{2}$的整数部分$b=a-2$。
小数部分$c=(a-\sqrt{2})-b=(a-\sqrt{2})-(a-2)=2-\sqrt{2}$（满足$0＜c＜1$）。
逐一验证选项：
A. $c-b=(2-\sqrt{2})-(a-2)=4-\sqrt{2}-a$，当$a=2$时，$c-b=2-\sqrt{2}＞0$，该式不一定成立；
B. $a-b=a-(a-2)=2＞0$，恒成立；
C. $b+c=(a-2)+(2-\sqrt{2})=a-\sqrt{2}≠ a$，不成立；
D. $a-c=a-(2-\sqrt{2})=a-2+\sqrt{2}$，$a$是正整数，该式不可能等于2，不成立。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算；实数的运算
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题关键是准确推出无理数的整数部分和小数部分的表达式，验证选项时可以结合举反例的方法快速排除错误选项，是实数部分的基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确无理数整数部分和小数部分的定义：不大于这个数的最大整数是它的整数部分，这个数减去整数部分的差就是小数部分（小数部分满足0≤小数部分＜1）。解题思路为：先估算√2的取值范围，再推导$a-\sqrt{2}$的取值范围，进而得到整数部分$b$和小数部分$c$的表达式，最后代入各选项验证是否恒成立即可。
【解析】
首先由$1＜\sqrt{2}＜2$，$a$是大于1的正整数，对不等式变形可得：
$a-2 ＜ a-\sqrt{2} ＜ a-1$
因为$a-2$是整数，所以$a-\sqrt{2}$的整数部分$b=a-2$。
小数部分$c=(a-\sqrt{2})-b=(a-\sqrt{2})-(a-2)=2-\sqrt{2}$（满足$0＜c＜1$）。
逐一验证选项：
A. $c-b=(2-\sqrt{2})-(a-2)=4-\sqrt{2}-a$，当$a=2$时，$c-b=2-\sqrt{2}＞0$，该式不一定成立；
B. $a-b=a-(a-2)=2＞0$，恒成立；
C. $b+c=(a-2)+(2-\sqrt{2})=a-\sqrt{2}≠ a$，不成立；
D. $a-c=a-(2-\sqrt{2})=a-2+\sqrt{2}$，$a$是正整数，该式不可能等于2，不成立。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算；实数的运算
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题关键是准确推出无理数的整数部分和小数部分的表达式，验证选项时可以结合举反例的方法快速排除错误选项，是实数部分的基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 64的立方根是,$\sqrt{49}$的平方根是.
11. 64的立方根是,$\sqrt{49}$的平方根是.
答案
4；±√7
解析
【分析】
解题时分别处理两个空：①求64的立方根，根据立方根的定义，找到立方后等于64的正数即可；②求$\sqrt{49}$的平方根时，要先计算出$\sqrt{49}$的数值，再根据平方根的定义求这个数的平方根，避免直接对49求平方根的错误。
【解析】
1. 求64的立方根：
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根。
因为$4^3=4×4×4=64$，所以64的立方根是4。
2. 求$\sqrt{49}$的平方根：
先计算$\sqrt{49}$的值，$\sqrt{49}$表示49的算术平方根，因此$\sqrt{49}=7$。
再根据平方根的定义，正数的平方根有2个，且互为相反数，所以7的平方根为$\pm\sqrt{7}$，即$\sqrt{49}$的平方根是$\pm\sqrt{7}$。
【答案】
4；$\pm\sqrt{7}$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是第二个空容易忽略先化简$\sqrt{49}$，误将结果写为$\pm7$，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个。
【难度系数】
0.7
解题时分别处理两个空：①求64的立方根，根据立方根的定义，找到立方后等于64的正数即可；②求$\sqrt{49}$的平方根时，要先计算出$\sqrt{49}$的数值，再根据平方根的定义求这个数的平方根，避免直接对49求平方根的错误。
【解析】
1. 求64的立方根：
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根。
因为$4^3=4×4×4=64$，所以64的立方根是4。
2. 求$\sqrt{49}$的平方根：
先计算$\sqrt{49}$的值，$\sqrt{49}$表示49的算术平方根，因此$\sqrt{49}=7$。
再根据平方根的定义，正数的平方根有2个，且互为相反数，所以7的平方根为$\pm\sqrt{7}$，即$\sqrt{49}$的平方根是$\pm\sqrt{7}$。
【答案】
4；$\pm\sqrt{7}$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是第二个空容易忽略先化简$\sqrt{49}$，误将结果写为$\pm7$，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个。
【难度系数】
0.7
12. 算术平方根等于本身的数是，立方根等于本身的数是.
答案
0和1；-1、0、1
解析
【分析】
解题时先回忆算术平方根、立方根的定义，分别设未知数建立等式求解即可。①对于算术平方根：首先明确算术平方根的被开方数和结果都是非负数，设所求数为a，根据“算术平方根等于本身”可列等式√a=a（a≥0），解方程就能得到符合条件的数；②对于立方根：立方根的被开方数可以是任意实数，设所求数为b，根据“立方根等于本身”列等式∛b=b，解方程即可得到结果，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
1. 求算术平方根等于本身的数：
根据算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则x叫做a的算术平方根，0的算术平方根为0。
设该数为a，由题意得$\sqrt{a} = a$，且$a≥0$，
等式两边同时平方得：$a = a^2$，
整理得$a^2 - a = 0$，即$a(a-1)=0$，
解得$a=0$或$a=1$，
因此算术平方根等于本身的数是0和1。
2. 求立方根等于本身的数：
根据立方根的定义：若一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，则x叫做a的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0。
设该数为b，由题意得$\sqrt[3]{b} = b$，
等式两边同时立方得：$b = b^3$，
整理得$b^3 - b = 0$，因式分解得$b(b^2-1)=b(b-1)(b+1)=0$，
解得$b=-1$或$b=0$或$b=1$，
因此立方根等于本身的数是-1、0、1。
【答案】
0和1；-1、0、1
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 立方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要区分算术平方根和立方根的性质，解题时注意算术平方根的非负性，避免将-1填入第一空，熟记特殊数的算术平方根、立方根特征可提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆算术平方根、立方根的定义，分别设未知数建立等式求解即可。①对于算术平方根：首先明确算术平方根的被开方数和结果都是非负数，设所求数为a，根据“算术平方根等于本身”可列等式√a=a（a≥0），解方程就能得到符合条件的数；②对于立方根：立方根的被开方数可以是任意实数，设所求数为b，根据“立方根等于本身”列等式∛b=b，解方程即可得到结果，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
1. 求算术平方根等于本身的数：
根据算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则x叫做a的算术平方根，0的算术平方根为0。
设该数为a，由题意得$\sqrt{a} = a$，且$a≥0$，
等式两边同时平方得：$a = a^2$，
整理得$a^2 - a = 0$，即$a(a-1)=0$，
解得$a=0$或$a=1$，
因此算术平方根等于本身的数是0和1。
2. 求立方根等于本身的数：
根据立方根的定义：若一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，则x叫做a的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0。
设该数为b，由题意得$\sqrt[3]{b} = b$，
等式两边同时立方得：$b = b^3$，
整理得$b^3 - b = 0$，因式分解得$b(b^2-1)=b(b-1)(b+1)=0$，
解得$b=-1$或$b=0$或$b=1$，
因此立方根等于本身的数是-1、0、1。
【答案】
0和1；-1、0、1
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 立方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要区分算术平方根和立方根的性质，解题时注意算术平方根的非负性，避免将-1填入第一空，熟记特殊数的算术平方根、立方根特征可提高解题效率。
【难度系数】
0.8
13. 请写出一个大于$\sqrt{12}$且小于$\sqrt{19}$的整数：.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
要解决这道题的核心思路是先估算出$\sqrt{12}$和$\sqrt{19}$分别介于哪两个相邻整数之间，再筛选出两个范围中间的整数即可。首先回忆常见的完全平方数，利用算术平方根的大小比较性质，对比12、19和相邻完全平方数的大小关系，就能确定两个无理数的取值范围，最终找到符合要求的整数。
【解析】
1. 确定$\sqrt{12}$的取值范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜12＜16$，根据“若$a＞b＞0$，则$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$”的性质，可得$3＜\sqrt{12}＜4$。
2. 确定$\sqrt{19}$的取值范围：
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜19＜25$，同理可得$4＜\sqrt{19}＜5$。
3. 筛选符合要求的整数：
结合两个范围可知，大于$\sqrt{12}$（大于3.46左右）且小于$\sqrt{19}$（小于4.36左右）的整数只有4。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
无理数的估算；算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查对无理数大小的估算能力，解题的关键是熟练掌握常见完全平方数，通过完全平方数确定无理数的大致范围即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题的核心思路是先估算出$\sqrt{12}$和$\sqrt{19}$分别介于哪两个相邻整数之间，再筛选出两个范围中间的整数即可。首先回忆常见的完全平方数，利用算术平方根的大小比较性质，对比12、19和相邻完全平方数的大小关系，就能确定两个无理数的取值范围，最终找到符合要求的整数。
【解析】
1. 确定$\sqrt{12}$的取值范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜12＜16$，根据“若$a＞b＞0$，则$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$”的性质，可得$3＜\sqrt{12}＜4$。
2. 确定$\sqrt{19}$的取值范围：
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜19＜25$，同理可得$4＜\sqrt{19}＜5$。
3. 筛选符合要求的整数：
结合两个范围可知，大于$\sqrt{12}$（大于3.46左右）且小于$\sqrt{19}$（小于4.36左右）的整数只有4。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
无理数的估算；算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查对无理数大小的估算能力，解题的关键是熟练掌握常见完全平方数，通过完全平方数确定无理数的大致范围即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
14. 已知$\sqrt{6}$在两个连续整数之间，则这两个连续整数的乘积为。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要估算出$\sqrt{6}$介于哪两个连续整数之间。我们可以先找到与6相邻的两个正完全平方数，再根据“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的性质，确定这两个连续整数，最后计算二者的乘积即可。
【解析】
1. 找与6相邻的完全平方数：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，满足$4＜6＜9$。
2. 推导$\sqrt{6}$的范围：
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，化简后为$2＜\sqrt{6}＜3$，因此$\sqrt{6}$在连续整数2和3之间。
3. 计算乘积：
两个连续整数的乘积为$2×3=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
算术平方根估算；完全平方数
【点评】
本题考查无理数的估算，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，以此确定无理数的整数范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要估算出$\sqrt{6}$介于哪两个连续整数之间。我们可以先找到与6相邻的两个正完全平方数，再根据“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的性质，确定这两个连续整数，最后计算二者的乘积即可。
【解析】
1. 找与6相邻的完全平方数：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，满足$4＜6＜9$。
2. 推导$\sqrt{6}$的范围：
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，化简后为$2＜\sqrt{6}＜3$，因此$\sqrt{6}$在连续整数2和3之间。
3. 计算乘积：
两个连续整数的乘积为$2×3=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
算术平方根估算；完全平方数
【点评】
本题考查无理数的估算，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，以此确定无理数的整数范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
15. 若$\sqrt{x}=2,y^2=9$,且$xy＜0$,则$x-y=$ .
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，根据算术平方根的定义，由$\sqrt{x}=2$可求出x的确定值，且x为正数；第二步，根据平方根的性质，由$y^2=9$可得到y有±3两个取值；第三步，结合$xy＜0$的条件，可知x和y异号，结合x为正数可确定y只能取负值，最后代入$x-y$计算即可，计算时注意减去负数等于加对应正数的运算法则。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x}=2$，
∴ $x=2^2=4$；
∵ $y^2=9$，
∴ $y=\pm3$；
又
∵ $xy＜0$，即x与y符号相反，且$x=4＞0$，
∴ $y＜0$，即$y=-3$；
∴ $x-y=4-(-3)=4+3=7$。
【答案】
$7$
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的性质；有理数运算符号规则
【点评】
本题是基础类易错题，重点考查对平方根、算术平方根概念的理解，以及根据限制条件筛选合理解的能力，易错点为忽略$xy＜0$的符号约束选错y的取值，或是计算有理数减法时符号处理错误。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步，根据算术平方根的定义，由$\sqrt{x}=2$可求出x的确定值，且x为正数；第二步，根据平方根的性质，由$y^2=9$可得到y有±3两个取值；第三步，结合$xy＜0$的条件，可知x和y异号，结合x为正数可确定y只能取负值，最后代入$x-y$计算即可，计算时注意减去负数等于加对应正数的运算法则。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x}=2$，
∴ $x=2^2=4$；
∵ $y^2=9$，
∴ $y=\pm3$；
又
∵ $xy＜0$，即x与y符号相反，且$x=4＞0$，
∴ $y＜0$，即$y=-3$；
∴ $x-y=4-(-3)=4+3=7$。
【答案】
$7$
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的性质；有理数运算符号规则
【点评】
本题是基础类易错题，重点考查对平方根、算术平方根概念的理解，以及根据限制条件筛选合理解的能力，易错点为忽略$xy＜0$的符号约束选错y的取值，或是计算有理数减法时符号处理错误。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共75分)
16. (8分)计算：
(1)$|-2|+\sqrt[3]{-8}-(-1)^{4035}$；
(2)$\sqrt{4}-\sqrt[3]{-27}+|-π|$。
16. (8分)计算：
(1)$|-2|+\sqrt[3]{-8}-(-1)^{4035}$；
(2)$\sqrt{4}-\sqrt[3]{-27}+|-π|$。
答案
解：
(1) 原式$=2 + (-2) - (-1)$
$= 2 - 2 + 1$
$= 1$
(2) 原式$= 2 - (-3) + π$
$= 2 + 3 + π$
$= 5 + π$
(1) 原式$=2 + (-2) - (-1)$
$= 2 - 2 + 1$
$= 1$
(2) 原式$= 2 - (-3) + π$
$= 2 + 3 + π$
$= 5 + π$
解析
【分析】
这两道题均属于实数混合运算类基础题，解题思路为：先分别化简每一项的绝对值、乘方、算术平方根、立方根，再按照从左到右的顺序进行加减运算即可。计算时重点要注意符号的处理：负数的立方根为负，负数的奇次幂为负，正数的绝对值是它本身，减去一个负数等于加上它的相反数。
【解析】
(1) 先逐项化简：
负数的绝对值是它的相反数，因此$|-2|=2$；
因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$；
4035是奇数，负数的奇次幂为负，因此$(-1)^{4035}=-1$。
代入原式计算：
原式$=2 + (-2) - (-1)$
$= 2 - 2 + 1$
$= 1$
(2) 先逐项化简：
4的算术平方根为2，因此$\sqrt{4}=2$；
因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$；
π是正数，正数的绝对值是它本身，因此$|-π|=π$。
代入原式计算：
原式$= 2 - (-3) + π$
$= 2 + 3 + π$
$= 5 + π$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{5+π}$
【知识点】
实数混合运算；绝对值化简；开方运算
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，主要考查对绝对值、乘方、算术平方根、立方根等基础概念的掌握，运算时注意符号的判断即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于实数混合运算类基础题，解题思路为：先分别化简每一项的绝对值、乘方、算术平方根、立方根，再按照从左到右的顺序进行加减运算即可。计算时重点要注意符号的处理：负数的立方根为负，负数的奇次幂为负，正数的绝对值是它本身，减去一个负数等于加上它的相反数。
【解析】
(1) 先逐项化简：
负数的绝对值是它的相反数，因此$|-2|=2$；
因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$；
4035是奇数，负数的奇次幂为负，因此$(-1)^{4035}=-1$。
代入原式计算：
原式$=2 + (-2) - (-1)$
$= 2 - 2 + 1$
$= 1$
(2) 先逐项化简：
4的算术平方根为2，因此$\sqrt{4}=2$；
因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$；
π是正数，正数的绝对值是它本身，因此$|-π|=π$。
代入原式计算：
原式$= 2 - (-3) + π$
$= 2 + 3 + π$
$= 5 + π$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{5+π}$
【知识点】
实数混合运算；绝对值化简；开方运算
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，主要考查对绝对值、乘方、算术平方根、立方根等基础概念的掌握，运算时注意符号的判断即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
