1. (枣庄中考)对于任意实数 $a,b$,定义一种新运算:$a※b=\begin{cases} a-b & (a≥2b), \\ a+b-6 & (a＜2b), \end{cases}$ 例如:$3※1=3-1=2,5※4=5+4-6=3$.根据上面的材料,请完成下列问题:
(1)$4※3=$,$(-1)※(-3)=$;
(2)若$(3x+2)※(x-1)=5$,求$x$的值.

1. (1) 1 2
解析:
∵ 4＜2×3,
∴ 4※3=4+3-6=1.
∵ -1＞2×(-3),
∴ (-1)※(-3)=-1-(-3)=2.
(2) 由题意得,当 3x+2≥2(x-1),即 x≥-4 时,原方程为3x+2-(x-1)=5,解得 x=1;当 3x+2＜2(x-1),即 x＜-4 时,原方程为 3x+2+x-1-6=5,解得 x=2.5.
∵ 2.5＞-4,
∴ x=2.5不符合题意,应舍去.综上,x=1.

2. (2026·广元中考)定义:如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点,且其中一个交点为二次函数的顶点,那么我们把这两点所连线段叫作“顶点弦”.在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$的图象与$x$轴,$y$轴分别交于$A,B$两点.
(1)如图,若点$P$为线段$AB$的中点,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的“顶点弦”为线段$PB$,且点$P$为顶点,求该二次函数的表达式;
(2)在(1)的条件下,若直线$AB$上方抛物线上有一点$E$,使$∠BPE+∠BAO=45°$,求点$E$的坐标;
(3)点$G$在线段$AB$上,若抛物线$F_1:y=a_1x^2+b_1x+c_1(a_1≠0)$和抛物线$F_2:y=a_2x^2+b_2x+c_2(a_2≠0)$的“顶点弦”分别为$GA$和$GB$,点$G$为$F_1$和$F_2$的顶点,且$a_1+2a_2=0$,求$\frac{GA}{GB}$的值.

2. (1)
∵ 一次函数 $y=\frac{1}{2}x+2$ 的图象与 x 轴,y 轴分别交于 A,B两点,
∴ 令 y=0,即 $\frac{1}{2}x+2=0$,解得 x=-4,令 x=0,y=2.
∴ A(-4,0),B(0,2).
∵ 点 P 为线段 AB 的中点,
∴ $P(\frac{-4+0}{2},\frac{0+2}{2})$,即 P(-2,1).
∵ 二次函数 $y=ax^2+bx+c$(a≠0)的“顶点弦”为线段 PB,且点 P 为顶点,
∴ 设二次函数的表达式为 $y=a(x+2)^2+1$.将点 B(0,2)代入,得 4a+1=2,解得 $a=\frac{1}{4}$,
∴ 二次函数的表达式为 $y=\frac{1}{4}(x+2)^2+1=\frac{1}{4}x^2+x+2$.
(2) 如图①,设直线 PE 与 x 轴交于点 F,过点 P 作 PH ⊥x 轴于点 H.

∵ P(-2,1),
∴ OH = 2,PH = 1.
∵ ∠BPE + ∠BAO = 45°,∠APF = ∠BPE,
∴ ∠PFH = ∠APF + ∠BAO = ∠BPE +∠BAO=45°.又
∵ ∠PHF=90°,
∴ △PHF 为等腰直角三角形,
∴ FH=PH=1,
∴ OF=OH+FH=3,
∴ 点 F(-3,0).设直线EF 的表达式为 $y=kx+b'$,将点 P(-2,1),F(-3,0)代入,得$\begin{cases} -2k+b'=1,\\-3k+b'=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=1,\\b'=3, \end{cases}$
∴ 直线 EF 的表达式为 y=x+3,
∴ 令 $x+3=\frac{1}{4}x^2+x+2$,解得 $x_1=2,x_2=-2$(舍去),当 x=2时,y=2+3=5,
∴ E(2,5).
(3) 设 $G(m,\frac{1}{2}m+2)$,
∴ $y=a_1(x-m)^2+\frac{1}{2}m+2$,y =$a_2(x-m)^2+\frac{1}{2}m+2$.
∵ A(-4,0)在抛物线 $F_1$ 上,B(0,2)在抛物线 $F_2$ 上,
∴ $a_1(-4-m)^2+\frac{1}{2}m+2=0$ ①,$a_2m^2+\frac{1}{2}m+2=$2 ②.
∵ $a_1 + 2a_2 = 0$ ③,
∴ 联立 ① ② ③,得到$\begin{cases}a_1(-4-m)^2+\frac{1}{2}m+2=0,\\a_2m^2+\frac{1}{2}m+2=2,\\a_1+2a_2=0,\end{cases}$ 解得 $m_1=-\frac{8}{3},m_2=-4$(舍去),
∴ $G(-\frac{8}{3},\frac{2}{3})$,如图②,过点 G 作 GK⊥x 轴于点 K,

∴ GK//y 轴,
∴ $\frac{GA}{GB}=\frac{AK}{OK}=\frac{-\frac{8}{3}-(-4)}{\frac{8}{3}}=\frac{1}{2}$.

3. (2024·辽宁中考)已知$y_1$是自变量$x$的函数,当$y_2=xy_1$时,称函数$y_2$为函数$y_1$的“升幂函数”.在平面直角坐标系中,对于函数$y_1$图象上任意一点$A(m,n)$,称点$B(m,mn)$为点$A$“关于$y_1$的升幂点”,点$B$在函数$y_1$的“升幂函数”$y_2$的图象上.例如:函数$y_1=2x$,当$y_2=xy_1=x·2x=2x^2$时,则函数$y_2=2x^2$是函数$y_1=2x$的“升幂函数”.在平面直角坐标系中,函数$y_1=2x$的图象上任意一点$A(m,2m)$,点$B(m,2m^2)$为点$A$“关于$y_1$的升幂点”,点$B$在函数$y_1=2x$的“升幂函数”$y_2=2x^2$的图象上.
(1)求函数$y_1=\frac{1}{2}x$的“升幂函数”$y_2$的函数表达式.
(2)如图,点$A$在函数$y_1=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上,点$A$“关于$y_1$的升幂点”$B$在点$A$上方,当$AB=2$时,求点$A$的坐标.
(3)点$A$在函数$y_1=-x+4$的图象上,点$A$“关于$y_1$的升幂点”为点$B$,设点$A$的横坐标为$m$.
①若点$B$与点$A$重合,求$m$的值;
②若点$B$在点$A$的上方,过点$B$作$x$轴的平行线,与函数$y_1$的“升幂函数”$y_2$的图象相交于点$C$,以$AB,BC$为邻边构造矩形$ABCD$,设矩形$ABCD$的周长为$y$,求$y$关于$m$的函数表达式;
③在②的条件下,当直线$y=t_1$与函数$y$的图象的交点有3个时,从左到右依次记为$E,F,G$,当直线$y=t_2$与函数$y$的图象的交点有2个时,从左到右依次记为$M,N$,若$EF=MN$,请直接写出$t_2-t_1$的值.

备用图

3. (1) 根据题意,得 $y_2=xy_1=x · \frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x^2$.
(2) 设点 $A(a,\frac{3}{a})$,则 $B(a,3)$.
∵ AB=2,点 B 在点 A 上方,
∴ $AB=3-\frac{3}{a}=2$,解得 a=3,
∴ A(3,1).
(3) ① 根据题意,得 A(m,-m+4),则 B(m,-m²+4m).
∵ 点 B与点 A 重合,
∴ -m+4=-m²+4m,解得 m=1 或 m=4.
② 根据题意,得 $y_2=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$,
∴ $y_2$ 的对称轴为直线 x=2,
∴ B,C 关于直线 x=2 对称.
∵ A(m,-m+4),B(m,-m²+4m),
∴ $\frac{x_c+m}{2}=2$,解得 $x_c=4-m$,
∴ C(4-m,-m²+4m),
∴ D(4-m,-m+4).
∵ 点 B 在点 A 的上方,
∴ -m²+4m-(-m+4)=-m²+5m-4＞0,解得 1＜m＜4 且 m≠2,
∴ AB =-m²+4m-(-m+4)=-m²+5m-4.当 2＜m＜4 时,点 B 在点 C右侧,BC=m-(4-m)=2m-4,y=2(AB+BC)=2(-m²+5m-4+2m-4)=-2m²+14m-16;当 1＜m＜2 时,点 B 在点 C 左侧,BC=4-m-m=4-2m,y=2(AB+BC)=2(-m²+5m-4+4-2m)=-2m²+6m,
∴ $y=\begin{cases}-2m^2+6m(1＜m＜2),\\-2m^2+14m-16(2＜m＜4).\end{cases}$
③ $t_2-t_1=4$ 或 $t_2-t_1=3-2\sqrt{2}$.
解析:
∵ $y=\begin{cases}-2m^2+6m=-2(m-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}(1＜m＜2),\\-2m^2+14m-16=-2(m-\frac{7}{2})^2+\frac{17}{2}(2＜m＜4),\end{cases}$
如图①,
∴ $H(\frac{3}{2},\frac{9}{2}),I(\frac{7}{2},\frac{17}{2})$,当 m=1 时,y=-2×1²+6×1=4,当 m=2 时,y=-2×2²+14×2-16=4,当 m=4 时,y=-2×4²+14×4-16=8,
∴ R(1,4),P(2,4),Q(4,8).


当 $4＜t_1＜\frac{9}{2}$ 时,如图②,直线 $y=t_1$ 与函数 y 的图象有 3 个交点,当 $8＜t_2＜\frac{17}{2}$ 时,直线 $y=t_2$ 与函数 y 的图象有 2 个交点.
∵ 直线 $y=t_1$ 与函数 $y=-2m^2+6m$ 的图象交于 E,F 两点,
∴ $-2m^2+6m=t_1$,即 $2m^2-6m+t_1=0$,
∴ $m_1+m_2=-\frac{-6}{2}=3$,
$m_1m_2=\frac{t_1}{2}$, $EF = | m_1 - m_2 | = \sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2} = \sqrt{3^2-4×\frac{t_1}{2}}=\sqrt{9-2t_1}$.
∵ 直线 $y=t_2$ 与函数 $y=-2m^2+14m-$16 的图象交于 M,N 两点,
∴ $-2m^2+14m-16=t_2$,即 $2m^2-14m+16+t_2=0$,
∴ $m_3+m_4=-\frac{-14}{2}=7$,$m_3m_4=8+\frac{t_2}{2}$, $MN=| m_3 - m_4 | = \sqrt{(m_3+m_4)^2-4m_3m_4} = \sqrt{7^2-4×(8+\frac{t_2}{2})} =\sqrt{17-2t_2}$.
∵ EF = MN,
∴ $\sqrt{9-2t_1} = \sqrt{17-2t_2}$,整理得 $t_2 -t_1=4$.
当 $t_2=\frac{9}{2}$ 时,如图③,$-2m^2+14m-16=\frac{9}{2}$,解得 $m=\frac{7}{2}-\sqrt{2}$或 $m=\frac{7}{2}+\sqrt{2}$(舍去),

∴ $EF=MN=\frac{7}{2}-\sqrt{2}-\frac{3}{2}=2-\sqrt{2}$,
∴ $\sqrt{9-2t_1}=2-\sqrt{2}$,解得$t_1=\frac{3}{2}+2\sqrt{2}$,
∴ $t_2-t_1=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}-2\sqrt{2}=3-2\sqrt{2}$.综上,$t_2-t_1=4$或 $t_2-t_1=3-2\sqrt{2}$.