4. (2025·遂宁中考)我们知道,如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上,那么这个四边形叫这个圆的内接四边形.我们规定:若圆的内接四边形有一组邻边相等,则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”.
(1)请同学们判断下列分别用含有$30°$和$45°$角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形,其中是“邻等内接四边形”的有(填序号).

(2)如图,四边形ABCD是“邻等内接四边形”,且$∠ BAC=90°$,$AB=3$,$AC=4$,$AB=AD$,求四边形ABCD的面积.

4. (1) ③
解析:依题意,图①、图②和图④没有对角互补,不是圆的内接四边形,图③对角互补且有一组邻边相等,是“邻等内接四边形”,故答案为③.
(2) ∠BAC=90°,AB=3,AC=4,
∴ $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5$.
∵ 四边形 ABCD 是“邻等内接四边形”,∠BAC=90°,
∴ A,B,C,D 四点共圆,且 BC 为直径,把 BC 的中点记为点 O,即A,B,C,D 四点在⊙O 上,如图,连接 BD,AO,相交于点 H.

∵ BC=5,
∴ $BO=OA=\frac{5}{2}$.设 OH=x,则 $AH=\frac{5}{2}-x$,
∵ AB=AD,
∴ AO ⊥ BD,BH=DH.
在 Rt△ABH 中,$BH^2=AB^2-AH^2$,在 Rt△BOH 中,$BH^2=BO^2-OH^2$,
∴ $BO^2-OH^2=AB^2-AH^2$,即 $(\frac{5}{2})^2 -x^2=3^2- (\frac{5}{2}-x)^2$,解得 x=0.7,
∴ AH=2.5-0.7=1.8,则 BH=2.4,即 BD=2.4×2=4.8.
∵ BC 是直径,
∴ ∠BDC=90°,DH,BO=OC,
∴ OH 是△BDC 的中位线,则 $S_{△ BDC}=\frac{1}{2}×BD×DC=\frac{1}{2}×4.8×1.4=3.36$,
$S_{△ BDA}=\frac{1}{2}×BD×AH=\frac{1}{2}×4.8×1.8=4.32$,
∴ 四边形 ABCD 的面积=$S_{△ BDC}+S_{△ BDA}=3.36+4.32=7.68$.