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一、仔细思考，用心填空。
1. 北京时间 2021 年 6 月 17 日 9 时 22 分，神舟十二号载人飞船发射升空。当日 18 时 48 分，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入天和核心舱，标志着中国人首次进入自己的空间站。上面信息出现的自然数中，是质数的有()；既是奇数，又是合数的有()；既是偶数，又是合数的有()；同时是 2 和 3 的倍数的有()。(提示：$43×47 = 2021$)
1. 北京时间 2021 年 6 月 17 日 9 时 22 分，神舟十二号载人飞船发射升空。当日 18 时 48 分，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入天和核心舱，标志着中国人首次进入自己的空间站。上面信息出现的自然数中，是质数的有()；既是奇数，又是合数的有()；既是偶数，又是合数的有()；同时是 2 和 3 的倍数的有()。(提示：$43×47 = 2021$)
答案
1. （17）、（9、2021）、（6、22、18、48）、（6、18、48）
解析
题目中出现的自然数有2021，6，17，9，22，18，48。
质数：根据题目提示$43×47=2021$，以及17是质数，在出现的自然数里质数只有17；
奇数且合数：先确定奇数，再判断是否为合数，在2021，9这些奇数里，2021 = 43×47，9 = 3×3，所以2021、9是合数；
偶数且合数：先确定偶数，再判断是否为合数，在6，22，18，48这些偶数里，6 = 2×3，22 = 2×11，18 = 2×9，48 = 2×24，所以6，22，18，48都是合数；
同时是2和3的倍数：根据2和3的倍数特征，个位是偶数且各位数字之和是3的倍数，6各位数字之和为6是3的倍数，个位是6是偶数；18各位数字之和1 + 8 = 9是3的倍数，个位是8是偶数；48各位数字之和4 + 8 = 12是3的倍数，个位是8是偶数，所以6，18，48同时是2和3的倍数。
质数：根据题目提示$43×47=2021$，以及17是质数，在出现的自然数里质数只有17；
奇数且合数：先确定奇数，再判断是否为合数，在2021，9这些奇数里，2021 = 43×47，9 = 3×3，所以2021、9是合数；
偶数且合数：先确定偶数，再判断是否为合数，在6，22，18，48这些偶数里，6 = 2×3，22 = 2×11，18 = 2×9，48 = 2×24，所以6，22，18，48都是合数；
同时是2和3的倍数：根据2和3的倍数特征，个位是偶数且各位数字之和是3的倍数，6各位数字之和为6是3的倍数，个位是6是偶数；18各位数字之和1 + 8 = 9是3的倍数，个位是8是偶数；48各位数字之和4 + 8 = 12是3的倍数，个位是8是偶数，所以6，18，48同时是2和3的倍数。
2. 在括号里填上不同的质数。
()+()=8 ()+()=30 ()+()+()=18
()+()=8 ()+()=30 ()+()+()=18
答案
3,5;7,23;2,3,13
解析
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
8以内的质数有2、3、5、7，其中3+5=8，所以第一组填3和5。
30以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，其中7+23=30，11+19=30，13+17=30，题目要求填不同的质数，任选一组即可，这里选7和23。
18以内的质数有2、3、5、7、11、13、17，其中2+3+13=18，2+5+11=18，任选一组即可，这里选2、3、13。
8以内的质数有2、3、5、7，其中3+5=8，所以第一组填3和5。
30以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，其中7+23=30，11+19=30，13+17=30，题目要求填不同的质数，任选一组即可，这里选7和23。
18以内的质数有2、3、5、7、11、13、17，其中2+3+13=18，2+5+11=18，任选一组即可，这里选2、3、13。
3. 小豪参加低碳减排公益项目，坚持每天步行上学，他平均每天步行产生的“绿色能量”(单位：克)是一个同时为 3 和 5 的倍数的最大两位数。小豪平均每天步行产生()克“绿色能量”。
答案
90
解析
同时为3和5的倍数的数需满足个位是0或5且各位数字之和是3的倍数。最大两位数中，个位为5时，95各位数字之和14不是3的倍数；个位为0时，90各位数字之和9是3的倍数，故最大两位数是90。
4. 为了安全支付，妈妈设置了一个四位数的支付密码：密码的个位上的数是最小的质数；十位上的数是 10 以内的最大合数；百位上的数既是 8 的因数，又是 8 的倍数；千位上的数既不是质数又不是合数。这个密码是()。
答案
1892
解析
个位是最小的质数，即2；十位是10以内最大合数，即9；百位既是8的因数又是8的倍数，即8；千位既不是质数又不是合数，即1。所以密码是1892。
5. 如果 $M$ 是奇数，$N$ 是偶数，那么，$2M$ 是()数，$2M + N$ 是()数。(括号里填“奇”或“偶”)
答案
偶、偶
解析
因为$M$是奇数，根据奇数的定义，奇数可以表示为$2k + 1$（$k$为整数），那么$2M=2×(2k + 1)=4k + 2 = 2(2k + 1)$，$2k+1$是整数，所以$2M$是偶数。
又因为$2M$是偶数，$N$是偶数，根据偶数的运算性质：偶数加偶数为偶数，所以$2M + N$是偶数。
又因为$2M$是偶数，$N$是偶数，根据偶数的运算性质：偶数加偶数为偶数，所以$2M + N$是偶数。
6. 李刚、张山、王丽三人分别在朋友圈集赞，一段时间后，三人获得的点赞数为连续的偶数，三人的点赞数之和是 24，则最少的点赞数是()。
答案
6
解析
设最少的点赞数为$x$，则另外两人的点赞数分别为$x+2$、$x+4$。根据题意可得方程$x + (x+2) + (x+4) = 24$，化简得$3x + 6 = 24$，$3x = 18$，解得$x = 6$。
7. 一个长方形的长和宽都是质数，周长是 $36\mathrm{cm}$，这个长方形的面积最大是()平方厘米。
答案
77
解析
长方形周长=2×(长+宽)，则长+宽=36÷2=18(cm)。长和宽为质数，满足和为18的质数对有(5,13)、(7,11)。面积分别为5×13=65(cm²)、7×11=77(cm²)，77＞65，故最大面积为77cm²。
8. 牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“$67□8□$”，其中方框表示破了的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且金额都是整数。那么，这 45 名工人的总工资有可能是()元或()元。
答案
67185 67680
解析
总工资是45的倍数，45=5×9，需同时被5和9整除。
1. 被5整除：个位是0或5。
2. 被9整除：各位数字和是9的倍数。
个位为0时：6+7+x+8+0=21+x，21+x=27（9的倍数），x=6，数为67680。
个位为5时：6+7+x+8+5=26+x，26+x=27（9的倍数），x=1，数为67185。
验证：67680÷45=1504，67185÷45=1493，均为整数。
1. 被5整除：个位是0或5。
2. 被9整除：各位数字和是9的倍数。
个位为0时：6+7+x+8+0=21+x，21+x=27（9的倍数），x=6，数为67680。
个位为5时：6+7+x+8+5=26+x，26+x=27（9的倍数），x=1，数为67185。
验证：67680÷45=1504，67185÷45=1493，均为整数。
二、选择正确答案的序号填入括号里。
1. 如果 $a×b = c$ ($a$、$b$、$c$ 都是不等于 0 的自然数)，那么，()。
A.$a$ 是 $b$ 的倍数
B.$b$ 和 $c$ 都是 $a$ 的倍数
C.$a$ 和 $b$ 都是 $c$ 的因数
D.$b$ 是 $a$ 的因数
1. 如果 $a×b = c$ ($a$、$b$、$c$ 都是不等于 0 的自然数)，那么，()。
A.$a$ 是 $b$ 的倍数
B.$b$ 和 $c$ 都是 $a$ 的倍数
C.$a$ 和 $b$ 都是 $c$ 的因数
D.$b$ 是 $a$ 的因数
答案
C
解析
根据因数和倍数的定义，在$a×b = c$（$a$、$b$、$c$都是非0自然数）中，$a$和$b$是$c$的因数，$c$是$a$和$b$的倍数。选项A中未明确$a$是$b$的倍数，只有当$c$是$b$的倍数且$a$为整数时才成立，此处条件不足；选项B中$b$是$a$的倍数说法错误，$b$是$c$的因数；选项D中$b$是$a$的因数说法错误，$b$是$c$的因数。所以正确的是选项C。
2. 下面计数器中表示的数，()是 3 的倍数。
答案
D
解析
一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
A. 十位5，个位3，和5+3=8，8不是3的倍数；
B. 百位6，十位3，个位1，和6+3+1=10，10不是3的倍数；
C. 百位4，个位1，和4+1=5，5不是3的倍数；
D. 百位1，十位5，个位3，和1+5+3=9，9是3的倍数。
A. 十位5，个位3，和5+3=8，8不是3的倍数；
B. 百位6，十位3，个位1，和6+3+1=10，10不是3的倍数；
C. 百位4，个位1，和4+1=5，5不是3的倍数；
D. 百位1，十位5，个位3，和1+5+3=9，9是3的倍数。
3. 著名的哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”。这个猜想常见的一个陈述版本是“任一大于 2 的偶数都可写成两个质数之和”。下面的算式中符合这个猜想的是()。
A.$8 = 1 + 7$
B.$36 = 17 + 19$
C.$60 = 3 + 57$
D.$96 = 5 + 91$
A.$8 = 1 + 7$
B.$36 = 17 + 19$
C.$60 = 3 + 57$
D.$96 = 5 + 91$
答案
B
解析
哥德巴赫猜想指的是任一大于2的偶数都可写成两个质数之和，
选项A中，1不是质数，所以不符合；
选项B中，36是大于2的偶数，17和19都是质数，符合哥德巴赫猜想；
选项C中，57不是质数，因为57=3×19，所以不符合；
选项D中，91不是质数，因为91=7×13，所以不符合；
选项A中，1不是质数，所以不符合；
选项B中，36是大于2的偶数，17和19都是质数，符合哥德巴赫猜想；
选项C中，57不是质数，因为57=3×19，所以不符合；
选项D中，91不是质数，因为91=7×13，所以不符合；
