三、解答题
7. 如图所示，在$□ ABCD$中，$∠ BAD$与$∠ ADC$的平分线分别交直线$BC$于点$E$，$F$。求证：$EC = BF$。

7. 提示：证明△CDF 和△BAE 均为等腰三角形

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB = CD$，$∠ BAD=∠ BCD$，$∠ ADC=∠ ABC$。
∵$AE$平分$∠ BAD$，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAD$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ AEB=∠ DAE=∠ BAE$，
∴$△ ABE$是等腰三角形，$BE = AB$。
∵$DF$平分$∠ ADC$，
∴$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ ADC$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ DFC=∠ ADF=∠ CDF$，
∴$△ CDF$是等腰三角形，$CF = CD$。
∵$AB = CD$，
∴$BE = CF$。
∵$BE = BF + BC$，$CF = EC + BC$，
∴$BF = EC$，即$EC = BF$。

8. 如图所示，在$□ ABCD$中，$DF$平分$∠ ADC$，交$BC$于点$E$，交$AB$的延长线于点$F$。若$AD = 6$，$∠ A = 120^{\circ}$，求$△ ADF$的面积。

8. 9√{3} 提示：可证明∠F = ∠ADF = 30°，AF = AD = 6

证明：在$□ABCD$中，$AD// BC$，$AB// CD$，$AD=BC=6$，$∠ A=120°$。
$\because DF$平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ ADF = ∠ CDF$。
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ F = ∠ CDF$，$\therefore ∠ F = ∠ ADF$，$\therefore AF = AD = 6$。
过点$D$作$DG⊥ AF$于点$G$，在$Rt△ ADG$中，$∠ A=120°$，则$∠ DAG=60°$，$AD=6$。
$\sin 60°=\frac{DG}{AD}$，$\therefore DG=AD· \sin 60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
$\therefore S_{△ ADF}=\frac{1}{2}× AF× DG=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
答：$△ ADF$的面积为$9\sqrt{3}$。

9. 如图所示，在$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，垂足分别为点$E$，$F$，$AE = 6\ \mathrm{cm}$，$AF = 8\ \mathrm{cm}$。若$∠ EAF = 30^{\circ}$，求$□ ABCD$的周长和面积。

9. 周长为 56 cm，面积为 96 cm² 提示：∠B = ∠D = ∠EAF = 30°

证明：在$□ABCD$中，$AD// BC$，$AB// CD$，$∠B=∠D$，$∠BAD=∠C$。
因为$AE⊥BC$，$AF⊥CD$，所以$∠AEB=∠AEC=∠AFC=∠AFD=90^{\circ}$。
在四边形$AECF$中，$∠EAF + ∠AEC + ∠C + ∠AFC = 360^{\circ}$，已知$∠EAF=30^{\circ}$，$∠AEC=∠AFC=90^{\circ}$，则$30^{\circ}+90^{\circ}+∠C + 90^{\circ}=360^{\circ}$，解得$∠C=150^{\circ}$。
因为$∠BAD=∠C$，所以$∠BAD=150^{\circ}$。又因为$AD// BC$，所以$∠B + ∠BAD=180^{\circ}$，则$∠B=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$，故$∠D=∠B=30^{\circ}$。
在$Rt△ ABE$中，$∠AEB=90^{\circ}$，$∠B=30^{\circ}$，$AE=6\ \mathrm{cm}$，因为$AB=2AE$，所以$AB=2×6=12\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ADF$中，$∠AFD=90^{\circ}$，$∠D=30^{\circ}$，$AF=8\ \mathrm{cm}$，因为$AD=2AF$，所以$AD=2×8=16\ \mathrm{cm}$。
$□ABCD$的周长为$2(AB + AD)=2×(12 + 16)=56\ \mathrm{cm}$。
面积为$BC× AE=AD× AE=16×6=96\ \mathrm{cm}^{2}$。
答：$□ABCD$的周长为$56\ \mathrm{cm}$，面积为$96\ \mathrm{cm}^{2}$。