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一、选择题
1. 如图所示，已知$l_{1}// l_{2}$，点$A$，$C$，$F$在直线$l_{1}$上，点$B$，$D$，$E$，$G$在直线$l_{2}$上，$AB// CD$，$CE⊥ l_{2}$，$FG⊥ l_{2}$，下列说法错误的是(
A.$l_{1}$与$l_{2}$之间的距离是线段$FG$的长度
B.$CE = FG$
C.线段$CD$的长度就是$l_{1}$与$l_{2}$之间的距离
D.$AC = BD$
1. 如图所示，已知$l_{1}// l_{2}$，点$A$，$C$，$F$在直线$l_{1}$上，点$B$，$D$，$E$，$G$在直线$l_{2}$上，$AB// CD$，$CE⊥ l_{2}$，$FG⊥ l_{2}$，下列说法错误的是(
C
)。A.$l_{1}$与$l_{2}$之间的距离是线段$FG$的长度
B.$CE = FG$
C.线段$CD$的长度就是$l_{1}$与$l_{2}$之间的距离
D.$AC = BD$
答案
1. C
解析
证明：
∵ $ l_{1} // l_{2} $，$ CE ⊥ l_{2} $，$ FG ⊥ l_{2} $，
∴ $ CE $、$ FG $是$ l_{1} $与$ l_{2} $之间的距离，且$ CE = FG $，故A、B正确；
∵ $ AB // CD $，$ l_{1} // l_{2} $，
∴ 四边形$ ABDC $是平行四边形，
∴ $ AC = BD $，故D正确；
线段$ CD $不垂直于$ l_{2} $，其长度不是$ l_{1} $与$ l_{2} $之间的距离，故C错误。
答案：C
∵ $ l_{1} // l_{2} $，$ CE ⊥ l_{2} $，$ FG ⊥ l_{2} $，
∴ $ CE $、$ FG $是$ l_{1} $与$ l_{2} $之间的距离，且$ CE = FG $，故A、B正确；
∵ $ AB // CD $，$ l_{1} // l_{2} $，
∴ 四边形$ ABDC $是平行四边形，
∴ $ AC = BD $，故D正确；
线段$ CD $不垂直于$ l_{2} $，其长度不是$ l_{1} $与$ l_{2} $之间的距离，故C错误。
答案：C
2. 如图所示，在$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$于点$E$，$AF⊥ CD$于点$F$。若$AE = 4$，$AF = 6$，$□ ABCD$的周长为$40$，则$S_{□ ABCD}$为(
A.$24$
B.$36$
C.$40$
D.$48$
D
)。A.$24$
B.$36$
C.$40$
D.$48$
答案
2. D
解析
解：设$BC=x$，$CD=y$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB=CD=y$，$AD=BC=x$。
平行四边形周长为$40$，则$2(x + y)=40$，即$x + y=20$。
平行四边形面积$S=BC· AE=CD· AF$，即$4x=6y$，化简得$2x=3y$。
联立方程组：
$\begin{cases}x + y=20\\2x=3y\end{cases}$
由$2x=3y$得$x=\frac{3}{2}y$，代入$x + y=20$：
$\frac{3}{2}y + y=20$
$\frac{5}{2}y=20$
$y=8$
则$x=20 - y=12$。
所以$S=4x=4×12=48$。
答案：D
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB=CD=y$，$AD=BC=x$。
平行四边形周长为$40$，则$2(x + y)=40$，即$x + y=20$。
平行四边形面积$S=BC· AE=CD· AF$，即$4x=6y$，化简得$2x=3y$。
联立方程组：
$\begin{cases}x + y=20\\2x=3y\end{cases}$
由$2x=3y$得$x=\frac{3}{2}y$，代入$x + y=20$：
$\frac{3}{2}y + y=20$
$\frac{5}{2}y=20$
$y=8$
则$x=20 - y=12$。
所以$S=4x=4×12=48$。
答案：D
3. 如图所示，设$P$为$□ ABCD$内的一点，$△ PAB$，$△ PBC$，$△ PDC$，$△ PDA$的面积分别记为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，$S_{4}$，则有(
A.$S_{1}=S_{4}$
B.$S_{1}+S_{2}=S_{3}+S_{4}$
C.$S_{1}+S_{3}=S_{2}+S_{4}$
D.以上都不对
C
)。A.$S_{1}=S_{4}$
B.$S_{1}+S_{2}=S_{3}+S_{4}$
C.$S_{1}+S_{3}=S_{2}+S_{4}$
D.以上都不对
答案
3. C
解析
解：在平行四边形$ABCD$中，$AB = CD$，$AD = BC$，且$AB// CD$，$AD// BC$。
设$△PAB$中$AB$边上的高为$h_1$，$△PDC$中$CD$边上的高为$h_3$，因为$AB// CD$，所以$h_1 + h_3$等于平行四边形$ABCD$中$AB$边上的高$h$。则$S_1=\frac{1}{2}AB· h_1$，$S_3=\frac{1}{2}CD· h_3=\frac{1}{2}AB· h_3$，所以$S_1 + S_3=\frac{1}{2}AB(h_1 + h_3)=\frac{1}{2}AB· h=\frac{1}{2}S_{□ABCD}$。
同理，设$△PBC$中$BC$边上的高为$h_2$，$△PDA$中$AD$边上的高为$h_4$，因为$AD// BC$，所以$h_2 + h_4$等于平行四边形$ABCD$中$BC$边上的高$h'$。则$S_2=\frac{1}{2}BC· h_2$，$S_4=\frac{1}{2}AD· h_4=\frac{1}{2}BC· h_4$，所以$S_2 + S_4=\frac{1}{2}BC(h_2 + h_4)=\frac{1}{2}BC· h'=\frac{1}{2}S_{□ABCD}$。
因此，$S_1 + S_3 = S_2 + S_4$。
答案：C
设$△PAB$中$AB$边上的高为$h_1$，$△PDC$中$CD$边上的高为$h_3$，因为$AB// CD$，所以$h_1 + h_3$等于平行四边形$ABCD$中$AB$边上的高$h$。则$S_1=\frac{1}{2}AB· h_1$，$S_3=\frac{1}{2}CD· h_3=\frac{1}{2}AB· h_3$，所以$S_1 + S_3=\frac{1}{2}AB(h_1 + h_3)=\frac{1}{2}AB· h=\frac{1}{2}S_{□ABCD}$。
同理，设$△PBC$中$BC$边上的高为$h_2$，$△PDA$中$AD$边上的高为$h_4$，因为$AD// BC$，所以$h_2 + h_4$等于平行四边形$ABCD$中$BC$边上的高$h'$。则$S_2=\frac{1}{2}BC· h_2$，$S_4=\frac{1}{2}AD· h_4=\frac{1}{2}BC· h_4$，所以$S_2 + S_4=\frac{1}{2}BC(h_2 + h_4)=\frac{1}{2}BC· h'=\frac{1}{2}S_{□ABCD}$。
因此，$S_1 + S_3 = S_2 + S_4$。
答案：C
二、填空题
4. 如图所示，在$□ ABCD$中，$∠ C = 108^{\circ}$，$AB = 4\ \mathrm{cm}$，$AD = 7\ \mathrm{cm}$，$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$E$，交$CD$的延长线于点$F$，则$∠ ABE$的度数为
4. 如图所示，在$□ ABCD$中，$∠ C = 108^{\circ}$，$AB = 4\ \mathrm{cm}$，$AD = 7\ \mathrm{cm}$，$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$E$，交$CD$的延长线于点$F$，则$∠ ABE$的度数为
36°
，$DF$的长为3 cm
。答案
4. 36° 3 cm
解析
解：在$□ABCD$中，$∠ABC + ∠C = 180^{\circ}$，$∠C = 108^{\circ}$，则$∠ABC = 180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$。
因为$BE$平分$∠ABC$，所以$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×72^{\circ}=36^{\circ}$。
因为$AB// CD$，所以$∠F=∠ABE=36^{\circ}$，$∠FED=∠AEB$。
又因为$AD// BC$，所以$∠AEB=∠EBC=36^{\circ}$，故$∠FED=36^{\circ}=∠F$，所以$DF=DE$。
因为$AB=CD=4\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=7\ \mathrm{cm}$，且$∠ABE=∠AEB$，所以$AE=AB=4\ \mathrm{cm}$，则$DE=AD - AE=7 - 4=3\ \mathrm{cm}$，即$DF=3\ \mathrm{cm}$。
36°；3 cm
因为$BE$平分$∠ABC$，所以$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×72^{\circ}=36^{\circ}$。
因为$AB// CD$，所以$∠F=∠ABE=36^{\circ}$，$∠FED=∠AEB$。
又因为$AD// BC$，所以$∠AEB=∠EBC=36^{\circ}$，故$∠FED=36^{\circ}=∠F$，所以$DF=DE$。
因为$AB=CD=4\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=7\ \mathrm{cm}$，且$∠ABE=∠AEB$，所以$AE=AB=4\ \mathrm{cm}$，则$DE=AD - AE=7 - 4=3\ \mathrm{cm}$，即$DF=3\ \mathrm{cm}$。
36°；3 cm
5. 如图所示，$m// n$，点$C$，$D$，$E$在直线$m$上，点$A$，$B$在直线$n$上，四边形$ABED$为平行四边形，若$△ ABC$的面积为$5$，则$□ ABED$的面积是
10
。答案
5. 10
解析
证明：因为 $m // n$，所以点 $C$ 到直线 $n$ 的距离等于平行四边形 $ABED$ 的高 $h$。
$△ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2} × AB × h = 5$，则 $AB × h = 10$。
平行四边形 $ABED$ 的面积为 $AB × h = 10$。
10
$△ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2} × AB × h = 5$，则 $AB × h = 10$。
平行四边形 $ABED$ 的面积为 $AB × h = 10$。
10
6. 如图所示，在$□ ABCD$中，$BE⊥ AC$于点$E$，$AC = 24$，$BE = 5$，$AD = 8$，则两平行线$AD$与$BC$间的距离是
15
。答案
6. 15
解析
解：在$□ABCD$中，$AD=BC=8$，$AB=CD$，$AC=24$。
因为$BE⊥AC$，$BE=5$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BE=\frac{1}{2}×24×5=60$。
则$□ABCD$的面积为$2S_{△ ABC}=2×60=120$。
设$AD$与$BC$间的距离为$h$，因为$AD=8$，所以$S_{□ABCD}=AD· h=8h$。
即$8h=120$，解得$h=15$。
15
因为$BE⊥AC$，$BE=5$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BE=\frac{1}{2}×24×5=60$。
则$□ABCD$的面积为$2S_{△ ABC}=2×60=120$。
设$AD$与$BC$间的距离为$h$，因为$AD=8$，所以$S_{□ABCD}=AD· h=8h$。
即$8h=120$，解得$h=15$。
15
