3. 如图，有一空心圆柱，高为$12 cm$，底面周长为$15 cm$. 在圆柱内的下底面$A$处有一只蚂蚁，它想和上底面$B$处的同伴汇合，则这只蚂蚁经过的最短距离是多少？($π$取$3$)

4. 如图所示，长方体的长为$15$，宽为$10$，高为$20$，点$B$离点$C$的距离为$5$，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点$A$爬到点$B$，爬行的最短距离是多少？

$20\sqrt{2}$

情况一：展开前面与上面
将长方体前面和上面展开成平面，此时形成直角三角形，两直角边分别为：
水平方向：长方体的长 $15$
垂直方向：高 $20 + (宽 - 5) = 20 + (10 - 5) = 25$
距离：$\sqrt{15^2 + 25^2} = \sqrt{225 + 625} = \sqrt{850}$
情况二：展开右面与上面
将长方体右面和上面展开成平面，此时形成直角三角形，两直角边分别为：
水平方向：宽 $10 + (长 - 5) = 10 + (15 - 5) = 20$
垂直方向：高 $20$
距离：$\sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}$
情况三：展开前面与右面
将长方体前面和右面展开成平面，此时形成直角三角形，两直角边分别为：
水平方向：长 $15 + 宽 = 15 + 10 = 25$
垂直方向：高 $20 - 5 = 15$
距离：$\sqrt{25^2 + 15^2} = \sqrt{625 + 225} = \sqrt{850}$
比较与结论
$\sqrt{800} ＜ \sqrt{850}$，故最短距离为 $20\sqrt{2}$。

1. 下图是一副秋千架，图$1$是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面$0.5 m$(踏板厚度忽略不计)，图$2$是从侧面看，当秋千踏板荡起至点$B$位置时，点$B$离地面垂直高度$BC$为$1 m$，离秋千支柱$AD$的水平距离$BE$为$1.5 m$(不考虑支柱的直径). 求秋千支柱$AD$的高.

1. 解：设秋千支柱$AD$的高为$x$米，则秋千绳长为$(x - 0.5)m。$当踏板在$B$位置时，$BC = 1m，$$BE = 1.5m，$$AE=AD - BC=(x - 1)m。$在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得$AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}，$即$(x - 1)^{2}+1.5^{2}=(x - 0.5)^{2}，$展开得$x^{2}-2x + 1 + 2.25=x^{2}-x + 0.25，$解得$x = 3。$答：秋千支柱$AD$的高为$3$米。

2. 如图，在一个高为$5 m$，长为$13 m$的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是.

2. 17 m

1. 已知坐标平面内点$A(x,y)$，原点$O(0,0)$，则线段$OA =$.

$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

2. 如图，$AB$为一棵大树，在树上距地面$10$米的$D$处有两只猴子，他们同时发现$C$处有一筐水果. 一只猴子从$D$处往上爬到树顶$A$处，又沿滑绳$AC$滑到$C$处，另一只猴子从$D$滑到$B$，再由$B$跑到$C$处. 已知两只猴子所经路程都为$15$米，求树高$AB$.

解：设树高$AB = h$米，则$AD=h - 10，$$AC = 15 - (h - 10)=25 - h，$$BC=15 - 10 = 5m。$在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}，$即$h^{2}+5^{2}=(25 - h)^{2}，$展开得$h^{2}+25 = 625 - 50h + h^{2}，$解得$h = 12。$答：树高$AB$为$12$米。