6. (2023·江西)图 1 是某红色文化主题公园内的雕塑,将其抽象成如图 2 所示的示意图.已知点 $ B $,$ A $,$ D $,$ E $ 均在同一直线上,$ AB = AC = AD $,测得 $ ∠ B = 55^{\circ} $,$ BC = 1.8 \, \mathrm{m} $,$ DE = 2 \, \mathrm{m} $.(结果保小数点后一位)(参考数据:$ \sin 55^{\circ} \approx 0.82 $,$ \cos 55^{\circ} \approx 0.57 $,$ \tan 55^{\circ} \approx 1.43 $)
(1) 连接 $ CD $,求证:$ DC ⊥ BC $;
(2) 求雕塑的高(即点 $ E $ 到直线 $ BC $ 的距离).

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6. （1）$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ ACB$．$\because AD=AC$，$\therefore ∠ ADC=∠ ACD$．$\because ∠ B+∠ ACB+∠ ADC+∠ ACD=180°$，$\therefore 2∠ ACB+2∠ ACD=180°$，$\therefore ∠ ACB+∠ ACD=90°$，$\therefore ∠ BCD=90°$，$\therefore DC⊥ BC$；（2）如图，过点$E$作$EF⊥ BC$，垂足为点$F$，在$\mathrm{Rt}△ DCB$中，$∠ B=55°$，$BC=1.8\ \mathrm{m}$，$\therefore BD=\frac{BC}{\cos55°}\approx\frac{1.8}{0.57}=\frac{60}{19}(\mathrm{m})$．$\because DE=2\ \mathrm{m}$，$\therefore BE=BD+DE=\frac{98}{19}(\mathrm{m})$．在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$EF=BE·\sin55°\approx\frac{98}{19}×0.82\approx4.2(\mathrm{m})$，$\therefore$ 雕塑的高约为$4.2\ \mathrm{m}$．

7. (2024·济南)城市轨道交通发展迅猛,为市民出行带来极大方便.某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离,数据勘测组通过勘测得到了如下记录表:


请根据记录表提供的信息完成下列问题:
(1) 求点 $ C $ 到地面 $ DE $ 的距离;
(2) 求顶部线段 $ BC $ 的长.
(结果精确到 $ 0.01 \, \mathrm{m} $,参考数据:$ \sin 15^{\circ} \approx 0.259 $,$ \cos 15^{\circ} \approx 0.966 $,$ \tan 15^{\circ} \approx 0.268 $,$ \sin 83^{\circ} \approx 0.993 $,$ \cos 83^{\circ} \approx 0.122 $,$ \tan 83^{\circ} \approx 8.144 $)

7. （1）如图，过点$C$作$CN⊥ ED$，交$ED$的延长线于点$N$，垂足为点$N$，$\because ∠ CDE=97°$，$\therefore ∠ CDN=83°$，在$\mathrm{Rt}△ CDN$中，$\sin∠ CDN=\sin83°=\frac{CN}{CD}=0.993$，$CD=6.7\ \mathrm{m}$，$\therefore CN=CD\sin83°=6.7×0.993\approx6.65(\mathrm{m})$，答：点$C$到地面$DE$的距离约为$6.65\ \mathrm{m}$；（2）如图，过点$B$作$BP⊥ CF$，垂足为点$P$，$\because CF// DE$，$\therefore ∠ FCD=∠ CDN=83°$．$\because ∠ BCD=98°$，$\therefore ∠ BCP=∠ BCD-∠ FCD=15°$．$\because$ 平行线间的距离处处相等，$\therefore EF=CN=6.65\ \mathrm{m}$．$\because AE=8.5\ \mathrm{m}$，$\therefore BP=AF=AE-EF=8.5-6.65=1.85$，在$\mathrm{Rt}△ BCP$中，$\sin∠ BCP=\sin15°=\frac{BP}{BC}=0.259$，$\therefore BC=\frac{BP}{\sin15°}=\frac{1.85}{0.259}\approx7.14(\mathrm{m})$，答：顶部线段$BC$的长为$7.14\ \mathrm{m}$．

8. (2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区增设了充电站,如图是矩形 $ PQMN $ 充电站的平面示意图,矩形 $ ABCD $ 是其中一个停车位.经测量,$ ∠ ABQ = 60^{\circ} $,$ AB = 5.4 \, \mathrm{m} $,$ CE = 1.6 \, \mathrm{m} $,$ GH ⊥ CD $,$ GH $ 是另一个车位的宽,所有车位的长宽相同,按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题:(结果精确到 $ 0.1 \, \mathrm{m} $,参考数据$ \sqrt{3} \approx 1.73 $)
(1) 求 $ PQ $ 的长;
(2) 该充电站有 $ 20 $ 个停车位,求 $ PN $ 的长.
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8. （1）$\because$ 四边形$PQMN$是矩形，$\therefore ∠ Q=∠ P=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABQ$中，$∠ ABQ=60°$，$AB=5.4\ \mathrm{m}$，$\therefore AQ=AB·\sin∠ ABQ=\frac{27\sqrt{3}}{10}\ \mathrm{m}$，$∠ QAB=30°$．$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AD=BC$，$∠ BAD=∠ BCD=∠ ABC=∠ BCE=90°$，$\therefore ∠ CBE=30°$，$\therefore BC=\frac{CE}{\tan∠ CBE}=\frac{8\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}$，$\therefore AD=\frac{8\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}$．$\because ∠ PAD=180°-30°-90°=60°$，$\therefore AP=AD·\cos∠ PAD=\frac{4\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}$，$\therefore PQ=AP+AQ=\frac{35\sqrt{3}}{10}\approx6.1\ \mathrm{m}$；（2）在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BE=\frac{CE}{\sin∠ CBE}=3.2\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ABQ$中，$BQ=AB·\cos∠ ABQ=2.7\ \mathrm{m}$．$\because$ 该充电站有20个停车位，$\therefore QM=QB+20BE=66.7\ \mathrm{m}$．$\because$ 四边形$PQMN$是矩形，$\therefore PN=QM=66.7\ \mathrm{m}$．

(1) $\because$ 四边形$PQMN$是矩形，$\therefore ∠ Q=∠ P=90°$。在$\mathrm{Rt}△ ABQ$中，$∠ ABQ=60°$，$AB=5.4\ \mathrm{m}$，$\therefore AQ=AB·\sin60°=5.4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2.7\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$∠ QAB=30°$。$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AD=BC$，$∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ CBE=180°-90°-60°=30°$。在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$CE=1.6\ \mathrm{m}$，$\tan∠ CBE=\frac{CE}{BC}$，$\therefore BC=\frac{CE}{\tan30°}=\frac{1.6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{4.8}{\sqrt{3}}=1.6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$\therefore AD=1.6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。$\because ∠ PAD=180°-∠ QAB-90°=180°-30°-90°=60°$，在$\mathrm{Rt}△ APD$中，$\cos∠ PAD=\frac{AP}{AD}$，$\therefore AP=AD·\cos60°=1.6\sqrt{3}×\frac{1}{2}=0.8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。$\therefore PQ=AP+AQ=0.8\sqrt{3}+2.7\sqrt{3}=3.5\sqrt{3}\approx3.5×1.73\approx6.1\ \mathrm{m}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABQ$中，$BQ=AB·\cos60°=5.4×\frac{1}{2}=2.7\ \mathrm{m}$。在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\sin∠ CBE=\frac{CE}{BE}$，$\therefore BE=\frac{CE}{\sin30°}=\frac{1.6}{\frac{1}{2}}=3.2\ \mathrm{m}$。$\because$ 有20个停车位，$\therefore QM=QB+20× BE=2.7+20×3.2=2.7+64=66.7\ \mathrm{m}$。$\because$ 四边形$PQMN$是矩形，$\therefore PN=QM=66.7\ \mathrm{m}$。