9. (2023·天津)综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度,如图,塔 $ AB $ 前有一座高为 $ DE $ 的观景台,已知 $ CD = 6 \, \mathrm{m} $,$ ∠ DCE = 30^{\circ} $,点 $ E $,$ C $,$ A $ 在同一条水平直线上.某学习小组在观景台 $ C $ 处测得塔顶部 $ B $ 的仰角为 $ 45^{\circ} $,在观景台 $ D $ 处测得塔顶部 $ B $ 的仰角为 $ 27^{\circ} $.
(1) 求 $ DE $ 的长;
(2) 设塔 $ AB $ 的高度为 $ h $(单位:$ \mathrm{m} $).
① 用含有 $ h $ 的式子表示线段 $ EA $ 的长(结果保留根号);
② 求塔 $ AB $ 的高度($ \tan 27^{\circ} \approx 0.5 $,$ \sqrt{3} \approx 1.7 $,结果取整数).
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9. （1）由题意得：$DE⊥ EC$，在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$CD=6\ \mathrm{m}$，$∠ DCE=30°$，$\therefore DE=\frac{1}{2}CD=3(\mathrm{m})$．$\therefore DE$的长为$3\ \mathrm{m}$；（2）①由题意得：$BA⊥ EA$，在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$DE=3\ \mathrm{m}$，$∠ DCE=30°$，$\therefore CE=\sqrt{3}DE=3\sqrt{3}(\mathrm{m})$．在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=h\ \mathrm{m}$，$∠ BCA=45°$，$\therefore AC=\frac{AB}{\tan45°}=h(\mathrm{m})$，$\therefore AE=EC+AC=(3\sqrt{3}+h)\ \mathrm{m}$，$\therefore$ 线段$EA$的长为$(3\sqrt{3}+h)\ \mathrm{m}$；② 过点$D$作$DF⊥ AB$，垂足为$F$，由题意得：$DF=EA=(3\sqrt{3}+h)\ \mathrm{m}$，$DE=FA=3\ \mathrm{m}$．$\because AB=h\ \mathrm{m}$，$\therefore BF=AB-AF=(h-3)\ \mathrm{m}$．在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ BDF=27°$，$\therefore BF=DF·\tan27°\approx0.5(3\sqrt{3}+h)$，$\therefore h-3=0.5(3\sqrt{3}+h)$．解得：$h=3\sqrt{3}+6\approx11$，$\therefore AB=11\ \mathrm{m}$．$\therefore$ 塔$AB$的高度约为$11\ \mathrm{m}$．

10. (2024·广元)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入射角 $ α $ 的正弦值与折射角 $ β $ 的正弦值的比值 $ \dfrac{\sin α}{\sin β} $ 叫作介质的“绝对折射率”,简称“折射率”.它表示光在介质中传播时,介质对光作用的一种特征.
(1) 若光从真空射入某介质,入射角为 $ α $,折射角为 $ β $,且 $ \cos α = \dfrac{\sqrt{7}}{4} $,$ β = 30^{\circ} $,求该介质的折射率;
(2) 现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图 1 所示,点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 分别是长方体棱的中点,若光线经真空从矩形 $ A_1D_1D_2A_2 $ 对角线交点 $ O $ 处射入,其折射光线恰好从点 $ C $ 处射出,如图 2,已知 $ α = 60^{\circ} $,$ CD = 10 \, \mathrm{cm} $,求截面 $ ABCD $ 的面积.

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10. （1）$\because \cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\therefore$ 如图，设$b=\sqrt{7}x$，则$c=4x$，由勾股定理得，$a=\sqrt{(4x)^2-(\sqrt{7}x)^2}=3x$，$\therefore \sinα=\frac{a}{c}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}$．又$\because β=30°$，$\therefore \sinβ=\sin30°=\frac{1}{2}$，$\therefore$ 折射率为$\frac{\sinα}{\sinβ}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$；（2）由题意可得$α=60°$，折射率为$\frac{3}{2}$，$\therefore \frac{\sinα}{\sinβ}=\frac{\sin60°}{\sinβ}=\frac{3}{2}$，$\therefore \sinβ=\frac{\sqrt{3}}{3}$．$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，点$O$是$AD$中点，$\therefore AD=2OD$，$∠ D=90°$，又$\because ∠ OCD=β$，$\therefore \sin∠ OCD=\sinβ=\frac{\sqrt{3}}{3}$，在$\mathrm{Rt}△ ODC$中，设$OD=\sqrt{3}x$，$OC=3x$，由勾股定理得，$CD=\sqrt{(3x)^2-(\sqrt{3}x)^2}=\sqrt{6}x$，$\therefore \tanβ=\frac{OD}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore OD=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$，$\therefore AD=2OD=10\sqrt{2}$，$\therefore$ 截面$ABCD$的面积为$AD× CD=10\sqrt{2}×10=100\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$．