1. (2023·长春)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳 $ AB $ 到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成 $ 25^{\circ} $ 角(即 $ ∠ BAC = 25^{\circ} $),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距 $ 32 $ 米(即 $ AC = 32 $ 米),则彩旗绳 $ AB $ 的长度为()

A.$ 32\sin 25^{\circ} $ 米
B.$ 32\cos 25^{\circ} $ 米
C.$ \dfrac{32}{\sin 25^{\circ}} $ 米
D.$ \dfrac{32}{\cos 25^{\circ}} $ 米

1. D

在直角三角形$ABC$中，$∠ BAC = 25^{\circ}$，$AC = 32$米，$∠ ACB = 90^{\circ}$。
因为$\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}$，所以$AB=\frac{AC}{\cos∠ BAC}=\frac{32}{\cos25^{\circ}}$米。
D

2. (2024·雅安)在数学课外实践活动中,某小组测量一栋楼房 $ CD $ 的高度(如图),他们在 $ A $ 处仰望楼顶,测得仰角为 $ 30^{\circ} $,再往楼的方向前进 $ 50 $ 米至 $ B $ 处,测得仰角为 $ 60^{\circ} $,那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)()

A.$ 25\sqrt{3} $ 米
B.$ 25 $ 米
C.$ 25\sqrt{2} $ 米
D.$ 50 $ 米

2. A

解：设楼的高度为$CD = h$米，$BC = x$米。
在$Rt△ BCD$中，$\tan60^{\circ}=\frac{CD}{BC}=\frac{h}{x}$，则$h = x\tan60^{\circ}=\sqrt{3}x$。
在$Rt△ ACD$中，$\tan30^{\circ}=\frac{CD}{AC}=\frac{h}{AB + BC}=\frac{h}{50 + x}$，则$h=(50 + x)\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}(50 + x)$。
所以$\sqrt{3}x=\frac{\sqrt{3}}{3}(50 + x)$，解得$x = 25$。
则$h=\sqrt{3}x = 25\sqrt{3}$。
答案：A

3. 太原地铁 2 号线是山西省第一条开通运营的地铁线路,于 2020 年 12 月 26 日开通,如图是该地铁某站扶梯的示意图,扶梯 $ AB $ 的坡度 $ i = 5:12 $ ($ i $ 为铅直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶梯底端 $ A $ 以 $ 0.5 \, \mathrm{m/s} $ 的速度用时 $ 40 \, \mathrm{s} $ 到达扶梯顶端 $ B $,则王老师上升的铅直高度 $ BC $ 为 $ \mathrm{m} $.
]

3. $\frac{100}{13}$

扶梯AB的长度为$0.5×40 = 20\,\mathrm{m}$。设铅直高度$BC = 5k\,\mathrm{m}$，水平宽度$AC = 12k\,\mathrm{m}$，由勾股定理得$(5k)^{2}+(12k)^{2}=20^{2}$，解得$k = \frac{20}{13}$，则$BC=5k=\frac{100}{13}\,\mathrm{m}$。
$\frac{100}{13}$

4. (2024·赤峰)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树 $ AB $ 的高度.如图,点 $ C $ 处与古树底部 $ A $ 处在同一水平面上,且 $ AC = 10 $ 米,无人机从 $ C $ 处竖直上升到达 $ D $ 处,测得古树顶部 $ B $ 的俯角为 $ 45^{\circ} $,古树底部 $ A $ 的俯角为 $ 65^{\circ} $,则古树 $ AB $ 的高度约为 米(结果精确到 $ 0.1 $ 米;参考数据:$ \sin 65^{\circ} \approx 0.906 $,$ \cos 65^{\circ} \approx 0.423 $,$ \tan 65^{\circ} \approx 2.145 $).
]

4. 11.5

解：过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，则四边形$ACDE$为矩形，$DE = AC = 10$米，$AE = CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan 65°=\frac{CD}{AC}$，$CD = AC · \tan 65°\approx10×2.145 = 21.45$米，故$AE = 21.45$米。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BDE = 45°$，$\tan 45°=\frac{BE}{DE}=1$，$BE = DE = 10$米。
$AB = AE - BE = 21.45 - 10 = 11.45\approx11.5$米。
11.5

5. (2023·河南)综合实践活动中,某小组用木板自制了一个测高仪测量树高,测高仪 $ ABCD $ 为正方形,$ AB = 30 \, \mathrm{cm} $,顶点 $ A $ 处挂了一个铅锤 $ M $.如图是测量树高的示意图,测高仪上的点 $ D $,$ A $ 与树顶 $ E $ 在一条直线上,铅垂线 $ AM $ 交 $ BC $ 于点 $ H $.经测量,点 $ A $ 距地面 $ 1.8 \, \mathrm{m} $,到树 $ EG $ 的距离 $ AF = 11 \, \mathrm{m} $,$ BH = 20 \, \mathrm{cm} $.求树 $ EG $ 的高度(结果精确到 $ 0.1 \, \mathrm{m} $).

5. 由题意可知，$∠ BAE=∠ MAF=∠ BAD=90°$，$FG=1.8\ \mathrm{m}$，则$∠ EAF+∠ BAF=∠ BAF+∠ BAH=90°$，$\therefore ∠ EAF=∠ BAH$．$\because AB=30\ \mathrm{cm}$，$BH=20\ \mathrm{cm}$，则$\tan∠ BAH=\frac{BH}{AB}=\frac{2}{3}$，$\therefore \tan∠ EAF=\frac{EF}{AF}=\tan∠ BAH=\frac{2}{3}$．$\because AF=11\ \mathrm{m}$，则$\frac{EF}{11}=\frac{2}{3}$，$\therefore EF=\frac{22}{3}$，$\therefore EG=EF+FG=\frac{22}{3}+1.8\approx9.1\ \mathrm{m}$．答：树$EG$的高度为$9.1\ \mathrm{m}$．

解：由题意知，四边形$ABCD$为正方形，$AB = 30\ \mathrm{cm}$，$BH = 20\ \mathrm{cm}$，点$A$距地面$1.8\ \mathrm{m}$，$AF = 11\ \mathrm{m}$，$∠ BAD = 90°$，$AM$为铅垂线，故$∠ BAH + ∠ BAF = 90°$，又$∠ EAF + ∠ BAF = 90°$，所以$∠ EAF = ∠ BAH$。
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$\tan∠ BAH=\frac{BH}{AB}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$，则$\tan∠ EAF=\frac{2}{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\tan∠ EAF=\frac{EF}{AF}$，即$\frac{EF}{11}=\frac{2}{3}$，解得$EF = \frac{22}{3}\ \mathrm{m}$。
树高$EG = EF + FG=\frac{22}{3}+1.8\approx7.333 + 1.8 = 9.1\ \mathrm{m}$。
答：树$EG$的高度为$9.1\ \mathrm{m}$。