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1. 计算 $x^{3}÷ x^{2}$ 的结果是(
A.$x^{5}$
B.$x$
C.$x^{6}$
D.$x^{1.5}$
B
)。A.$x^{5}$
B.$x$
C.$x^{6}$
D.$x^{1.5}$
答案
1.B
解析
【分析】
这道题考查同底数幂的除法运算，解题时首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。观察题目中的式子$x^{3}÷ x^{2}$，两个幂的底数都是x，符合同底数幂除法的形式，所以直接运用法则计算，用指数3减去指数2，得到的结果就是最终答案，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，且m＞n），对于$x^{3}÷ x^{2}$：
$x^{3}÷ x^{2}=x^{3-2}=x^1=x$
所以结果为x，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法
【点评】
本题是基础的幂运算题目，主要考查学生对同底数幂除法法则的掌握与运用，只要牢记法则就能轻松得出正确结果，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
这道题考查同底数幂的除法运算，解题时首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。观察题目中的式子$x^{3}÷ x^{2}$，两个幂的底数都是x，符合同底数幂除法的形式，所以直接运用法则计算，用指数3减去指数2，得到的结果就是最终答案，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，且m＞n），对于$x^{3}÷ x^{2}$：
$x^{3}÷ x^{2}=x^{3-2}=x^1=x$
所以结果为x，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法
【点评】
本题是基础的幂运算题目，主要考查学生对同底数幂除法法则的掌握与运用，只要牢记法则就能轻松得出正确结果，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
2. 下列计算正确的是(
A.$x^{4}· x^{4}=x^{16}$
B.$(a^{3})^{2}· a^{4}=a^{9}$
C.$(ab)^{3}÷ (-ab)^{2}=-ab^{4}$
D.$(a^{6})^{2}÷ (a^{4})^{3}=1$
D
)。A.$x^{4}· x^{4}=x^{16}$
B.$(a^{3})^{2}· a^{4}=a^{9}$
C.$(ab)^{3}÷ (-ab)^{2}=-ab^{4}$
D.$(a^{6})^{2}÷ (a^{4})^{3}=1$
答案
2.D
解析
【分析】
这道题考查幂的相关运算法则的应用，解题思路是：先回忆同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，然后对每个选项逐一运用法则进行计算，对比计算结果与选项给出的结果是否一致，从而判断选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
我们根据幂的运算法则对每个选项进行计算：
选项A：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{4}· x^{4}=x^{4+4}=x^{8}$，而不是$x^{16}$，所以A错误。
选项B：先根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算$(a^{3})^{2}=a^{3×2}=a^{6}$，再根据同底数幂相乘法则计算$a^{6}· a^{4}=a^{6+4}=a^{10}$，而不是$a^{9}$，所以B错误。
选项C：先根据积的乘方法则计算$(ab)^{3}=a^{3}b^{3}$，$(-ab)^{2}=a^{2}b^{2}$，再根据同底数幂相除法则计算$a^{3}b^{3}÷a^{2}b^{2}=a^{3-2}b^{3-2}=ab$，而不是$-ab^{4}$，所以C错误。
选项D：先根据幂的乘方法则计算$(a^{6})^{2}=a^{6×2}=a^{12}$，$(a^{4})^{3}=a^{4×3}=a^{12}$，再根据同底数幂相除法则计算$a^{12}÷a^{12}=1$，所以D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题重点考查幂的各类运算法则的综合运用，解题时需准确区分不同运算法则的适用条件，注意指数运算和符号处理的细节，避免因混淆法则或计算失误导致错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查幂的相关运算法则的应用，解题思路是：先回忆同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，然后对每个选项逐一运用法则进行计算，对比计算结果与选项给出的结果是否一致，从而判断选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
我们根据幂的运算法则对每个选项进行计算：
选项A：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{4}· x^{4}=x^{4+4}=x^{8}$，而不是$x^{16}$，所以A错误。
选项B：先根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算$(a^{3})^{2}=a^{3×2}=a^{6}$，再根据同底数幂相乘法则计算$a^{6}· a^{4}=a^{6+4}=a^{10}$，而不是$a^{9}$，所以B错误。
选项C：先根据积的乘方法则计算$(ab)^{3}=a^{3}b^{3}$，$(-ab)^{2}=a^{2}b^{2}$，再根据同底数幂相除法则计算$a^{3}b^{3}÷a^{2}b^{2}=a^{3-2}b^{3-2}=ab$，而不是$-ab^{4}$，所以C错误。
选项D：先根据幂的乘方法则计算$(a^{6})^{2}=a^{6×2}=a^{12}$，$(a^{4})^{3}=a^{4×3}=a^{12}$，再根据同底数幂相除法则计算$a^{12}÷a^{12}=1$，所以D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题重点考查幂的各类运算法则的综合运用，解题时需准确区分不同运算法则的适用条件，注意指数运算和符号处理的细节，避免因混淆法则或计算失误导致错误。
【难度系数】
0.7
1. 下列计算正确的是(
A.$(-a^{3})÷ (-a)^{2}=a$
B.$(-ab)^{5}÷ (-ab)^{3}=a^{2}b^{2}$
C.$(a^{4})^{3}÷ (-a^{2})^{3}=a^{6}$
D.$a^{n}÷ a^{n-2}=a^{-2}$
B
)。A.$(-a^{3})÷ (-a)^{2}=a$
B.$(-ab)^{5}÷ (-ab)^{3}=a^{2}b^{2}$
C.$(a^{4})^{3}÷ (-a^{2})^{3}=a^{6}$
D.$a^{n}÷ a^{n-2}=a^{-2}$
答案
1.B
解析
【分析】
这道题考查幂的相关运算，解题思路是运用幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算验证，判断结果是否正确。首先回忆核心法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方需把每个因式分别乘方，再将幂相乘，同时要注意符号的处理。
【解析】
对各选项逐一计算：
选项A：$(-a^{3})÷ (-a)^{2}=-a^3÷a^2=-a^{3-2}=-a$，与选项结果$a$不符，A错误；
选项B：$(-ab)^{5}÷ (-ab)^{3}=(-ab)^{5-3}=(-ab)^2=a^2b^2$，与选项结果一致，B正确；
选项C：$(a^{4})^{3}÷ (-a^{2})^{3}=a^{12}÷(-a^6)=-a^{12-6}=-a^6$，与选项结果$a^6$不符，C错误；
选项D：$a^{n}÷ a^{n-2}=a^{n-(n-2)}=a^2$，与选项结果$a^{-2}$不符，D错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题聚焦幂的基础运算法则应用，易错点在于符号的判断和指数运算的准确性，解题时需严格遵循运算法则，分步计算避免出错。
【难度系数】
0.6
这道题考查幂的相关运算，解题思路是运用幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算验证，判断结果是否正确。首先回忆核心法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方需把每个因式分别乘方，再将幂相乘，同时要注意符号的处理。
【解析】
对各选项逐一计算：
选项A：$(-a^{3})÷ (-a)^{2}=-a^3÷a^2=-a^{3-2}=-a$，与选项结果$a$不符，A错误；
选项B：$(-ab)^{5}÷ (-ab)^{3}=(-ab)^{5-3}=(-ab)^2=a^2b^2$，与选项结果一致，B正确；
选项C：$(a^{4})^{3}÷ (-a^{2})^{3}=a^{12}÷(-a^6)=-a^{12-6}=-a^6$，与选项结果$a^6$不符，C错误；
选项D：$a^{n}÷ a^{n-2}=a^{n-(n-2)}=a^2$，与选项结果$a^{-2}$不符，D错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题聚焦幂的基础运算法则应用，易错点在于符号的判断和指数运算的准确性，解题时需严格遵循运算法则，分步计算避免出错。
【难度系数】
0.6
2. 若 $2^{x}=3,4^{y}=5$,则 $2^{x-2y}=$(
A.$\frac{3}{5}$
B.$-2$
C.$\frac{6}{5}$
D.15
A
)。A.$\frac{3}{5}$
B.$-2$
C.$\frac{6}{5}$
D.15
答案
2.A
解析
【分析】
要计算$2^{x-2y}$，首先回忆指数运算的相关法则。根据同底数幂的除法法则，$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可将$2^{x-2y}$拆分为$2^x÷2^{2y}$。再观察已知条件$4^y=5$，由于$4=2^2$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可将$4^y$转化为$2^{2y}$，这样就能把已知的$2^x=3$和转化后的$2^{2y}=5$代入式子进行计算。
【解析】
1. 根据同底数幂的除法法则：$2^{x-2y}=2^x÷2^{2y}$
2. 对$4^y$进行变形：
因为$4=2^2$，所以$4^y=(2^2)^y=2^{2y}$，又已知$4^y=5$，则$2^{2y}=5$
3. 将$2^x=3$和$2^{2y}=5$代入式子：
$2^{x-2y}=3÷5=\frac{3}{5}$
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方
【点评】
本题主要考查指数运算的基本法则，需要熟练掌握同底数幂的除法法则和幂的乘方法则的逆用，属于基础题型，只要牢记运算法则就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
要计算$2^{x-2y}$，首先回忆指数运算的相关法则。根据同底数幂的除法法则，$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可将$2^{x-2y}$拆分为$2^x÷2^{2y}$。再观察已知条件$4^y=5$，由于$4=2^2$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可将$4^y$转化为$2^{2y}$，这样就能把已知的$2^x=3$和转化后的$2^{2y}=5$代入式子进行计算。
【解析】
1. 根据同底数幂的除法法则：$2^{x-2y}=2^x÷2^{2y}$
2. 对$4^y$进行变形：
因为$4=2^2$，所以$4^y=(2^2)^y=2^{2y}$，又已知$4^y=5$，则$2^{2y}=5$
3. 将$2^x=3$和$2^{2y}=5$代入式子：
$2^{x-2y}=3÷5=\frac{3}{5}$
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方
【点评】
本题主要考查指数运算的基本法则，需要熟练掌握同底数幂的除法法则和幂的乘方法则的逆用，属于基础题型，只要牢记运算法则就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
3. 若 $x-3y=4$,则 $2^{x}÷ 8^{y}=$
16
。答案
3.16
解析
【分析】
首先观察到所求式子中的底数8可转化为以2为底的幂，这样能将原式统一为同底数幂的运算形式。解题思路为：第一步，利用幂的乘方性质把8^y转化为2的幂；第二步，运用同底数幂的除法法则化简式子，此时指数部分恰好是已知条件中的x-3y；第三步，将已知的x-3y=4代入化简后的式子计算结果。
【解析】
因为8=2³，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$8^y=(2^3)^y=2^{3y}$
则$2^x ÷ 8^y = 2^x ÷ 2^{3y}$
根据同底数幂的除法法则$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），化简得：
$2^x ÷ 2^{3y}=2^{x-3y}$
已知$x-3y=4$，代入上式得：
$2^4=16$
【答案】
16
【知识点】
同底数幂除法，幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题关键是通过幂的乘方将不同底数的幂转化为同底数幂，再利用整体代入思想计算，体现了代数运算中转化与整体思想的重要性。
【难度系数】
0.7
首先观察到所求式子中的底数8可转化为以2为底的幂，这样能将原式统一为同底数幂的运算形式。解题思路为：第一步，利用幂的乘方性质把8^y转化为2的幂；第二步，运用同底数幂的除法法则化简式子，此时指数部分恰好是已知条件中的x-3y；第三步，将已知的x-3y=4代入化简后的式子计算结果。
【解析】
因为8=2³，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$8^y=(2^3)^y=2^{3y}$
则$2^x ÷ 8^y = 2^x ÷ 2^{3y}$
根据同底数幂的除法法则$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），化简得：
$2^x ÷ 2^{3y}=2^{x-3y}$
已知$x-3y=4$，代入上式得：
$2^4=16$
【答案】
16
【知识点】
同底数幂除法，幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题关键是通过幂的乘方将不同底数的幂转化为同底数幂，再利用整体代入思想计算，体现了代数运算中转化与整体思想的重要性。
【难度系数】
0.7
4. 地球的体积约为 $1.1× 10^{12}\ \mathrm{km}^{3}$,月球的体积约为 $2.2× 10^{10}\ \mathrm{km}^{3}$,问地球的体积是月球体积的多少倍。
答案
4.50倍
解析
【分析】
要确定地球体积是月球体积的多少倍，核心思路是用地球体积除以月球体积。对于科学记数法表示的数的除法运算，可拆分系数和幂次两部分分别计算：先计算系数的商，再根据同底数幂的除法法则计算10的幂次的商，最后将两部分结果相乘得到最终倍数。
【解析】
计算地球体积是月球体积的倍数，列式为：
$\begin{aligned}(1.1× 10^{12})÷(2.2× 10^{10})&=\frac{1.1}{2.2}×\frac{10^{12}}{10^{10}}\\&=0.5× 10^{12-10}\\&=0.5× 10^2\\&=50\end{aligned}$
【答案】
50倍
【知识点】
科学记数法运算，同底数幂除法
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用，重点在于掌握同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减），运算时分步计算可降低出错概率，适合巩固幂运算基础。
【难度系数】
0.8
要确定地球体积是月球体积的多少倍，核心思路是用地球体积除以月球体积。对于科学记数法表示的数的除法运算，可拆分系数和幂次两部分分别计算：先计算系数的商，再根据同底数幂的除法法则计算10的幂次的商，最后将两部分结果相乘得到最终倍数。
【解析】
计算地球体积是月球体积的倍数，列式为：
$\begin{aligned}(1.1× 10^{12})÷(2.2× 10^{10})&=\frac{1.1}{2.2}×\frac{10^{12}}{10^{10}}\\&=0.5× 10^{12-10}\\&=0.5× 10^2\\&=50\end{aligned}$
【答案】
50倍
【知识点】
科学记数法运算，同底数幂除法
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用，重点在于掌握同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减），运算时分步计算可降低出错概率，适合巩固幂运算基础。
【难度系数】
0.8
5. 计算:
(1)$(x-y)^{9}÷ (y-x)^{6}÷ (x-y)$;
(2)$(y^{2})^{3}÷ y^{5}· y$;
(3)$(a^{2})^{5}· (-a)^{4}÷ (-a^{2})^{3}$;
(4)$(xy)^{7}÷ (xy)^{3}$。
(1)$(x-y)^{9}÷ (y-x)^{6}÷ (x-y)$;
(2)$(y^{2})^{3}÷ y^{5}· y$;
(3)$(a^{2})^{5}· (-a)^{4}÷ (-a^{2})^{3}$;
(4)$(xy)^{7}÷ (xy)^{3}$。
答案
5.(1)$(x-y)^{2}$ (2)$y^{2}$ (3)$-a^{8}$ (4)$x^{4}y^{4}$
解析
【分析】
本题主要考查整式的乘除混合运算，需运用幂的相关运算法则，解题思路如下：
1. 第(1)题：先利用互为相反数的偶次幂相等，将$(y-x)^6$转化为$(x-y)^6$，再根据同底数幂的除法法则，底数不变、指数相减计算；
2. 第(2)题：先计算幂的乘方，再按从左到右的顺序，依次运用同底数幂的除法、乘法法则计算；
3. 第(3)题：先分别计算幂的乘方和积的乘方，确定各项符号，再按从左到右的顺序，运用同底数幂的乘除法法则计算；
4. 第(4)题：直接利用同底数幂的除法法则计算，最后根据积的乘方展开结果。
【解析】
(1) 原式$=(x-y)^{9}÷(x-y)^{6}÷(x-y)$
$=(x-y)^{9-6-1}$
$=(x-y)^{2}$
(2) 原式$=y^{2×3}÷y^{5}·y$
$=y^{6}÷y^{5}·y$
$=y^{6-5}·y$
$=y·y$
$=y^{1+1}$
$=y^{2}$
(3) 原式$=a^{2×5}·a^{4}÷(-a^{2×3})$
$=a^{10}·a^{4}÷(-a^{6})$
$=a^{10+4}÷(-a^{6})$
$=a^{14}÷(-a^{6})$
$=-a^{14-6}$
$=-a^{8}$
(4) 原式$=(xy)^{7-3}$
$=(xy)^{4}$
$=x^{4}y^{4}$
【答案】
(1)$(x-y)^{2}$；(2)$y^{2}$；(3)$-a^{8}$；(4)$x^{4}y^{4}$
【知识点】
幂的乘方；同底数幂的乘除法；积的乘方
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，解题关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘除法、积的乘方的运算法则，注意运算顺序和符号处理，尤其是负数的幂运算，需根据指数奇偶性确定符号。
【难度系数】
0.6
本题主要考查整式的乘除混合运算，需运用幂的相关运算法则，解题思路如下：
1. 第(1)题：先利用互为相反数的偶次幂相等，将$(y-x)^6$转化为$(x-y)^6$，再根据同底数幂的除法法则，底数不变、指数相减计算；
2. 第(2)题：先计算幂的乘方，再按从左到右的顺序，依次运用同底数幂的除法、乘法法则计算；
3. 第(3)题：先分别计算幂的乘方和积的乘方，确定各项符号，再按从左到右的顺序，运用同底数幂的乘除法法则计算；
4. 第(4)题：直接利用同底数幂的除法法则计算，最后根据积的乘方展开结果。
【解析】
(1) 原式$=(x-y)^{9}÷(x-y)^{6}÷(x-y)$
$=(x-y)^{9-6-1}$
$=(x-y)^{2}$
(2) 原式$=y^{2×3}÷y^{5}·y$
$=y^{6}÷y^{5}·y$
$=y^{6-5}·y$
$=y·y$
$=y^{1+1}$
$=y^{2}$
(3) 原式$=a^{2×5}·a^{4}÷(-a^{2×3})$
$=a^{10}·a^{4}÷(-a^{6})$
$=a^{10+4}÷(-a^{6})$
$=a^{14}÷(-a^{6})$
$=-a^{14-6}$
$=-a^{8}$
(4) 原式$=(xy)^{7-3}$
$=(xy)^{4}$
$=x^{4}y^{4}$
【答案】
(1)$(x-y)^{2}$；(2)$y^{2}$；(3)$-a^{8}$；(4)$x^{4}y^{4}$
【知识点】
幂的乘方；同底数幂的乘除法；积的乘方
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，解题关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘除法、积的乘方的运算法则，注意运算顺序和符号处理，尤其是负数的幂运算，需根据指数奇偶性确定符号。
【难度系数】
0.6
