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6. 已知 $10^{m}=3,10^{n}=2$,试求 $10^{2m-n}$ 的值。
答案
6.$\frac{9}{2}$
解析
【分析】
要计算$10^{2m-n}$的值，我们可以利用幂的运算法则将其转化为与已知条件相关的形式。首先回忆幂的核心运算法则：同底数幂相除，底数不变指数相减，即$a^{p-q}=a^p÷ a^q$；幂的乘方，底数不变指数相乘，即$a^{pq}=(a^p)^q$。先把$10^{2m-n}$拆分为$10^{2m}÷10^n$，再将$10^{2m}$转化为$(10^m)^2$，这样就能代入已知的$10^m=3$和$10^n=2$进行计算。
【解析】
根据幂的运算法则逐步推导：
$\begin{aligned}10^{2m-n}&=10^{2m}÷10^n\\&=(10^m)^2÷10^n\end{aligned}$
将$10^m=3$，$10^n=2$代入上式：
$(3)^2÷2=9÷2=\frac{9}{2}$
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算法则的逆用，解题关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法公式，把所求代数式转化为已知条件的形式，代入数值计算即可，属于基础运算题，侧重对幂运算基本公式的理解与应用。
【难度系数】
0.8
要计算$10^{2m-n}$的值，我们可以利用幂的运算法则将其转化为与已知条件相关的形式。首先回忆幂的核心运算法则：同底数幂相除，底数不变指数相减，即$a^{p-q}=a^p÷ a^q$；幂的乘方，底数不变指数相乘，即$a^{pq}=(a^p)^q$。先把$10^{2m-n}$拆分为$10^{2m}÷10^n$，再将$10^{2m}$转化为$(10^m)^2$，这样就能代入已知的$10^m=3$和$10^n=2$进行计算。
【解析】
根据幂的运算法则逐步推导：
$\begin{aligned}10^{2m-n}&=10^{2m}÷10^n\\&=(10^m)^2÷10^n\end{aligned}$
将$10^m=3$，$10^n=2$代入上式：
$(3)^2÷2=9÷2=\frac{9}{2}$
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算法则的逆用，解题关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法公式，把所求代数式转化为已知条件的形式，代入数值计算即可，属于基础运算题，侧重对幂运算基本公式的理解与应用。
【难度系数】
0.8
7. 若 $3x-2y-3=0$,求 $10^{3x}÷ 100^{y}$ 的值。
答案
7.1 000
解析
【分析】
首先，我们需要将所求式子转化为同底数幂的运算形式，因为100是10的平方，可利用幂的乘方性质把100^y转化为10^(2y)；接着从已知等式3x-2y-3=0中求出3x-2y的值；最后运用同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减），将3x-2y的值代入计算即可得到结果。具体思考步骤：先处理已知条件得到关键的指数差，再把目标式子统一底数，最后代入计算。
【解析】
解：
1. 由已知等式$3x-2y-3=0$，移项可得：
$3x - 2y = 3$
2. 对$100^y$进行变形，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$100^y=(10^2)^y=10^{2y}$
3. 将原式转化为同底数幂的除法：
$10^{3x}÷100^y=10^{3x}÷10^{2y}$
4. 根据同底数幂的除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），可得：
原式$=10^{3x-2y}$
5. 把$3x-2y=3$代入上式：
原式$=10^3=1000$
【答案】
1000
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题核心是通过变形将所求式子与已知条件建立联系，灵活运用幂的乘方和同底数幂的除法法则是解题关键，有助于提升学生对幂运算性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6
首先，我们需要将所求式子转化为同底数幂的运算形式，因为100是10的平方，可利用幂的乘方性质把100^y转化为10^(2y)；接着从已知等式3x-2y-3=0中求出3x-2y的值；最后运用同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减），将3x-2y的值代入计算即可得到结果。具体思考步骤：先处理已知条件得到关键的指数差，再把目标式子统一底数，最后代入计算。
【解析】
解：
1. 由已知等式$3x-2y-3=0$，移项可得：
$3x - 2y = 3$
2. 对$100^y$进行变形，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$100^y=(10^2)^y=10^{2y}$
3. 将原式转化为同底数幂的除法：
$10^{3x}÷100^y=10^{3x}÷10^{2y}$
4. 根据同底数幂的除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），可得：
原式$=10^{3x-2y}$
5. 把$3x-2y=3$代入上式：
原式$=10^3=1000$
【答案】
1000
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题核心是通过变形将所求式子与已知条件建立联系，灵活运用幂的乘方和同底数幂的除法法则是解题关键，有助于提升学生对幂运算性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6
8. 若 $9^{m}· 27^{m-1}÷ 3^{3m}=27$,求 $m$ 的值。
答案
8.3
解析
【分析】
这道题是含幂运算的方程求解问题，解题核心思路是统一底数。观察到等式中9、27、3都是3的整数次幂，因此先将所有幂转化为以3为底数的形式，再利用同底数幂的乘除法法则（底数不变，指数相加减）化简等式左边，最后根据“同底数幂相等且底数不为±1时，指数相等”的性质，建立关于m的一元一次方程，进而求出m的值。具体步骤为：先转化各幂的底数，再化简运算，最后通过指数相等列方程求解。
【解析】
解：将等式中的各幂统一为以3为底数的幂：
$9^m=(3^2)^m=3^{2m}$
$27^{m-1}=(3^3)^{m-1}=3^{3(m-1)}=3^{3m-3}$
右边$27=3^3$
将转化后的式子代入原等式：
$3^{2m}·3^{3m-3}÷3^{3m}=3^3$
根据同底数幂的运算法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，$a^m÷a^n=a^{m-n}$，化简左边：
$3^{2m+(3m-3)-3m}=3^3$
计算指数：
$3^{2m+3m-3-3m}=3^3$
$3^{2m-3}=3^3$
由于底数3≠±1，因此指数相等：
$2m-3=3$
解一元一次方程：
$2m=3+3$
$2m=6$
$m=3$
【答案】
3
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的运算法则、一元一次方程求解
【点评】
本题考查幂的运算性质与一元一次方程的综合应用，解题关键是通过统一底数将复杂的幂运算转化为简单的指数运算，再利用指数相等建立方程。题目注重对幂的运算法则的理解与应用，属于基础运算题型，能有效考查学生的运算能力。
【难度系数】
0.7
这道题是含幂运算的方程求解问题，解题核心思路是统一底数。观察到等式中9、27、3都是3的整数次幂，因此先将所有幂转化为以3为底数的形式，再利用同底数幂的乘除法法则（底数不变，指数相加减）化简等式左边，最后根据“同底数幂相等且底数不为±1时，指数相等”的性质，建立关于m的一元一次方程，进而求出m的值。具体步骤为：先转化各幂的底数，再化简运算，最后通过指数相等列方程求解。
【解析】
解：将等式中的各幂统一为以3为底数的幂：
$9^m=(3^2)^m=3^{2m}$
$27^{m-1}=(3^3)^{m-1}=3^{3(m-1)}=3^{3m-3}$
右边$27=3^3$
将转化后的式子代入原等式：
$3^{2m}·3^{3m-3}÷3^{3m}=3^3$
根据同底数幂的运算法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，$a^m÷a^n=a^{m-n}$，化简左边：
$3^{2m+(3m-3)-3m}=3^3$
计算指数：
$3^{2m+3m-3-3m}=3^3$
$3^{2m-3}=3^3$
由于底数3≠±1，因此指数相等：
$2m-3=3$
解一元一次方程：
$2m=3+3$
$2m=6$
$m=3$
【答案】
3
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的运算法则、一元一次方程求解
【点评】
本题考查幂的运算性质与一元一次方程的综合应用，解题关键是通过统一底数将复杂的幂运算转化为简单的指数运算，再利用指数相等建立方程。题目注重对幂的运算法则的理解与应用，属于基础运算题型，能有效考查学生的运算能力。
【难度系数】
0.7
9. 已知 $3^{m}=6,3^{n}=\frac{2}{3}$,求 $4^{m}÷ 4^{n}$ 的值。
答案
9.16
解析
【分析】
首先，我们观察到待求式$4^{m}÷4^{n}$可根据同底数幂的除法法则转化为$4^{m-n}$，因此解题核心是求出$m-n$的值。已知$3^{m}=6$和$3^{n}=\frac{2}{3}$，利用同底数幂的除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$），可计算出$3^{m-n}$的结果，再将结果转化为以3为底数的幂，即可得到$m-n$的值，最后代入$4^{m-n}$计算即可。
【解析】
1. 化简待求式：
根据同底数幂的除法法则，$4^{m}÷4^{n}=4^{m-n}$
2. 计算$3^{m-n}$的值：
已知$3^{m}=6$，$3^{n}=\frac{2}{3}$，则：
$3^{m-n}=3^{m}÷3^{n}=6÷\frac{2}{3}=6×\frac{3}{2}=9$
3. 确定$m-n$的值：
因为$9=3^2$，所以$3^{m-n}=3^2$，根据底数相同的幂相等则指数相等，可得$m-n=2$
4. 计算最终结果：
将$m-n=2$代入$4^{m-n}$，得$4^2=16$
【答案】
16
【知识点】
同底数幂的除法，有理数乘方
【点评】
本题考查同底数幂除法法则的灵活应用，通过转化思想将待求式与已知条件建立联系，关键是求出$m-n$的值，整体难度不大，注重对幂运算基础知识的考查。
【难度系数】
0.6
首先，我们观察到待求式$4^{m}÷4^{n}$可根据同底数幂的除法法则转化为$4^{m-n}$，因此解题核心是求出$m-n$的值。已知$3^{m}=6$和$3^{n}=\frac{2}{3}$，利用同底数幂的除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$），可计算出$3^{m-n}$的结果，再将结果转化为以3为底数的幂，即可得到$m-n$的值，最后代入$4^{m-n}$计算即可。
【解析】
1. 化简待求式：
根据同底数幂的除法法则，$4^{m}÷4^{n}=4^{m-n}$
2. 计算$3^{m-n}$的值：
已知$3^{m}=6$，$3^{n}=\frac{2}{3}$，则：
$3^{m-n}=3^{m}÷3^{n}=6÷\frac{2}{3}=6×\frac{3}{2}=9$
3. 确定$m-n$的值：
因为$9=3^2$，所以$3^{m-n}=3^2$，根据底数相同的幂相等则指数相等，可得$m-n=2$
4. 计算最终结果：
将$m-n=2$代入$4^{m-n}$，得$4^2=16$
【答案】
16
【知识点】
同底数幂的除法，有理数乘方
【点评】
本题考查同底数幂除法法则的灵活应用，通过转化思想将待求式与已知条件建立联系，关键是求出$m-n$的值，整体难度不大，注重对幂运算基础知识的考查。
【难度系数】
0.6
10. 一种数码照片的文件大小是 $2^{8}\mathrm{KB}$,一个存储量为 $2^{6}\mathrm{MB}(1\mathrm{MB}=2^{10}\mathrm{KB})$ 的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?
答案
10.$(2^{6}×2^{10})÷2^{8}=2^{16}÷2^{8}=2^{8}$。所以,一个存储量为
$2^{6}MB$的移动存储器能存储$2^{8}$张这样的数码照片。
$2^{6}MB$的移动存储器能存储$2^{8}$张这样的数码照片。
解析
【分析】
这道题的核心是先统一单位，再利用幂的运算法则计算存储数量。首先，题目中照片大小单位是KB，存储器容量单位是MB，所以需要先根据给定的换算关系将MB转换为KB，保证单位一致后，用总存储量除以单张照片的大小，就能得到可存储的照片数量。计算过程中要运用同底数幂的乘除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。
【解析】
1. 单位转换：已知$1\mathrm{MB}=2^{10}\mathrm{KB}$，则移动存储器的存储量转换为KB为：
$2^{6}\mathrm{MB}=2^{6}×2^{10}\mathrm{KB}$
根据同底数幂乘法法则，$2^{6}×2^{10}=2^{6+10}=2^{16}\mathrm{KB}$
2. 计算存储照片数量：用总存储量除以单张照片的大小：
$2^{16}÷2^{8}$
根据同底数幂除法法则，$2^{16}÷2^{8}=2^{16-8}=2^{8}$（张）
【答案】
$2^{8}$张
【知识点】
同底数幂的乘除法，单位换算
【点评】
本题结合实际存储问题考查幂的运算，解题关键是先完成单位统一，再准确运用同底数幂的运算法则计算，需要学生熟练掌握幂的基本运算规则，避免指数运算错误。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是先统一单位，再利用幂的运算法则计算存储数量。首先，题目中照片大小单位是KB，存储器容量单位是MB，所以需要先根据给定的换算关系将MB转换为KB，保证单位一致后，用总存储量除以单张照片的大小，就能得到可存储的照片数量。计算过程中要运用同底数幂的乘除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。
【解析】
1. 单位转换：已知$1\mathrm{MB}=2^{10}\mathrm{KB}$，则移动存储器的存储量转换为KB为：
$2^{6}\mathrm{MB}=2^{6}×2^{10}\mathrm{KB}$
根据同底数幂乘法法则，$2^{6}×2^{10}=2^{6+10}=2^{16}\mathrm{KB}$
2. 计算存储照片数量：用总存储量除以单张照片的大小：
$2^{16}÷2^{8}$
根据同底数幂除法法则，$2^{16}÷2^{8}=2^{16-8}=2^{8}$（张）
【答案】
$2^{8}$张
【知识点】
同底数幂的乘除法，单位换算
【点评】
本题结合实际存储问题考查幂的运算，解题关键是先完成单位统一，再准确运用同底数幂的运算法则计算，需要学生熟练掌握幂的基本运算规则，避免指数运算错误。
【难度系数】
0.6
11. 探究应用:用"∪""∩"定义两种新运算:
对于两个数$a,b$,规定$a\bigcup b=10^{a}× 10^{b}$,
$a\bigcap b=10^{a}÷ 10^{b}$。例如:$3\bigcup 2=10^{3}× 10^{2}=10^{5};3\bigcap 2=10^{3}÷ 10^{2}=10$。
(1)求(1 040∪985)的值;
(2)求(2 025∩2 023)的值;
(3)当$x$为何值时,$(x\bigcup 5)$的值与(20∩14)的值相等?
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
对于两个数$a,b$,规定$a\bigcup b=10^{a}× 10^{b}$,
$a\bigcap b=10^{a}÷ 10^{b}$。例如:$3\bigcup 2=10^{3}× 10^{2}=10^{5};3\bigcap 2=10^{3}÷ 10^{2}=10$。
(1)求(1 040∪985)的值;
(2)求(2 025∩2 023)的值;
(3)当$x$为何值时,$(x\bigcup 5)$的值与(20∩14)的值相等?
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
11.解:(1)由题意得,$(1040\bigcup 985)=10^{1040}×10^{985}=$
$10^{1040+985}=10^{2025};$
(2)由题意得,$(2025\bigcap 2023)=10^{2025}÷10^{2023}=$
$10^{2025-2023}=10^{2}=100;$
(3)由题意得,$(x\bigcup 5)=10^{x}×10^{5}=10^{x+5},(20\bigcap 14)=$
$10^{20}÷10^{14}=10^{6},$
因为$(x\bigcup 5)$的值与$(20\bigcap 14)$的值相等,
所以$10^{x+5}=10^{6},$
所以$x+5=6,$
所以$x=1,$
所以当$x=1$时,$(x\bigcup 5)$的值与$(20\bigcap 14)$的值相等。
$10^{1040+985}=10^{2025};$
(2)由题意得,$(2025\bigcap 2023)=10^{2025}÷10^{2023}=$
$10^{2025-2023}=10^{2}=100;$
(3)由题意得,$(x\bigcup 5)=10^{x}×10^{5}=10^{x+5},(20\bigcap 14)=$
$10^{20}÷10^{14}=10^{6},$
因为$(x\bigcup 5)$的值与$(20\bigcap 14)$的值相等,
所以$10^{x+5}=10^{6},$
所以$x+5=6,$
所以$x=1,$
所以当$x=1$时,$(x\bigcup 5)$的值与$(20\bigcap 14)$的值相等。
解析
【分析】
这道题属于新定义运算类题目，解题核心是先精准理解题目给出的“∪”“∩”两种新运算规则，将陌生的新运算转化为已学的同底数幂乘除法运算，再利用对应法则计算：
1. 第(1)问：根据“$a\bigcup b=10^{a}× 10^{b}$”，代入数值后转化为同底数幂乘法，用“底数不变，指数相加”的法则计算；
2. 第(2)问：根据“$a\bigcap b=10^{a}÷ 10^{b}$”，代入数值后转化为同底数幂除法，用“底数不变，指数相减”的法则计算；
3. 第(3)问：先分别用新运算表示出两个式子，再根据等式关系，利用“同底数幂相等则指数相等”的性质列方程求解$x$。
【解析】
(1) 根据新运算定义：
$\begin{align}1040\bigcup 985&=10^{1040}×10^{985}\\&=10^{1040+985}\\&=10^{2025}\end{align}$
(2) 根据新运算定义：
$\begin{align}2025\bigcap 2023&=10^{2025}÷10^{2023}\\&=10^{2025-2023}\\&=10^{2}\\&=100\end{align}$
(3) 先分别计算两个式子：
$\begin{align}x\bigcup 5&=10^{x}×10^{5}=10^{x+5}\\20\bigcap 14&=10^{20}÷10^{14}=10^{6}\end{align}$
因为$(x\bigcup 5)$与$(20\bigcap 14)$的值相等，所以：
$10^{x+5}=10^{6}$
根据同底数幂相等则指数相等，可得：
$x+5=6$
解得：$x=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{10^{2025}}$；(2) $\boldsymbol{100}$；(3) $\boldsymbol{x=1}$
【知识点】
同底数幂的乘法、同底数幂的除法、新定义运算应用
【点评】
本题通过新运算的形式，考查对同底数幂运算法则的掌握，重点培养“转化思想”，将陌生的新运算转化为熟悉的常规运算，题型基础且典型，能有效巩固幂的运算相关知识。
【难度系数】
0.7
这道题属于新定义运算类题目，解题核心是先精准理解题目给出的“∪”“∩”两种新运算规则，将陌生的新运算转化为已学的同底数幂乘除法运算，再利用对应法则计算：
1. 第(1)问：根据“$a\bigcup b=10^{a}× 10^{b}$”，代入数值后转化为同底数幂乘法，用“底数不变，指数相加”的法则计算；
2. 第(2)问：根据“$a\bigcap b=10^{a}÷ 10^{b}$”，代入数值后转化为同底数幂除法，用“底数不变，指数相减”的法则计算；
3. 第(3)问：先分别用新运算表示出两个式子，再根据等式关系，利用“同底数幂相等则指数相等”的性质列方程求解$x$。
【解析】
(1) 根据新运算定义：
$\begin{align}1040\bigcup 985&=10^{1040}×10^{985}\\&=10^{1040+985}\\&=10^{2025}\end{align}$
(2) 根据新运算定义：
$\begin{align}2025\bigcap 2023&=10^{2025}÷10^{2023}\\&=10^{2025-2023}\\&=10^{2}\\&=100\end{align}$
(3) 先分别计算两个式子：
$\begin{align}x\bigcup 5&=10^{x}×10^{5}=10^{x+5}\\20\bigcap 14&=10^{20}÷10^{14}=10^{6}\end{align}$
因为$(x\bigcup 5)$与$(20\bigcap 14)$的值相等，所以：
$10^{x+5}=10^{6}$
根据同底数幂相等则指数相等，可得：
$x+5=6$
解得：$x=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{10^{2025}}$；(2) $\boldsymbol{100}$；(3) $\boldsymbol{x=1}$
【知识点】
同底数幂的乘法、同底数幂的除法、新定义运算应用
【点评】
本题通过新运算的形式，考查对同底数幂运算法则的掌握，重点培养“转化思想”，将陌生的新运算转化为熟悉的常规运算，题型基础且典型，能有效巩固幂的运算相关知识。
【难度系数】
0.7
