8. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题:"一支竿子一条索,索比竿子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托(一托按照5尺计算)。"大意是:现有一根竿和一条绳索,如果用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对折后再去量竿,就比竿短5尺,则绳索长几尺? 设竿长x尺,绳索长y尺,根据题意可列方程组为()。
A. $\begin{cases} x+5=y\\ x-5=\dfrac{y}{2}\\ \end{cases}$
B. $\begin{cases} x+5=y\\ 2x-5=y\\ \end{cases}$
C. $\begin{cases} x=y+5\\ x-5=\dfrac{y}{2}\\ \end{cases}$
D. $\begin{cases} x+5=y\\ x-5=2y\\ \end{cases}$

8.A

【分析】
要解决这道题，关键是从题目描述中提取两个核心等量关系：
1. 针对“绳索比竿子长5尺”，已知竿长x尺，绳索长y尺，那么竿长加上5尺就等于绳索的长度，即$x+5=y$；
2. 针对“对折索子来量竿，却比竿子短5尺”，对折后的绳索长度是原长的一半，也就是$\frac{y}{2}$，此时对折后的绳索比竿短5尺，意味着竿长减去5尺等于对折后的绳索长度，即$x-5=\frac{y}{2}$。
将这两个等式组合成方程组，再对照选项即可找到正确答案。
【解析】
根据题意推导等量关系：
由“绳索比竿子长5尺”，得出等式：$x+5=y$；
由“对折索子来量竿，却比竿子短5尺”，对折后绳索长度为$\frac{y}{2}$，得出等式：$x-5=\frac{y}{2}$。
因此可列方程组为$\begin{cases} x+5=y\\ x-5=\dfrac{y}{2}\\ \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题考查从实际问题中构建二元一次方程组，核心是准确理解题目中的数量关系，尤其是“对折索子”的含义，将文字描述转化为数学等式是解题关键。
【难度系数】
0.8

9. 下列选项中,不能利用图形的面积关系解释平方差公式的是()。

9.B

【分析】
要判断哪个选项不能利用图形面积关系解释平方差公式，首先明确平方差公式的形式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其几何意义是“大正方形面积减去小正方形的面积，等于拼成的长方形（或平行四边形）的面积，且该图形的长（底）为$a+b$，宽（高）为$a-b$”。接下来逐一分析每个选项的面积变化：
1. 选项A：左边图形面积可表示为$a^2 - b^2$，右边拼成的长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，两者相等，能解释平方差公式。
2. 选项B：左边图形面积为$2ab$，右边图形面积为$2ab - (a-b)^2$，展开后为$-a^2+4ab-b^2$，与平方差公式的形式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$无关，无法解释平方差公式。
3. 选项C：左边大正方形面积$a^2$减去右上角小正方形面积$b^2$，即$a^2 - b^2$，右边拼成的长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，两者相等，能解释平方差公式。
4. 选项D：左边大正方形面积$a^2$减去内部小正方形面积$b^2$，即$a^2 - b^2$，右边拼成的平行四边形底为$a+b$，高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，两者相等，能解释平方差公式。
【解析】
平方差公式的几何本质是“大正方形与小正方形的面积差，等于长为$a+b$、宽为$a-b$的长方形（或等价图形）的面积”。
选项A：左图面积$=a^2 - b^2$，右图长方形面积$=(a+b)(a-b)$，满足$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可解释平方差公式。
选项B：左图面积为$2ab$，右图面积为$2ab - (a-b)^2= -a^2+4ab-b^2$，该式与平方差公式的形式不符，无法解释平方差公式。
选项C：左图面积$=a^2 - b^2$，右图长方形面积$=(a+b)(a-b)$，满足平方差公式，可解释。
选项D：左图面积$=a^2 - b^2$，右图平行四边形面积$(a+b)(a-b)$，满足平方差公式，可解释。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的几何意义
【点评】
本题考查平方差公式的几何直观理解，解题关键是明确平方差公式的形式，再结合图形的面积变化进行判断，需要准确分析每个选项中图形的面积表达式，区分不同图形变换对应的代数关系。
【难度系数】
0.6

10. 仔细观察,探索规律:
$(x-1)(x+1)=x^{2}-1$;$(x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-1$;$(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{4}-1······$则$2^{2\ 025}+2^{2\ 024}+2^{2\ 023}+···+2+1$的个位数字是()。
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7

10.B

【分析】
首先观察题目给出的多项式乘法规律，发现$(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1)=x^{n+1}-1$。要求的式子$2^{2025}+2^{2024}+\dots+2+1$可借助该规律转化为$2^{2026}-1$。接下来需确定$2^{2026}$的个位数字，由于2的幂次个位数字存在循环周期，通过计算2026除以周期的余数，就能确定$2^{2026}$的个位数字，最后减去1得到原式的个位数字，进而选出正确选项。
【解析】
1. 利用规律转化式子
根据已知规律$(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1)=x^{n+1}-1$，令$x=2$，$n=2025$，则：
$2^{2025}+2^{2024}+\dots+2+1=(2-1)(2^{2025}+2^{2024}+\dots+2+1)=2^{2026}-1$
2. 寻找2的幂次个位数字规律
$2^1=2$，个位数字为2；
$2^2=4$，个位数字为4；
$2^3=8$，个位数字为8；
$2^4=16$，个位数字为6；
$2^5=32$，个位数字为2；
由此可知2的幂次个位数字以2、4、8、6为周期循环，周期为4。
3. 确定$2^{2026}$的个位数字
计算$2026÷4=506······2$，余数为2，说明$2^{2026}$的个位数字与$2^2$的个位数字相同，即4。
4. 计算原式的个位数字
$2^{2026}-1$的个位数字为$4-1=3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 多项式乘法规律
2. 数字周期规律
【点评】
本题结合多项式乘法规律与数字周期特性考查，需要先通过观察归纳出通用规律，再利用周期性求解个位数字，考验学生的观察归纳能力与逻辑推理能力，解题关键是准确应用规律转化式子并抓住数字循环周期。
【难度系数】
0.6

11. 设$(x^{m-1}y^{n+2})·(x^{5m}y^{-2})=x^{5}y^{3}$,则$n^{m}$的值为。

11.3

【分析】
要解决这道题，首先需要运用同底数幂的乘法法则对等式左边的式子进行化简，然后根据“等式两边相同底数的幂的指数相等”这一性质，列出关于m和n的方程，求解出m、n的值后，再代入$n^m$计算最终结果。具体思考步骤如下：
1. 回忆同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
2. 用法则化简左边的单项式乘积，得到x和y的幂的形式；
3. 对比等式两边x、y的指数，建立方程求解m和n；
4. 将m、n的值代入$n^m$计算结果。
【解析】
1. 根据同底数幂的乘法法则化简等式左边：
$(x^{m-1}y^{n+2})·(x^{5m}y^{-2}) = x^{(m-1)+5m}y^{(n+2)+(-2)} = x^{6m-1}y^{n}$
2. 因为等式右边为$x^5y^3$，且等式两边相同底数的幂相等时，对应指数相等，所以可得：
对于x的指数：$6m - 1 = 5$
解方程：$6m = 5 + 1$，即$6m = 6$，解得$m = 1$；
对于y的指数：$n = 3$
3. 将$m=1$，$n=3$代入$n^m$，得：$n^m = 3^1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
同底数幂的乘法、指数相等性质
【点评】
本题主要考查同底数幂乘法法则的应用，以及利用等式两边同类项指数相等求解未知数的能力。解题关键是熟练掌握幂的运算规则，计算指数时注意符号和加减运算的准确性，属于基础题型，容易掌握。
【难度系数】
0.8

12. 分解因式$a^{5}-a=$。

12.$a(a^{2}+1)(a+1)(a-1)$

【分析】
要分解因式$a^5 - a$，首先遵循分解因式的基本步骤：先观察是否有公因式，发现两项都含有公因式$a$，优先提取公因式；提取后得到$a(a^4 - 1)$，观察$a^4 - 1$，它符合平方差公式的形式（$a^4=(a^2)^2$，$1=1^2$），可分解为$(a^2+1)(a^2-1)$；接着$a^2-1$同样是平方差的形式，继续分解为$(a+1)(a-1)$，而$a^2+1$在实数范围内无法再分解，至此分解彻底。
【解析】
$\begin{aligned}a^5 - a&=a(a^4 - 1)\\&=a[(a^2)^2 - 1^2]\\&=a(a^2 + 1)(a^2 - 1)\\&=a(a^2 + 1)(a + 1)(a - 1)\end{aligned}$
【答案】
$a(a^{2}+1)(a+1)(a-1)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，分解因式需遵循“先提公因式，再用公式”的顺序，且要分解到每一个因式都不能再分解为止，注意平方差公式可多次使用，确保分解彻底。
【难度系数】
0.8

13. 若三角形的三边长分别为a,b,c,满足$a^{2}b-a^{2}c+b^{2}c-b^{3}=0$,则这个三角形是。(填一种特殊三角形)

13.等腰三角形

【分析】
要判断三角形的形状，需从给定等式入手，通过因式分解找出三边关系。首先观察等式特点，采用分组分解法，将前两项和后两项分别分组，提取每组公因式后再提取整体公因式，最后用平方差公式进一步分解。由于三角形边长均为正数，边长之和的因式不可能为0，由此得出两条边相等的结论，进而判断三角形为等腰三角形。
【解析】
对等式$a^{2}b - a^{2}c + b^{2}c - b^{3}=0$进行因式分解：
1. 分组并提取每组公因式：
$a^{2}(b - c) - b^{2}(b - c)=0$
2. 提取公因式$(b - c)$：
$(a^{2} - b^{2})(b - c)=0$
3. 利用平方差公式分解$a^{2}-b^{2}$：
$(a - b)(a + b)(b - c)=0$
因为三角形的三边长$a,b,c$均为正数，所以$a + b ＞ 0$，因此$a - b=0$或$b - c=0$，即$a=b$或$b=c$。
综上，这个三角形是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
1. 因式分解
2. 等腰三角形判定
【点评】
本题考查因式分解的应用与等腰三角形的判定，核心是通过合理分组因式分解将等式转化为边的关系，结合三角形边长为正的性质得出结论，要求学生熟练掌握分组分解法和平方差公式的运用，同时明确等腰三角形的判定条件。
【难度系数】
0.7

14. 若方程组$\begin{cases}x=y+5,\\ 2x-y=5\\\end{cases}$的解满足方程x+y+a=0,则a的值为 ______ 。

14.5

1

15. 如图,长方形纸片ABCD,点M,N分别在AD,BC边上,将纸片沿MN折叠,点C,D分别落在点$C_{1}$,$D_{1}$处,$MD_{1}$与BC交于点P,再沿PN折叠纸片,点$C_{1}$,$D_{1}$分别落在点$C_{2}$,$D_{2}$处,设$∠ BPD_{2}= α$,则$∠ MNC_{2}$的度数为。

三、解答题(8个小题,共75分)

15.$90°-\frac{3}{2}α$

【分析】
本题可通过长方形对边平行的性质和折叠的性质，结合角的等量代换与和差关系求解：
1. 首先，长方形ABCD中AD//BC，根据平行线的性质可得内错角∠DMN=∠MNC；
2. 由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，即∠D₁MN=∠DMN，∠MNC₁=∠MNC，∠PNC₂=∠PNC₁；
3. 利用对顶角相等得到∠MPN=∠BPD₂=α，再结合平行线的同旁内角互补关系，建立关于∠MNC₂的方程，进而求解。
【解析】
设$∠ MNC_{2}=θ$，
1. 因为四边形ABCD是长方形，所以$AD// BC$，根据平行线的内错角相等，得$∠ DMN=∠ MNC$；
2. 沿MN折叠后，由折叠性质得：$∠ D_{1}MN=∠ DMN$，$∠ MNC_{1}=∠ MNC$，因此$∠ D_{1}MN=∠ MNC_{1}$，可得$MD_{1}// NC_{1}$（内错角相等，两直线平行）；
3. 因为$MD_{1}// NC_{1}$，所以$∠ MPN=∠ PNC_{1}$（内错角相等），又$∠ MPN=∠ BPD_{2}=α$（对顶角相等），故$∠ PNC_{1}=α$；
4. 沿PN折叠后，由折叠性质得$∠ PNC_{2}=∠ PNC_{1}=α$，因此$∠ MNC_{1}=∠ MNC_{2}+∠ PNC_{2}=θ+α$；
5. 由$∠ MNC=∠ MNC_{1}=θ+α$，且$∠ DMN=∠ MNC=θ+α$，所以$∠ D_{1}MD=∠ DMN+∠ D_{1}MN=2(θ+α)$；
6. 因为$AD// BC$，根据平行线的同旁内角互补，得$∠ D_{1}MD+∠ MPN=180°$，将$∠ D_{1}MD=2(θ+α)$，$∠ MPN=α$代入得：
$2(θ + α) + α = 180°$
7. 解方程：
$\begin{aligned}2θ + 2α + α &= 180° \\2θ &= 180° - 3α \\θ &= 90° - \frac{3}{2}α\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{90°-\frac{3}{2}α}$
【知识点】
1. 长方形的性质
2. 折叠的性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题考查了长方形、折叠和平行线的性质的综合应用，解题关键是熟练运用折叠前后对应角相等、平行线的内错角与同旁内角的关系，通过角的等量代换建立方程求解，需要较强的角的转化能力。
【难度系数】
0.4

16. (每小题3分,共9分)
(1)$9x^{2}y+3xy^{2}$;
(2)$x^{4}-16$;
(3)$(x+2)x^{2}-x-2$。

16.(1)$3xy(3x+y)$ (2)$(x^{2}+4)(x+2)(x-2)$
(3)$(x+2)(x+1)(x-1)$

【分析】
本题是三道因式分解题，解题核心思路是先观察式子特征，优先提取公因式，再根据式子结构选择合适的公式法分解，确保因式分解彻底。
（1）观察$9x^{2}y+3xy^{2}$，两项均含公因式$3xy$，提取公因式即可完成分解；
（2）$x^{4}-16$是平方差形式，先转化为$(x^{2})^{2}-4^{2}$，用平方差公式分解后，得到的$x^{2}-4$仍满足平方差形式，需继续分解；
（3）$(x+2)x^{2}-x-2$可先将后两项变形为$-(x+2)$，构造出公因式$(x+2)$，提取后剩余的$x^{2}-1$再用平方差公式分解。
【解析】
（1）$9x^{2}y+3xy^{2}$
$=3xy·3x + 3xy· y$
$=3xy(3x+y)$
（2）$x^{4}-16$
$=(x^{2})^{2}-4^{2}$
$=(x^{2}+4)(x^{2}-4)$
$=(x^{2}+4)(x+2)(x-2)$（$x^{2}+4$在实数范围内无法继续分解）
（3）$(x+2)x^{2}-x-2$
$=(x+2)x^{2}-(x+2)$
$=(x+2)(x^{2}-1)$
$=(x+2)(x+1)(x-1)$
【答案】
(1)$3xy(3x+y)$；(2)$(x^{2}+4)(x+2)(x-2)$；(3)$(x+2)(x+1)(x-1)$
【知识点】
1. 提取公因式法因式分解；2. 平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，需熟练掌握提取公因式法和平方差公式的应用，关键是要保证因式分解彻底，对于形式复杂的式子，要学会通过变形构造公因式，再逐步分解。
【难度系数】
0.6