7. 如图,直线AB,CD与EF交于M,N两点,∠1=∠2,且MQ平分∠EMB,NP平分∠MND,试说明:直线AB//CD。

7.证明:因为MQ平分$∠ EMB$,NP平分$∠ MND$,
所以$∠ EMB=2∠ 1$,$∠ MND=2∠ 2$。
又因为$∠ 1=∠ 2$,
所以$∠ EMB=∠ MND$,
所以$AB// CD$。

【分析】
要证明直线$AB// CD$，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角相等来推导。观察图形可知$∠EMB$和$∠MND$是同位角，已知$MQ$平分$∠EMB$，$NP$平分$∠MND$，结合$∠1=∠2$，可利用角平分线的定义将$∠EMB$、$∠MND$分别用$∠1$、$∠2$表示，进而推出$∠EMB=∠MND$，最终证明$AB// CD$。
【解析】
证明：
∵ $MQ$平分$∠EMB$，$NP$平分$∠MND$（已知），
∴ $∠EMB=2∠1$，$∠MND=2∠2$（角平分线的定义）。
又
∵ $∠1=∠2$（已知），
∴ $∠EMB=∠MND$（等量代换），
∴ $AB// CD$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
直线$\boldsymbol{AB// CD}$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 平行线的判定（同位角相等，两直线平行）
【点评】
本题考查角平分线定义与平行线判定定理的综合应用，解题关键是通过角平分线的性质建立已知角与待证同位角之间的关系，进而利用平行线判定定理完成证明，属于基础几何证明题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.8

8. 已知:如图,$BC⊥AC$于点C,$CD⊥AB$于点D,∠EBC=∠A,试说明:BE//CD。

自我反思
存在的问题:


改进的措施:

8.解:因为$BC⊥ AC$,$CD⊥ AB$,
所以$∠ BCA=90°$,$∠ CDA=90°$,
所以$∠ A+∠ CBA=90°$。
因为$∠ EBC=∠ A$,
所以$∠ EBD=∠ EBC+∠ CBA=90°$,
所以$∠ EBD=∠ CDA$,
所以$BE// CD$。

【分析】
要证明$BE// CD$，可通过同位角相等来判定两直线平行。首先利用垂直的性质得到直角，再结合直角三角形两锐角互余得到角的和为$90°$，通过已知的$∠EBC=∠A$进行角的替换，推导出$∠EBD$与$∠CDA$相等，从而证明平行。具体思考步骤：先由垂直得出两个直角，再根据直角三角形内角关系得到$∠A+∠CBA=90°$，替换$∠A$为$∠EBC$后得到$∠EBC+∠CBA=90°$，即$∠EBD=90°$，此时$∠EBD$和$∠CDA$都是$90°$，同位角相等，故可证$BE// CD$。
【解析】
证明：
因为$BC⊥AC$，$CD⊥AB$，
所以$∠BCA=90°$，$∠CDA=90°$（垂直的定义），
在$Rt△ ABC$中，$∠A+∠CBA=90°$（直角三角形的两个锐角互余）。
又因为$∠EBC=∠A$（已知），
所以$∠EBC+∠CBA=90°$（等量代换），
即$∠EBD=90°$，
所以$∠EBD=∠CDA$（等量代换），
所以$BE// CD$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$BE// CD$，证明过程如上。
【知识点】
1. 垂直的定义
2. 直角三角形两锐角互余
3. 平行线的判定（同位角相等，两直线平行）
【点评】
本题主要考查了垂直的性质、直角三角形的内角关系以及平行线的判定，解题关键是通过角的等量代换找到能证明平行的同位角，需要熟练掌握相关几何定理并灵活运用角的转换。
【难度系数】
0.6

课前预习

1 内错角
∠3与∠5在直线AB与直线CD 。
∠3与∠5在直线EF的。
同时满足这两种位置关系的一对角叫。
续表
2 同旁内角
∠4与∠5在直线AB与直线CD 。
∠与∠5在直线EF的。
同时满足这两种位置关系的一对角叫。
续表
3 平行线判定定理
(1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。简述为""。
符号语言:若∠2=∠3,则a//b。
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。简述为""。
符号语言:若∠3+∠4=180°,则a//b。
困惑疑问:

1.之间 两旁 内错角
2.之间 同旁 同旁内角
3.(1)内错角相等,两直线平行 (2)同旁内角互补,两直线平行

【分析】
本题考查内错角、同旁内角的定义以及平行线的判定定理，属于基础概念题。解题时需结合图形，根据角的位置关系对应定义进行分析：
1. 对于内错角，先确定被截直线（AB、CD）和截线（EF），观察∠3与∠5在被截直线间的位置，以及在截线两侧的位置，对应内错角的定义填写；
2. 对于同旁内角，同样确定被截直线和截线，观察∠4与∠5在被截直线间的位置，以及在截线同侧的位置，对应同旁内角的定义填写；
3. 平行线判定定理是教材中的核心结论，直接根据定理内容提炼简述语即可。
【解析】
1. 观察图形可知，∠3与∠5在直线AB与直线CD之间；∠3在直线EF的右侧，∠5在直线EF的左侧，即它们在直线EF的两旁；根据内错角的定义，同时满足这两种位置关系的一对角叫内错角。
2. ∠4与∠5在直线AB与直线CD之间；∠4与∠5都在直线EF的左侧，即它们在直线EF的同旁；根据同旁内角的定义，同时满足这两种位置关系的一对角叫同旁内角。
3. (1) 两条直线被第三条直线所截，内错角相等则两直线平行，简述为“内错角相等，两直线平行”；
(2) 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补则两直线平行，简述为“同旁内角互补，两直线平行”。
【答案】
1. 之间 两旁 内错角
2. 之间 同旁 同旁内角
3.(1)内错角相等，两直线平行 (2)同旁内角互补，两直线平行
【知识点】
内错角的定义、同旁内角的定义、平行线的判定定理
【点评】
本题是平行线相关的基础概念题，内错角、同旁内角的定义以及平行线的判定定理是后续学习平行线性质、几何证明的重要基础，需要准确理解并牢记。
【难度系数】
0.9